Kapittel 7: LP Introduksjon til Lineær Programmering Forutsetninger bak LP-problemer Formulering av LP-problemer Grafisk løsning al LP-problemer Løsning av LP med PC Løsning av minimeringsproblemer Spesielle LP-problemer Grafisk sensitivitetanalyse

Struktur i LP- problemer Alle problemer tar for seg en målfunksjon som skal minimeres eller maksimeres Alle problemer har begrensninger eller flaskehalser som reduserer måloppnåelse Det må være flere handlingsalternativ Målfunksjonen og begrensningene må være lineære funksjoner

Forutsetninger i LP Proporsjonalitet i målfunksjon og sidebetingelser Additivitet i målfunksjon og sidebetingelser Deterministiske data (full sikkerhet) Delbarhet (løsning ikke nødv. vis heltall) Endimensjonale mål Det vil si PADDE

Eksempel: Flair Furniture Timer for å produsere en enhet Kapasitet pr. uke X1 Stoler X2 Bord Avdeling Snekring Maling 4 2 3 1 240 100 Dekningsbidrag Restriksjoner 7 5 4X1 + 3X2 <=240 (Snekker) 2X1 + 1X2 <=100 (Maling) Målfunksjon Maksimer: 7X1 + 5X2

Flair Furniture - restriksjoner 120 100 80 60 40 20 Maling Antall stoler Snekker 20 40 60 80 100 Antall bord

Flair Furniture - isobidrag 120 100 80 60 40 20 Maling 7X1 + 5X2 = 210 Antall stoler 7X1 + 5X2 = 420 Snekker 20 40 60 80 100 Antall bord

Flair Furniture - mulighetsområde 120 100 80 60 40 20 Maling Antall stoler Mulighets område Snekring 20 40 60 80 100 Antall bord

Flair Furniture - løsning 120 100 80 60 40 20 Maling Løsning (X1 = 30, X2 = 40) Antall stoler Snekker 20 40 60 80 100 Antall bord

Flair Furniture

Flair Furniture - løsning

Minimeringsproblemer Minimeringsproblem – mål om å minimere kostnader Restriksjoner ofte på formen > 0 Klassisk minimeringsproblem: diett Minimer kostnad for dietten Gitt visse minimumskrav til vitaminer, osv

Forblanding

Kalkunfarm

Kalkunfarm - forts

Kalkunfarm, forts

Spesielle problemer Ingen løsning (Infeasibility) Ingen begrensninger (Unbounded Solutions) Overflødig restriksjon (Redundancy) Mer enn en optimalløsning

Ingen løsning X2 X1 + 2X2 <= 6 2X1 + X2 <=8 X1 >= 7 8 6 4 2 begrensning 3 2 4 6 8 X1 Begrensning 1 og 2

Ingen bindende restriksjon X2 15 10 5 X1 > 5 X2 < 10 Mulighetsområde X1 + 2X2 > 10 5 10 15 X1

Overflødig restriksjon X2 30 25 20 15 10 5 Overflødig 2X1 + X2 < 30 X1 < 25 X1 + X2 < 20 Mulighets område X1 5 10 15 20 25 30

Mange løsninger 8 7 Optimalløsning for alle 6 5 4 3 2 1 Optimalløsning for alle kombinasjoner av X1 og X2 langs linjestykket AB A Isobidragslinje for kr 8 Isobidragslinje for 12 parallell med restriksjon B AB 1 2 3 4 5 6 7 8

Sensitivitetsanalyse Hvor følsom er løsningen for endringer i koeffisientene i målfunksjonen ? Hvor følsom er løsningen for endringer i kapasitet (RHS) Sensitivitetsanalyse gjennomføres i praksis med PC, men enkle problemer kan løses grafisk

Timer for å produsere en enhet Eksempel: High Note Timer for å produsere en enhet Kapasitet pr. uke X1 CD X2 Receiver Avdeling Elektriker Lydtekniker 2 3 4 1 80 60 Dekningsbidrag Restriksjoner 50 120 2X1 + 4X2 <=80 (Elektriker) 3X1 + 1X2 <=60 (Lydtekniker) Målfunksjon Maksimer: 50X1 + 120X2

Eksempel: High Note

Eksempel: High Note