Gjenfinningssystemer og verktøy II Kombinatorikk Jon Anjer

Hva er kombinatorikk? Kombinatorikk går ut på å se på antall mulige kombinasjoner av visse elementer, for eksempel: Termer (eksempel: kombinere emneord i strenger) UDK-deler i ett klassesymbol (eksempel: hvor mange ordninger) Dokumenter (eksempel: antall måter de kan ordnes på) Lotto-tall (eksempel: hvor mange forskjellige resultater) Poker-hender

Grunnmengde (populasjon) og utvalg Kombinatorikken har som grunnlag: En grunnmengde eller populasjon av enheter (kan være bøker, termer, lottokuler, personer osv.) At man velger utvalg av disse enhetene. Ofte er forutsetningen at alle elementene har like stor sannsynlighet for å bli valgt

Grunnlaget for kombinatorikk Kombinatorikken gir oss svaret på hvor mange kombinasjoner av elementene i utvalget fra populasjonen som finnes. Vi kan bruke de samme elementene flere ganger, f.eks. symbolet ”H” for hjemmekamp i en tipperekke, eller vi kan bare bruke dem én gang, f.eks. i en lottorekke. I noen tilfeller har rekkefølgen noe å si, f.eks. emneord i strenger, i andre tilfeller er rekkefølgen likegyldig, f.eks. tallene i lottorekka.

Kombinere valgmuligheter I mange tilfeller har vi forskjellige betingelser som skal kombineres, med et antall valgmuligheter for hver betingelse. I UDK danner hovedtall og tilleggstall kombinasjoner. Dersom visse hovedtall kan kombineres med alle tilleggstall av en gitt type, er antall mulige kombinasjoner produktet mellom antallet av hver.

Ordnede utvalg med tilbakelegging Denne modellen går ut på at en trekker elementer fra populasjonen, og at alle elementene er med hver gang. Rekkefølgen har betydning Antall tipperekker er et eksempel på bruk av denne modellen: Hver gang har man 3 muligheter, totalt 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =312 = 531 441 Tilsvarende får vi nr ordende utvalg med tilbakelegging der vi trekker r ganger fra en populasjon med n elementer

Permutasjoner En permutasjon av en mengde elementer er en gitt rekkefølge av elementene. Kombinatorikken gir oss svar på hvor mange permutasjoner som finnes. Eksempler: Hvor mange måter kan fire termer ordnes på i en streng? Hvor mange måter kan jeg ordne 100 bøker på hylla? Hvor mange måter kan personene i busskøen stilles opp?

Permutasjoner av kuler Hvor mange måter kan 4 kuler ordnes på? Som første kule: 4 mulige For hver av disse: Som andre kule: 3 mulige, foreløpig 4 • 3 = 12 For hver av disse: Som tredje kule: 2 mulige, foreløpig 4 • 3 • 2 = 24 Siste kule: Bare én igjen, totalt 4 • 3 • 2 • 1 = 24 Til venstre: alle permutasjoner med blå kule først

Antall permutasjoner av n elementer Helt generelt kan vi ordne n elementer på n! måter, der n! = for n • (n - 1) • (n - 2) • ... • 3 • 2 • 1 Vi leser ”n!” som ”n fakultet” Mer abstrakt kan vi skrive n! som Dette betyr: multipliser uttrykket bak  (stor Pi, gresk p) når 1 er satt inn med uttrykket når 2 er satt inn osv. helt til du kommer til n (dvs: alle tall f.o.m. 1 t.o.m. n) Det leses: ”Produktet av i fra i er lik 1 til n”

Antall permutasjoner av 20 elementer Funksjonen ”n fakultet” (n!, som angir antall permutasjoner) blir fort svært stort, for eksempel er antallet for 5 elementer 120 for 10 elementer 3628800 for 15 elementer 1307674368000 for 20 elementer 2432902008176640000

Funksjonen fakultet i EXCEL EXCEL har den matematiske funksjonen Fakultet, som gir antall permutasjoner. Legg spesielt merke til at 0!=1 Til høyre: hjelp for Fakultet-funksjonen

Ordnete utvalg uten tilbakelegging Permutasjoner er rekkefølger der alle elementene inngår. Vi kan også trekke et antall av elementene, og finne antall rekkefølger. Eksempel: Vi har 12 kuler, hvor mange måter kan vi ordne 3 av disse? Som første kule: 12 mulige Neste: en av de 11 resterende (12-1) Siste: en av de 10 resterende (12-2) Svar: 12 • 11 • 10 = 1320

Antall ordnete utvalg Helt generelt: Vi har n elementer, og skal velge r elementer av disse. Som første element har vi n mulige Som neste kan vi velge mellom de (n-1) resterende Deretter har vi (n-2) valgmuligheter Når vi har valgt de r elementene, skal vi ha (n-r) igjen, slik at når vi velger den siste, må vi ha (n-r+1) elementer å velge mellom Antall ordnete utvalg blir n ·(n - 1) ·... · (n - r + 1) Dette kan skrives

Funksjonen Permuter i EXCEL Funksjonen Permuter gir antall ordnede utvalg uten tilbakelegging Denne funksjonen ligger under statistikk, med litt vanskelig forklaring: Returnerer antallet permutasjoner for et gitt antall objekter som kan velges fra et antall objekter. En permutasjon er et hvilket som helst sett eller delsett av objekter eller hendelser der den interne rekkefølgen er viktig. Permutasjoner er forskjellig fra kombinasjoner som ikke tar hensyn til den interne rekkefølgen. Bruk denne funksjonen til sannsynlighetsberegninger av lotteritype.

Ikke-ordnete utvalg uten tilbakelegging Hvor mange ikke-ordnede utvalg blir det av de r elementene vi har hentet fra de n? Vi vet at antall ordnede utvalg er: Trekker vi et av disse, kan det ordnes på r! forskjellige måter Det betyr at r! ordnede utvalg vil fremstå som samme ikke-ordnede utvalg Vi kan dividere antall ordnede utvalg på r!, og får at antall ikke-ordnede utvalg blir

Eget symbol: n over r Det finnes eg eget symbol for uttrykket for antall ikke-ordnede utvalg, nemlig: Dette leses ”n over r”

Kombinasjoner i EXCEL EXCEL har den matematiske funksjonen KOMBINASJON Forklaring i EXCEL Returnerer antall mulige kombinasjoner for et gitt antall objekter, uavhengig av rekkefølgen. Du kan bruke KOMBINASJON til å bestemme det totale mulige antall grupperinger for et gitt antall objekter. Syntaks: KOMBINASJON(antall; valgt_antall) Antall er antall objekter. Valgt_antall er antall objekter i hver kombinasjon.

Regne ut n over r De enkelte delene i uttrykket blir svært store, men det er enkelt å forkorte! Nedenfor er de tallene som forkortes bort uthevet

Fire typer utvalg

Pascals trekant Pascals trekant gir oss uttrykket i linje n+1 I første linje Deretter: legg sammen tallene som står på skrå ovenfor