Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO Hva er en egenvektor? Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO

”Standard matematisk utgangspunkt” Hva er en egenverdi? Rot av et karakteristisk polynom, Egenvektoren ”hører til egenverdien”,

Alternative definisjoner ”En vektor som ikke skifter retning, men kanskje lengde, når den multipliseres med matrisen den hører til” Første egenvektor løser max-problem for symmetrisk, reell matrise,

Egenvektor nr. 2,3,… løser max-problem i henhold til ortognalitetsbegrensninger, Siste egenvektor løser min-problem,

Lineære linkningssystemer…

Hva er en determinant? Skole-definisjon: Mer informativt: ”Determinant = Volum” Determinant = 0 => degenerert, 0-volum. Brukes i Mobil-nettverk for å måle kapasitet

”Egenvektorer – de som diagonaliserer” Spektral-dekomposisjon: For symmetrisk A: V ortogonal og,

Diagonalisering: Attraktiv egenskap Variabelskift: Gjør avhengige variabler uavhengige.

Ellipse->Sirkel X= XV XVD-1

Eksempel: Generalisert egenverdi-problem.

Visualisering av egenvektorer: PCA xi X V D VT XT = X Empirisk kovarians

Harmoniske svingninger – egenfrekvenser. Tocama Narrow Bridge Disaster, 1940

Ikke-symmetriske matriser. Generelt vanskeligere Komplekse egenverdier Ikke-ortogonale egenvektorer. ”Spinning” Deflasjon / ”ghost eigenvalues”

”Storebror til egenverdi-dekomposisjonen:” Singulær-verdi-dekomposisjon Sjelden i begynnerbøker (unntak: Gilbert Strang) Ofte brukt til rang-estimering (kondisjonstall) Signalbehandling: Signal-støy-rom PCA kan gjøres vha. SVD Diagonalisering av ikke-symmetriske matriser

(SVD fortsatt) Finnes for alle matriser, Singulærvektorer er også egenvektorer, For symmetrisk matrise: EVD = SVD Diagonaliserer A:

Egenskaper Singulærvektorene ”forklarer mest varians” i henholdsvis søyle og kolonne-rom godt egnet for kompresjon. Minimerer et kvadratisk avstandsmål Stabile Tidlige komponenter mest ”glatte” (Hastie: PDA)

Prinsipal-komponent-analyse. Kjemometri: Ladninger (”mest representative kurve”) Eigenfaces (”Mest representative fjesendringer”) Underromsmetoder/datareduksjon

Eksempel: ”Discrimination Models and Variance Stabilizing Transformations of Metabolomic NMR Data”, Institute on Research and Statistics, Sacramento, Parul Vora Purohit Scores Plot Loadings plot

Eksempel: ”Vibrational spectroscopic investigation of Australian cotton cellulose fibres”, Yongliang Liu, Serge Kokot* and Tryphone J. Sambi, Centre for Instrumental and Development Chemistry, School of Physical Science, Queensland University of Technology, Sentrering + PCA

Eigenfaces, Eksempe fra: CDSST CONSORTIUM FOR THE DEVELOPMENT OF SPECIALIZED SEISMIC TECHNIQUES Basis Faces for Face-space

Beregning av egenvektorer/sing.vektorer Power-metode (bruk i BIMA, Mobil-kommuikasjon) NIPALS Lancoz Ritz Konjugerte gradienter Krylow-rom

Andre anvendelser av SVD Optimale rotasjoner (Procrustes) Polar-dekomposisjon Eksempel: ”Statistical Shape Analysis”, Dryden & Marida

Utvidelser Funksjonsrom (Silverman & Ramsay) Ikke-lineære egenfunksjoner PCA Finner ”ukorrelerte” retninger, ICA finnes ”uavhengige retninger” = ikke-lineær PCA Tre-veis-analyse (PARAFAC, Tucker) GSVD – Diagonalisering av to matriser.