Kap. 3 - Likevekt Statisk likevekt Grafisk Analytisk

Mekanikk - s. 95 – 109 Konstruksjoner i likevekt - analytisk analyse Likevekt - resultantkraften er null Likevektsligninger Alternativt: Tre momentligninger

Når kreftene på et legeme er i balanse (Fx = 0 og Fy = 0 ), vil det ikke forskyves. G=25 N 10 N 10 N 25 N

Når momentene på et legeme er balanserte (M = 0) , vil det ikke rotere. 100N 150N 1m 1,5m MA = 0 = (150#)(10’) - (100#)(15’) = 0 A 250N

Utsnitt - Vi tar et utsnitt og ser på kreftene som virker på utsnittet. - Et hvilketsomhelst utsnitt må være i likevekt.

200N Eksempler på utsnitt Utsnitt 3 (trinse) Utsnitt 2 (tau) Utsnitt 1 (bøtte)

Utsnitt 1 (bøtta) Fy = 0  F1 - 200N = 0  F1 = 200N F1 200N

 Fy = 0  F2 - 200N = 0 F2 F1 = 200N Utsnitt 2 (tauet)  F2 = 200N (Strekkraften i tauet er 200N) F2 F1 = 200N

Trinser og tau (eller kabler, lenker) - Strekkraften i tauet er like stor på hver side av trinsen. Vi forutsetter at trinser er fullstendig fri til å rotere.

 Fy = 0  F3 - 200N - 200N = 0 F3 F2 = 200N 200N Utsnitt 3 (trinsa)  Fy = 0  F3 - 200N - 200N = 0  F3 = 400N F3 200N F2 = 200N

Likevektsligninger F1 F2 FAx y x FAy FB

Likevektsligninger F2y F2 F1x b c F2x F1 y F1y d p FAx a x FAy FB - FAx + F1x + F2x = 0 FAy + FB - F1y + F2y = 0 F1x · b + F1y · c + F2x · d – F2y · a - FB · a = 0

Laster på konstruksjoner Jevnt fordelt last y q - kN/m x Resultant av fordelt last = q  L - angriper midt på bjelken

B Kabel (1) Utsnitt 2 15o 45o C Kabel Bjelke (3) (2) G=50kN Utsnitt 1 Eksempel: Finn kraften i bjelken og kablene som må tåle den viste belastningen B Kabel (1) Utsnitt 2 15o 45o C Kabel Bjelke (3) (2) G=50kN Utsnitt 1 A

F3 Kabel (3) G=50kN Bruk utsnitt 1 for å finne kraften i kabel (3) Fy= 0  F3 - 50kN = 0  F3= 50 kN F3 Kabel (3) G=50kN

B y F1 45o x F2 60o 50kN Tegn utsnitt 2 (ved punkt B) -anta retningen til de ukjente kreftene. Hvis den beregnede kraften er positiv, er din antagelse riktig. Får du et negativt svar, betyr det at kraften peker i motsatt retning. B y F1 45o x F2 60o 50kN

F2x F1x B y F1y F1 45o x 60o F2y F2 50kN F1x = F1cos30o F1y = F1sin30o F2x = F2 sin45o F2y = F2 cos45o F2x F1x B y F1y F1 45o x 60o F2y F2 50kN

FX = 0  -F1cos30o- F2sin45o = 0  F1= -F2 sin45o= -0.816 F2 (Likn. 1) cos30o Fy = 0  -50kN - F2 cos45o- F1sin30o = 0  F2= (-F1 sin30o- 50kN ) cos45o  F2 = -0.50 (F1) - 50kN (Likn. 2) 0.707

(2 likninger og 2 ukjente) F2 = -0.50 (F1) -50kN 0.707  F2 = -0.50 (-0.816 F2) -50kN  F2 = 0.408 F2 - 50kN

F2 = 0.577 F2 - 70.7 kN  0.423F2 = -70.7 kN  F2 = 167.3 kN (trykk) F1 = -0.816 F2 = -0. 816 (-167.3 kN)  F1 = 136.6 kN (strekk)

136.6 kN (strekk) B 167.3 kN (trykk) C 50kN (strekk) G=50kN A Oversiktlig presentasjon av svarene (kreves ikke): 136.6 kN (strekk) B C 167.3 kN (trykk) 50kN (strekk) G=50kN A

Oppsummering av metoden: 1. Tegn utsnitt (eller se på hele konstr.) 2. FX = 0 3. FY = 0 4. M = 0 (var ikke nødv. i dette eks.) 5. Løs likningene; finn de ukjente kreftene

A B Parallelle krefter i likevekt - Når ikke alle kreftene virker gjennom samme punkt, må vi også regne på moment-likevekt. - Typisk eksempel: Skal finne reaksjonskreftene (AY & BY) på en “fritt opplagt” bjelke: A B

A B Metode for å beregne Ay og By : 1. MA= 0eller MB= 0 ) 2. FY= 0 3. Fx= 0 ( Ax = 0) 4. MB= 0 (som kontroll) (Rekkefølgen kan byttes på.)

Talleksempel: Beregn reaksjonskreftene 1kN 2kN 3kN 4 5 6 7 A 22 B

1kN 2kN 3kN 4 5 6 7 AX B A 22 AY BY Ser på hele konstr. under ett (Ikke hensiktsmessig å regne på et utsnitt.) 1kN 2kN 3kN 4 5 6 7 AX B A 22 AY BY

1) MA= 0  -1 (4) - 2 (4+5) - 3 (4+5+6) + BY (22) = 0  BY (22) = 4 + 18 + 45  BY = 67 = 3,05 kN 22

2) FY = 0  -1 - 2 - 3 + AY + BY =0  AY + BY = 6 kN  AY = 6kN - BY  AY = 6 kN -3,05 kN = 2,95 kN 3) Fx = 0  AX = 0

4) Kontroll: MB= 0  3 (7) + 2 (6+7) + 1 (5+6+7) - AY (22) = 0  21 + 26 + 18 = AY (22)  AY = 21+26+18 = 65 = 2,95 kN 22 22