Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 5 Network Modeling.

Presentasjon om: "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 5 Network Modeling."— Utskrift av presentasjonen:

1 Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 5 Network Modeling

2 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE Mange forretningsproblemer kan representeres grafisk som nettverksproblemer. Dette kapittelet fokuserer på flere typer nettverksproblemer: Omlastingsproblemer (Transittproblemer) Korteste vei problemer Maksimal gjennomstrømmingsproblemer Transport og Tildelingsproblemer ”Generalized Network Flow” problemer Vi skal også se på en annen type nettverksmodell kalt ”Minimum Spanning Tree Problem” Introduksjon 2

3 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE3 nodergreiner Nettverksproblemer kan representeres som en samling noder sammenbundet med greiner. Det finnes tre typer noder: Tilbud Etterspørsel Mellomlager (transitt eller omlasting) Vi vil bruke negative tall for å angi tilbud og positive tall til å angi etterspørsel. Karakteristika ved Nettverksproblemer

4 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE4 Et Mellomlagringsproblem: Newark 1 Boston 2 Columbus 3 Atlanta 5 Richmond 4 J'ville 7 Mobile 6 $30 $40 $50 $35 $40 $30 $35 $25 $50 $45 $50 -200 -300 +80 +100 +60 +170 +70

5 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE5 For hver grein i en nettverksmodell defineres en beslutningsvariabel lik: X ij = mengde sendt (eller ”strøm”) fra node i til node j For eksempel, X 12 = antall biler sendt fra node 1 (Newark) til node 2 (Boston) X 56 = antall biler sendt fra node 5 (Atlanta) til node 6 (Mobile) Merk: Antall greiner bestemmer antall variabler i et nettverksproblem! Definere beslutningsvariablene

6 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE6 Minimer totale transportkostnader: MIN: 30X 12 + 40X 14 + 50X 23 + 35X 35 + 40X 53 + 30X 54 + 35X 56 + 25X 65 + 50X 74 + 45X 75 + 50X 76 Definere målfunksjonen

7 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE7 Restriksjoner i nettverks problemer: Transportbalanse regler For Minimum kost nettverksproblemer hvor: for hver node Bruk denne transportbalanseregelen for hver node: Totalt Tilbud > Total EtterspørselInn-utstrøm >= Tilbud eller etterspørsel Totalt Tilbud < Total EtterspørselInn-utstrøm <= Tilbud eller etterspørsel Total Tilbud = Total EtterspørselInn-utstrøm = Tilbud eller etterspørsel Merk: Antall noder bestemmer antall restriksjoner i et nettverksproblem!

8 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE8 Ved svinn eller kapasitetsbegrensninger på transporten, kan en ikke alltid på forhånd avgjøre om total kapasitet er tilstrekkelig til å dekke all etterspørsel. Lag heller 3 typer restriksjoner: Tilbudsnoder: Levere ut ≤ Kapasitet Transittnoder: Netto inn = Netto behov Behovsnoder: Mottatt = Behov Hvis maksimering: Bytt = med ≤ for behovsnoder. Underkapasitet vil da aldri være noe problem. Hvis underkapasitet og minimering: Må først minimere restordrer, før en minimerer kostnadene. (Altså løse problemet i 2 trinn.)

9 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE9 I dette problemet: Totalt Tilbud = 500 biler Total Etterspørsel = 480 biler På hver node trenger vi en restriksjon på formen: Innstrøm - Utstrøm >= Tilbud eller etterspørsel Restriksjon for node 1: –X 12 – X 14 >= -200 (Det er ingen innstrømming i node 1!) Dette er ekvivalent med: +X 12 + X 14 <= 200 Transportbalansereglene

10 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE10 Balanse-restriksjoner: –X 12 – X 14 >= –200} node 1 +X 12 – X 23 >= +100} node 2 +X 23 + X 53 – X 35 >= +60} node 3 + X 14 + X 54 + X 74 >= +80} node 4 + X 35 + X 65 + X 75 – X 53 – X 54 – X 56 >= +170} node 5 + X 56 + X 76 – X 65 >= +70} node 6 –X 74 – X 75 – X 76 >= –300} node 7 Ikke-negativitets-restriksjonene X ij >= 0 for alle ij Transportbalansereglene

11 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE11 Tilbudsnoder: Sum levert  Sum kapasitet Behovsnoder: Sum mottatt  sum etterspørsel Transittnoder: Sum mottatt – sum videresendt  sum egen etterspørsel Denne formuleringen fungerer for maksimeringsproblemer. For minimeringsproblemer må en snu ulikhetene til  for behovsnodene og transittnodene, ellers er optimal løsning å ikke levere noen ting (gratis). Minimeringsproblem kan da ende opp som uløselige (ikke nok kapasitet). En må i så fall løse problemet ved å legge til restordrer som nye variabler, og først minimere restordrene. Deretter minimere kostnadene, uten at restordrene øker. Mer generelle restriksjoner Ikke bruk restriksjoner på = form Ikke bruk restriksjoner på ” = ” form unntatt når det er helt nødvendig, for eksempel definisjoner av identiteter. Bruk eksempelvis: = en spesifikk ordre  maksimal etterspørsel  minimum behov

12 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE12 Husk dette er et minimeringsproblem, snu  til  for transitt og behovsnoder. (Vi må minst dekke etterspørselen.) Sum levert  Sum kapasitet: Node 1: Tilbudsnode. Sum levert  Sum kapasitet: X 12 + X 14 <= 200 Sum mottatt – sum videresendt  sum egen etterspørsel: Node 2: Transittnode. Sum mottatt – sum videresendt  sum egen etterspørsel: X 12 – X 23 >= 100 Node 3: Transittnode. X 23 + X 53 – X 35 >= 60 Sum mottatt  sum etterspørsel Node 4: Behovsnode. Sum mottatt  sum etterspørsel X 14 + X 54 + X 74 >= 80 Node 5: Transittnode. X 35 + X 65 + X 75 – X 53 – X 54 – X 56 >= 170 Node 6: Transittnode. X 56 + X 76 – X 65 >= 70 Sum levert  Sum kapasitet: Node 7: Tilbudsnode. Sum levert  Sum kapasitet: X 74 + X 75 + X 76 <= 300 Definere restriksjonene

13 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE13 En variabel for hver grein i nettverket. En restriksjon for hver node i nettverket: Tilbudsnoder kan ikke sende mer enn de har kapasitet til. For behovsnoder bruk ”≤” ved maksimering, og ”  ” ved minimering. Standard LP-formulering VariabelX 12 X 14 X 23 X 35 X 53 X 54 X 56 X 65 X 74 X 75 X 76 TypeGrense Kostnad3040503540303525504550Min. Node 111≤200 Node 21≥100 Node 311≥60 Node 4111≥80 Node 51 11≥170 Node 611≥70 Node 7111≤300

14 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE14 Implementering av LP i regneark variabel for hver grein En variabel for hver grein i nettverket. restriksjon for hver node En restriksjon for hver node i nettverket.

15 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE15 Transportmodell i regneark • En tabell for greinene (variablene) • En tabell for nodene (restriksjonene) • Her er balansereglene brukt. • Husk at negative restriksjoner [RHS] brukes for å angi tilbud.

16 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE16 Transportmodell med 3 typer noder Her er nodene delt inn i 3 typer: Tilbudsnoder – Transittnoder – Behovsnoder.

17 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE17 Optimal løsning for BMC Problemet Newark 1 Boston 2 Columbus 3 Atlanta 5 Richmond 4 J'ville 7 Mobile 6 $30 $40 $50 $40 $50 $45 -200 -300 +80 +100 +60 +170 +70 120 80 20 40 70 210

18 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE18 Mange beslutningsproblemer koker ned til å bestemme den korteste (eller billigste) ruten gjennom et nettverk. Eks. Rute for utrykningskjøretøy Dette er et spesialtilfelle av omlastingsproblemet hvor: Det er en tilbudsnode med tilbud lik -1 Det er en etterspørselsnode med etterspørsel +1 Alle andre noder har tilbud/etterspørsel lik +0 Kortest vei problemet

19 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE19 B'ham Atlanta G'ville Va Bch Charl. L'burg K'ville A'ville G'boro Raliegh Chatt. 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 2.5 hrs 3 pts 3.0 hrs 4 pts 1.7 hrs 4 pts 2.5 hrs 3 pts 1.7 hrs 5 pts 2.8 hrs 7 pts 2.0 hrs 8 pts 1.5 hrs 2 pts 2.0 hrs 9 pts 5.0 hrs 9 pts 3.0 hrs 4 pts 4.7 hrs 9 pts 1.5 hrs 3 pts 2.3 hrs 3 pts 1.1 hrs 3 pts 2.0 hrs 4 pts 2.7 hrs 4 pts 3.3 hrs 5 pts +1 +0 Finne beste reiseruten fra node 1 til node 11. -Raskeste rute -Mest severdig rute

20 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE20 Det kan tenkes to mulige målsettinger for dette problemet: Finne den raskeste ruten - minimere reisetiden Finne den mest severdige ruten - maksimere severdighetsrangeringen Husk: En variabel for hver grein. En restriksjon for hver node. Løse problemet

21 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE21 Korteste reiserute En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

22 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE22 Mest severdigheter Her går greinene i begge retninger. Det legges til en restriksjon slik at en ikke kjører en strekning i begge retninger. Øvelse: Tegn opp denne reiseruten.

23 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE23 Å bestemme når utstyr skal erstattes er et annet vanlig økonomisk problem. Det kan også modelleres som et korteste vei problem. Utskiftingsproblem

24 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE24 Compu-Train tilbyr innføringskurs i EDB programmer. Datamaskinene må byttes ut minst annet hvert år. To leasing- kontrakter vurderes, og hver krever $62,000 som startbeløp: Kontrakt 1: Prisene øker 6% per år 60% innbytte for 1 år gammelt utstyr 15% innbytte for 2 år gammelt utstyr Kontrakt 2: Prisene øker 2% per år 30% innbytte for 1 år gammelt utstyr 10% innbytte for 2 år gammelt utstyr Tidshorisonten er 5 år The Compu-Train Company

25 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE25 Kostnad ved innbytte etter 1 år:1.06*$62,000 - 0.6*$62,000 = $28,520 Kostnad ved innbytte etter 2 år:1.06 2 *$62,000 - 0.15*$62,000 = $60,363 etc, etc…. Nettverk for Kontrakt 1 13 5 2 4 +1 +0 $28,520 $60,363 $30,231 $63,985 $32,045 $67,824 $33,968

26 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE26 Løse utskiftingsproblemet • En tabell for nodene • En tabell for greinene

27 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE27 Noen nettverksproblemer har ikke transittnoder; bare tilbud og etterspørselsnoder. Transport- og tilordnings -problemer Mt. Dora 1 Eustis 2 Clermont 3 Ocala 4 Orlando 5 Leesburg 6 Avstander (i km) Kapasitet Tilbud 275,000 400,000 300,000 225,000 600,000 200,000 Plantasje Foredlings bedrift 21 50 40 35 30 22 55 25 20

28 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE28 Slike problemer løses enklest på samme måte som introdusert i kapittel 3. (Se f.eks. Opg. 3-23.) Transport- og tilordnings -problemer 1.Skriv inn avstandstabellen. 2.Kopier avstandstabellen, og lim den inn under. 3.Døp om den nye tabellen til mengdetabell, og slett tallene. Bruk disse cellene som Variabler. 4.Bygg modellen rundt mengdetabellen.

29 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE29 I enkelte problemer skjer det svinn eller økning ved transporten gjennom en grein. Eksempler: Olje eller gass som sendes gjennom en ikke helt tett rørledning Svakheter i råmaterialer som inngår i en produksjonsprosess Svinn av matvarer under mellomlagring Tyveri under transittlagring Renter eller dividender på investeringer Slike problemer krever noen modellendringer. Generalisert Nettverksproblem

30 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE30 Coal Bank Hollow Resirkulering Resirkuleringsprosess 1Resirkuleringsprosess 2 MaterialKostnadUtnyttelseKostnadUtnyttelseTilbud Avispapir$1390%$1285%70 tonn Blandet papir$1180%$1385%50 tonn Hvitt kontorpapir$995%$1090%30 tonn Papp$1375%$1485%40 tonn Avispapir Innpakningspapir Trykkeripapir RåmaterialkildeKostUtnyttelse KostUtnyttelse KostUtnyttelse Resirkuleringsprosess 1$595%$690%$890% Resirkuleringsprosess 2$690%$895%$795% Etterspørsel60 tonn40 tonn50 tonn Disse returproduktene skal bearbeides videre:

31 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE31 Nettverk for resirkulering Avispapir 1 Blandet papir 2 3 Papp 4 Resirkulerings prosess 1 5 6 Avispapir cellulose 7 Innpaknings papir cellulose 8 Trykkeri papir cellulose 9 -70 -50 -30 -40 +60 +40 +50 Hvitt kontor papir Resirkulerings prosess 2 $13 $12 $11 $13 $9 $10 $14 $13 90% 80% 95% 75% 85% 90% 85% $5 $6 $8 $6 $7 $8 95% 90% 95% +0

32 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE32 Minimere totale kostnader. MIN: 13X 15 + 12X 16 (Avispapir) + 11X 25 + 13X 26 (Blandet papir) + 9X 35 + 10X 36 (Hvitt kontorpapir) + 13X 45 + 14X 46 (Papp) + 5X 57 + 6X 67 (Avispapir) + 6X 58 + 8X 68 (Innpakningspapir) + 8X 59 + 7X 69 (Trykkeripapir) Definere totalkostnaden

33 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE33 Råmaterial -X 15 -X 16 >= -70 } node 1 (Avispapir) -X 25 -X 26 >= -50 } node 2 (Blandet papir) -X 35 -X 36 >= -30 } node 3 (Hvitt kontorpapir) -X 45 -X 46 >= -40 } node 4 (Papp) Resirkuleringsprosesser +0,9X 15 +0,8X 25 +0,95X 35 +0,75X 45 -X 57 -X 58 -X 59 >= 0 } node 5 +0,85X 16 +0,85X 26 +0,9X 36 +0,85X 46 -X 67 -X 68 -X 69 >= 0 } node 6 Cellulose papir +0,95X 57 +0,90X 67 >= 60 } node 7 (Avispapir) +0,90X 58 +0,95X 68 >= 40 } node 8 (Innpakningspapir) +0,90X 59 +0,95X 69 >= 50 } node 9 (Trykkeripapir) Definere restriksjonene

34 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE34 4 tilbudsnoder (node 1 – 4; råmaterial): Sum ut ≤ kapasitet 2 transittnoder (node 5 – 6; resirkuleringsprosesser): Sum inn ≥ Sum ut 3 etterspørselsnoder (node 7 – 9; produsert papir): Sum inn ≥ behov Standard LP formulering VariabelX 15 X 25 X 35 X 45 X 16 X 26 X 36 X 46 X 57 X 58 X 59 X 67 X 68 X 69 TypeGrense Kostnad131191312131014568687Min Node 111≤70 Node 211≤50 Node 311≤30 Node 4 1 1 ≤40 Node 50,90,80,950,75 ≥0 Node 6 0,85 0,90,85 ≥0 Node 70,950,9≥60 Node 80,90,95≥40 Node 9 0,9 0,95≥50

35 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE35 Generelt nettverk – LP i regneark En kolonne for hver variabel, en LHS (total)- og en RHS -kolonne. (Kolonne C – P for variabler, Q for LHS/total og S for RHS) En linje for verdier til beslutningsvariablene. (Linje 3) En linje for målfunksjonen. (Linje 4) En linje for hver restriksjon. (Linje 5 – 13) • 4 tilbudsnoder: • Sum ut ≤ kapasitet • 2 transittnoder: • Sum inn ≥ Sum ut • 3 etterspørselsnoder: • Sum inn ≥ behov

36 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE36 Generalisert nettverk Lay-out En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

37 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE37 I generaliserte nettverksmodeller, med tap eller gevinst knyttet til transport langs greinene, vil tilgjengelige ressurser bli redusert eller økt. Det vil da ofte bli umulig på forhånd å avgjøre om all etterspørsel kan dekkes. I så fall må problemet løses i to trinn: Først minimeres sum restordrer. Deretter minimeres transportkostnadene uten å øke restordrene. Viktig modelleringspoeng

38 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE38 Kan ikke dekke etterspørsel Først minimere restordrer Nye variabler

39 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE39 Størst dekning til minst kostnad Ny restriksjon Så minimere kostnadene

40 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE40 For noen nettverksproblem er målsettingen å finne den største mulige gjennomstrømningen i nettverket. Greinene i disse problemene har øvre og nedre gjennomstrømningsgrenser. Eksempler: Hvor mye vann kan transporteres gjennom et rørsystem ? Hvor mange biler kan passere gjennom et nettverk av gater ? Maksimum gjennomstrømning

41 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE41 The Northwest Petroleum Company Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Raffineri 1 2 3 4 5 6 6 4 3 6 4 5 2 2

42 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE42 The Northwest Petroleum Company Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Raffineri 1 2 3 4 5 6 6 4 3 6 4 5 2 2

43 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE43 MAX: X 61 Slik at:+X 61 - X 12 - X 13 = 0 +X 12 - X 24 - X 25 = 0 +X 13 - X 34 - X 35 = 0 +X 24 + X 34 - X 46 = 0 +X 25 + X 35 - X 56 = 0 +X 46 + X 56 - X 61 = 0 Med følgende grenser på beslutningsvariablene: 0 <= X 12 <= 60 <= X 25 <= 20 <= X 46 <= 6 0 <= X 13 <= 40 <= X 34 <= 20 <= X 56 <= 4 0 <= X 24 <= 30 <= X 35 <= 50 <= X 61 <= ∞ Formulering max gjennomstrømning

44 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE44 Implementere modellen

45 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE45 Alternativ formulering Her er problemet løst uten kunstig returgrein.

46 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE46 Optimal løsning Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Raffineri 1 2 3 4 5 6 6 4 3 6 4 5 2 2 5 3 2 4 2 5 4 2

47 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE47 Anta at total strøm in i node 3 & 4 må være hhv. minst 50 og 60. En måte å oppnå dette uten bruk av siderestriksjoner (utenom balanserestriksjonene) er vist på neste slide. Spesielle modelleringsknep 1 2 3 4 5 6 -100 +75 +50 +0 $3 $4 $5 $3 $6

48 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE48 Nodene 30 & 40 akkumulerer total innstrømming til henholdsvis nodene 3 & 4. Spesielle modelleringsknep 1 2 3 4 5 6 -100 +75 +50 +0 $3 $4 $5 $3 $6 30 40 +0 L.B.=50 L.B.=60

49 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE49 To (eller flere) greiner kan ikke ha samme start og ende noder. Isteden, prøv... Spesielle modelleringsknep 1 -75 $8 2 +50 $6 U.B. = 35 1 10 2 +0 +50 -75 $0 $6 U.B. = 35 $8

50 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE50 Spesielle modelleringsknep : Kapasitetsrestriksjoner på greinene 1 -100 2 3 +75 4 +80 $5, UB=40 $3, UB=35 $6, UB=35 $4, UB=30 Tilbudet overstiger etterspørselen, men kapasitetsrestriksjoner på greinene forhindrer full tilfredsstillelse av all etterspørsel.

51 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE51 Rikelig produksjonskapasitet – men transportbegrensinger gir restordrer Først minimeres sum restordrer

52 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE52 Rikelig produksjonskapasitet – men transportbegrensinger gir restordrer Så minimeres transportkostnadene

53 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE53 For et nettverk med n noder, er et spanning tree et sett av n-1 greiner som knytter alle nodene sammen, uten å returnere til en node. The Minimal Spanning Tree Problem består i å finne det sett av greiner som knytter alle nodene sammen på billigste måte. The Minimal Spanning Tree Problem

54 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE54 Eksempel på Minimal Spanning Tree 2 3 1 4 5 6 $150 $100 $40 $85 $65 $50 $90 $80 $75 $85 Nodene representerer datamaskiner i et lokalt nettverk.

55 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE55 1.Velg en hvilken som helst node. Kall dette for gjeldende subnettverk. 2.Legg til gjeldende subnettverk den billigste grein som knytter en hvilken som helst node innen gjeldende subnettverk til en hvilken som helst node utenfor gjeldende subnettverk. (Velg vilkårlig hvis flere alternativer er like billige.) Kall dette for gjeldende subnettverk. 3. Hvis alle nodene er med i gjeldende subnettverk, stopp; dette er optimal løsning. Hvis ikke, gå tilbake til trinn 2. The Minimal Spanning Tree Algoritmen

56 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE56 Løsning av eksemplet – 1 2 3 1 4 5 6 $100 $85 $90 $80 $85

57 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE57 Løsning av eksemplet – 2 2 3 1 4 5 6 $100 $85 $50 $90 $80 $75 $85

58 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE58 Løsning av eksemplet – 3 2 3 1 4 5 6 $100 $85 $65 $50 $80 $75 $85

59 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE59 Løsning av eksemplet – 4 2 3 1 4 5 6 $150 $100 $40 $65 $50 $80 $75 $85

60 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE60 Løsning av eksemplet – 5 2 3 1 4 5 6 $150 $40 $65 $50 $80 $75 $85

61 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE61 Løsning av eksemplet – 6 2 3 1 4 5 6 $40 $65 $50 $80 $75

62 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE62 Minimal Span Tree

63 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE63 Minimal Span Tree

64 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE64 Løsning Minimal Span Tree Optimale greiner

65 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE65 Slutt på kapittel 5