Naturens former – og formler Formenes matematiske hemmeligheter Formenes matematiske hemmeligheter Dette foredraget skal dreie seg om former som vi ser i naturen rundt oss. Vi skal prøve å avdekke deres hemmeligheter ved å modellere de prosessene som ligger under formene og så se hva vi kan få ut av de matematiske modellene.Vi skal prøve å ikke være så veldig matematisk-teknisk og trette forsamlingen med en matematisk språkbruk de ikke har forutsetninger for å forstå. Det viktigste i denne sammenheng er de mer overordnede strategiene og hvordan disse kan tolkes. La oss starte med noen eksempler på hvordan naturen gir oss vakre former. Naturens former – og formler

Det første er et lyn-nedslag Det første er et lyn-nedslag. Elektrisk spenning mellom skyer og jordoverflaten gir opphav til voldsomme utladninger, der den elektriske strømmen finner en sikk-sakk-vei over himmelen.

Bikuber kjennetegnes ved sine seks-kantede mønstre Bikuber kjennetegnes ved sine seks-kantede mønstre. Hvorfor lager biene dem slik, hvorfor ikke firkanter eller trekanter?

Hva med havbølger, de kan være spektakulære.

Og en vakker vulkan, formet av rennende lava Og en vakker vulkan, formet av rennende lava. Det er åpenbart at lavaen danner rette kanter

I stedet for å fortsette med eksempler av ulik art skal vi starte opp i den andre enden. Vi tar som utgangspunkt at det ligger en slags mening bak alle naturens former. At de ikke er tilfeldige, men skapt av en form for struktur som alt på jorda, og i universet for den sak skyld må forholde seg til. Går vi tilbake til big-bang, så oppsto jo all materie og energi i universet i et stort smell, molekyler føk i alle retninger, noen flokket seg sammen, kolliderte og etter hvert dannet det seg himmellegemer. Vår egen sol begynte å gløde som en følge av at molekylene ble så tett pakket og så mange at kjernereaksjoner startet opp av seg selv. Støvpartikler som kretset rundt sola samlet seg omsider til planeter og jorda ble til. Og vi kommer til første spørsmål, hvorfor er jorda rund? Før vi svarer skal vi presentere tre prinsipper som vi skal legge til grunn for våre modeller, og som skal forsøksvis forklare de formene naturen selv skaper.

PRINSIPPER: Alt er tall (Pytagoras) Minimalisering av potensiell energi (Leibniz, Euler, Maupertuis) Den sterkeste overlever (Darwin 1859, Artenes opprinnelse) De tre prinsippene vi legger til grunn er nokså forskjellige, men viktige på hver sin måte. Det første er vel kanskje det mest suspekte, og vanskelig å forstå hva betyr. Men vi skal komme litt tilbake til det. Det andre prinsippet dreier seg om minimalisering av potensiell energi. Prinsippet sier at naturen har en tendens til å etterstrebe en rolig tilværelse uten spenning. Det som kan falle ned, faller ned og spenninger søker sin minimale tilstand. I bunn og grunn er dette det som kalles termodynamikkens 2. lov. Det tredje prinsippet er Darwins kjente slagord om The survival of the fittest, som overhode ikke kommer fra Darwin, men ideen i det er hans. Alle disse tre prinsippene er med å styre de formene vi ser i naturen.

Jorda er rund fordi en støvhaug som utsettes for gravitasjonskrefter vil ha minst potensielll energi når støvhaugen er formet som en kule. Ingen ting kan lenger falle ned. Flattrykkingen ved polene skyldes som kjent jordrotasjonen,så her er det to krefter som virker, gravitasjonen og sentrifugalkraften, men formen som jorda har inntatt er presis den formen som under disse to ytre påvirkningene gir lavest potensiell energi. Credit for the formulation of the principle of least action is commonly given to Pierre Louis Maupertuis, who wrote about it in 1744[2] and 1746[3], although the true priority is less clear, as discussed below.Maupertuis felt that "Nature is thrifty in all its actions", and applied the principle broadly: "The laws of movement and of rest deduced from this principle being precisely the same as those observed in nature, we can admire the application of it to all phenomena. The movement of animals, the vegetative growth of plants ... are only its consequences; and the spectacle of the universe becomes so much the grander, so much more beautiful, the worthier of its Author, when one knows that a small number of laws, most wisely established, suffice for all movements".[8] This notion of Maupertuis, although somewhat deterministic today, does capture much of the essence of mechanics. Euler continued to write on the topic; in his Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748), he called the quantity "effort". His expression corresponds to what we would now call potential energy, so that his statement of least action in statics is equivalent to the principle that a system of bodies at rest will adopt a configuration that minimizes total potential energy.

Et annet eksempel på noe av det samme er såpebobler Et annet eksempel på noe av det samme er såpebobler. Hvorfor er såpebobler runde. I såpevannet virker det krefter mellom molekylene, krefter som drar molekylene mot hverandre. Inni såpeboblen er det en gitt mengde med luft og såpefilmen rundt må nødvendigvis omslutte dette bestemte volumet. Siden filmen prøver å trekke seg mest mulig sammen og fordele seg jevnt ut over det hele (det er det som gir lavest potensiell energi, prinsipp 2) vil likevektstilstanden være en overflate med minimum areal. Hvorfor er det en kule? Vi kan se på en analogi i planet:

2(s+e+A/(s+e))-2(s+A/s)=2e-2Ae/(s2+se) Omkretsen av et rektangel med gitt areal A er gitt ved 2(s+A/s), der s er lengden av den ene sidekanten. Dersom vi øker s med en liten bit e, så vil omkretsen endre seg med 2(s+e+A/(s+e))-2(s+A/s)=2e-2Ae/(s2+se) eller 2e(s2-A+se)/(s2+se) Dersom A=s2 så vil ikke den lille endringen endre noe på omkretsen og vi har funnet likevektstilstanden. Så kvadratet er det omsluttende rektangelet med minst omkrets. Forklaring på at kvadratet gir den minste omkretsen når arealet er gitt. A/s s

Sirkelen med areal A har omkrets: Kvadratet med areal A har omkrets: Konklusjonen er at sirkelen er optimal.

Her er en annen variant av en såkalt minimalflate Her er en annen variant av en såkalt minimalflate. Vi har to volumer med luft som omsluttes av såpefilmer som henger sammen. Vi ser at vi får to kulekalotter som limer langs en linje. Et interessant, og svært ikke-trivielt faktum er at vinklene mellom de to kalottene akkurat i skjøten er presis 120 grader.

Så på samme måte som at sirkelen gir den minste om- kretsen som omslutter et gitt areal, så gir kula det minste areal som omslutter et gitt volum. (Dette er på ingen måte lett å bevise formelt!) Naturens kuler: planeter, såpebobler, vanndråper, blåbær, egg (litt avlange), fosterstilling (?)

Fosterstillingen?

Hvorfor har elefanten så store ører?

Og hvorfor har musa så stor rund og tettpakket kropp?

Volum av en kule: Overflate av en kule Forholdet mellom dem:

Varme slipper inn og ut gjennom overflate Svette skjer på hudoverflaten Oksygen/CO2 slipper inn og ut gjennom en overflate, men forbrennes i et volum

Jo større legeme, jo mindre overflate pr. volum. Kuleflaten er optimal i forhold til å minimere overflate i forhold til volum. Den mest tilpasningsdyktige overlever

Vi snakket så vidt om bikuber. Igjen er mønsteret det optimale Vi snakket så vidt om bikuber. Igjen er mønsteret det optimale. Vi skal sette sammen celler med minst mulig overflate. Igjen dukker de 120 gradene opp i de regulære sekskantene.

Så over til noe llitt annet, menlig kongler.

Douady og Couders eksperiment (1992): Magnetiserte dråper av ferrofluid ble sluppet i en skål med silikonolje, som var magnetisert langs sin sirkulære kant. Dråpene ble på samme tid tiltrukket av kanten og frastøtt av de andre dråpene. Resultatet: Utgangsvinkelen endret seg 222,5 grader for hver dråpe.

Reinhardt (2000) foreslo en biokjemisk forklaring : Når primordium dannes absorberes et plante- hormon som kalles auxin. Det er mest auxin igjen i det området som er lengst fra øvrige primordia, så primordium framstår som om det beveger seg i retningen, tilsvarende en vridning på 222,5 grader.

Matematisk forklaring: Dersom man skal skyte stadig nye knopper som skal overlappe hverandre minst mulig, skal neste danne vinkel på =222,5 grader med forrige. Denne vinkelen passer inn i likningen  2 og passer i dermed i likningen 2 eller x2x

(her lener vi oss på Pytagoras - alt er tall) Kutter vi av denne får vi brøkene 1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...... som gir oss Fibonacci-tallene 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....... (her lener vi oss på Pytagoras - alt er tall)

Pn = (5+n1/2)(cos n, sin n) Vi plotter punktene i planet gitt ved Pn = (5+n1/2)(cos n, sin n) der n=1,2,3,.... , og der er vinkelen gitt av likningen 1 - 2 Denne vinkelen kalles den gyldne vinkel og er altså på ca. 222,5 grader.

n=1, ... ,1000

n=10, ... ,100

n=50, ... ,300

En streng som svinger danner overtoner: En stående bølge To stående bølger Tre stående bølger ........

Problem: Finn en toneskala basert på de to enkleste harmoniene, dobling og 3/2. Transponerer vi til intervallet [1,2] får vi: 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, .... Dersom vi skal ha en endelig toneskala må vi komme tilbake til 2 etter en stund.

Kvint-problemet (3/2)n=2m, eller (ln 3-ln 2)/ ln 2 = m/n Kan uttrykke x = (ln 3-ln 2) / ln 2 (tilnærmet lik 0,5850) ved hjelp av kjedebrøk.

Kutter vi av denne får vi brøkene 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53, 179/306, ... som gir de vanligste skalaene. (dette gir tilnærminger til løsning av kvint-problemet)