© 2008 Prentice-Hall, Inc. Kapittel 16 To accompany Quantitative Analysis for Management, Tenth Edition, by Render, Stair, and Hanna Power Point slides.

Presentasjon om: "© 2008 Prentice-Hall, Inc. Kapittel 16 To accompany Quantitative Analysis for Management, Tenth Edition, by Render, Stair, and Hanna Power Point slides."— Utskrift av presentasjonen:

1 © 2008 Prentice-Hall, Inc. Kapittel 16 To accompany Quantitative Analysis for Management, Tenth Edition, by Render, Stair, and Hanna Power Point slides created by Jeff Heyl Markovanalyse © 2009 Prentice-Hall, Inc.

2 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 2 Introduksjon Markov analyse Markov analyse er en teknikk som lar oss analysere sannsynligheter for fremtidige tilstander på basis av sannsynligheter som er kjent i dag. Mange anvendelser i praksis Markov analyse forutsetter at et system befinner seg i en gitt tilstand, og sannsynligheten for at systemet befinner seg i en annen tilstand senere kalles overgangs- sannsynligheter Det kreves enkelte kunnskaper i matrise- algebra for å behandle dette grundig, men vi skal bare behandle dette på et innledende nivå.

3 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 3 Eksempel finans - kredittrisiko Overgangssansynligheter for kredittklasser Initial ratingRating after 1 year AAAAAABBBBBBCCCD AAA90.818.330.680.060.120.00 AA0.7090.657.790.640.060.140.020.00 A0.092.2791.055.520.740.260.010.06 BBB0.020.335.9586.935.301.170.120.18 BB0.030.140.677.7380.538.841.001.06 B0.000.110.240.436.4883.464.075.20 CCC0.220.000.221.302.3811.2464.8619.79

4 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 4 Overgangssansynligheter BBB

5 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 5 Tilstander og sannsynligheter Vi sier at ethvert system på et bestemt tidspunkt befinner seg i en gitt tilstand. Vi må forutsette at tilstandene er kollektivt uttømmende og gjensidig utelukkende Etter at en tilstand er definert, må vi finne sannsynligheten for at systemet er befinner seg i denne tilstanden

6 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 6 Tilstander og sannsynligheter Vektor for tilstandssansynligheter  ( i )= vektior for tilstandssannsynlig- heter i periode i = (  1,  2,  3, …,  n ) hvor n = antall tilstander  1,  2, …,  n = sannsynlighet for tilstand 1, 2, …, tilstand n

7 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 7 Tilstander og sannsynligheter Av og til kan vi med sikkerhet si hvilken tilstand et system befinner seg i Vektoren kan da presenteres som  (1) = (1, 0) hvor  (1)= vektor med tilstanden for maskin i periode 1  1 = 1 = Sannsynlighet for tilstand 1  2 = 0 = Sannsynlighet for tilstand 2

8 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 8 Eksempel: 3 dagligvareforretninger Tilstander for personer i en by med 3 forretninger 100 000 mennesker gjør sine innkjøp i forretningene i løpet av en måned 40 000 handler hos American Food Store – tilstand 1 30 000 handler hos Food Mart – tilstand 2 30 000 handler hos Atlas Foods – tilstand 3

9 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 9 Vektor med tilstandssannsynligheter Sannsynlighetene er slik Tilst. 1 – American Food Store:40,000/100,000 = 0.40 = 40% Tilst. 2 – Food Mart:30,000/100,000 = 0.30 = 30% Tilst. 3 – Atlas Foods:30,000/100,000 = 0.30 = 30% Oppsummeres i en vektor  (1) = (0.4, 0.3, 0.3) where  (1)=vektor med tilstandssannsynligheter periode 1  1 = 0.4 =sannsynlighet for at en person handler hos American Food, tilstand 1  2 = 0.3 =sannsynlighet for at en person handler hos Food Mart, tilstand 2  3 = 0.3 =sannsynlighet for at en person handler hos Atlas Foods, tilstand 3

10 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 10 Vektor med tilstandssannsynligheter Trediagram med overgangssansynligheter 0.8 0.1 #1 #2 #3 0.32 = 0.4(0.8) 0.04 = 0.4(0.1) 0.1 0.2 0.7 #2 #3 #1 0.03 0.21 0.06 0.2 0.6 0.2 #1 #2 #3 0.06 0.18 American Food #1 0.4 Food Mart #2 0.3 Atlas Foods #3 0.3

11 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 11 Matrise med overgangssannsynligheter Matrisen med overgangssansynligheter lar oss komme fra en tilstand til en annen Vi lar P ij = betinget sannsynlighet for å befinne seg i tilstand j i fremtiden gitt at nåværende tilstand er i For eksempel, P 12 er sannsynligheten for å være i tilstand 2 i fremtiden gitt at man var i tilstand 1 i den foregående perioden

12 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 12 Matrise med overgangssannsynligheter P = matrisen med overgangssansynligheter P = P 11 P 12 P 13 … P 1 n P 21 P 22 P 23 … P 2 n P m 1 P mn … …… P ij verdier bestemmes empirisk Sannsynlighetene i hver rad in summerer seg til 1

13 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 13 Matrise med overgangssannsynligheter Følgende er gitt utfra historiske data: P = 0.80.10.1 0.10.70.2 0.20.20.6 Rad 1 0.8 = P 11 = sannsynlighet for å være i tilstand 1 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran 0.1 = P 12 = sannsynlighet for å være i tilstand 2 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran 0.1 = P 13 = sannsynlighet for å være i tilstand 3 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran

14 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 14 Anslag på fremtidige markedsandeler Hvis nåværende periode er 0, bestemmes tilstandssannsynlighetene for periode 1 slik:  (1) =  (0) P For enhver periode n kan vi beregne tilstandssannsynlighetene for periode n + 1  ( n + 1) =  ( n ) P

15 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 15 Anslag på fremtidige markedsandeler Beregningene for neste periodes markedsandeler  (1) =  (0) P =(0.4, 0.3, 0.3) 0.80.10.1 0.10.70.2 0.20.20.6 =[(0.4)(0.8) + (0.3)(0.1) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.7) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.2) + (0.3)(0.6)] =(0.41, 0.31, 0.28)

16 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 16 Anslag på fremtidige markedsandeler Siden vi kjenner til at  (1) =  (0) P  (2) =  (1) P = [  (0) P ] P =  (0) PP =  (0) P 2 Har vi Generelt  ( n ) =  (0) P n Utviklingen i markedsandeler kan best illustreres ved å finne steady state eller likevekt i systemet

17 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 17 Markovanalyse av maskin Eieren av Tolsky Works har ført statistikk over tilstanden til en gitt maskin over lang tid Hvis maskinen er i orden nå, er sannsynligheten 80% for at den vil være i orden også neste periode 90% av tiden en maskin ikke var i orden en periode var den heller ikke i orden perioden foran 10% av tiden vil en maskin være i orden en periode selv om den ikke var det perioden foran

18 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 18 Markovanalyse av maskin Matrise med overgangssannsynligheter er 0.80.2 0.10.9 P = hvor correctly correctly P 11 = 0.8 =probability that the machine will be correctly functioning this month given it was correctly functioning last month not correctly P 12 = 0.2 =probability that the machine will not be correctly functioning this month given it was correctly functioning last month correctly not P 21 = 0.1 =probability that the machine will be correctly functioning this month given it was not correctly functioning last month not not P 22 = 0.9 =probability that the machine will not be correctly functioning this month given it was not correctly functioning last month

19 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 19 Markovanalyse av maskin Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:  (1) =  (0) P = (1, 0) = [(1)(0.8) + (0)(0.1), (1)(0.2) + (0)(0.9)] = (0.8, 0.2) 0.80.2 0.10.9

20 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 20 Markovanalyse av maskin Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:  (2) =  (1) P = (0.8, 0.2) = [(0.8)(0.8) + (0.2)(0.1), (0.8)(0.2) + (0.2)(0.9)] = (0.66, 0.34) 0.80.2 0.10.9

21 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 21 Likevektsbetingelser likevekt markedsandel Før eller siden kan markedsandeler være 1 eller 0, men generelt vil det eksistere likevekt markedsandel, hvis ikke tilstandssannsynlighetene fortsetter å endre seg etter et høyt antall perioder Ved likevekt er tilstandssannsynlighetene for neste perode de samme som for inneværende periode

22 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 22 Likevektsbetingelser Vi har alltid at  (neste periode) =  (denne periode) P  ( n + 1) =  ( n ) Ved likevekt Eller  ( n + 1) =  ( n ) P Slik at  ( n + 1) =  ( n ) P =  ( n ) Eller  =  P

23 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 23 Likevektsbetingelser For Tolskys maskin  =  P (  1,  2 ) = (  1,  2 ) 0.80.2 0.10.9 Matrisemultiplikasjon (  1,  2 ) = [(  1 )(0.8) + (  2 )(0.1), (  1 )(0.2) + (  2 )(0.9)]

24 © 2009 Prentice-Hall, Inc. 16 – 24 Likevektsbetingelser Vi har at  1 = 0.8  1 + 0.1  2  2 = 0.2  1 + 0.9  2 Tilstandssannsynlighetene summeres til 1  1 +  2 + … +  n = 1 For Tolskys maskin  1 +  2 = 1  1 = 0.33  2 = 0.67