1 Sannsynlighetsregning Gjenfinningssystemer og verktøy II Jon Anjer

2 Hva er sannsynlighetsregning? Sannsynlighetsregning går ut på å finne ut sannsynligheten for at en begivenhet (hendelse) skal inntreffe. Ofte knyttes sannsynlighet til utvalg av en populasjon, der vi trekker et utvalg, og ser på sannsynligheten for at utvalget har visse egenskaper. I disse utvalgene vil modellen ofte innebære at alle elementer (enheter) har samme sannsynlighet for å bli valgt.

3 Hvordan regne sannsynlighet? Sannsynlighet angir hvor ofte det gunstige resultatet opptrer, som andel av alle mulige resultater. Hvis det gunstige resultatet opptrer g ganger av totalt n, er sannsynligheten Eksempel: Sannsynligheten for å trekke en hjerter (det finnes 13) fra en kortstokk på 52 kort er (vi multipliserer andel med 100 for å få prosent)

4 Grenser for sannsynlighet Det som alltid inntreffer, har sannsynlighet 1 (100%) (her er alle gunstige, g = n) Det som aldri inntreffer, har sannsynlighet 0 (0%) (her er ingen gunstige, g = 0) Hvis noe har sannsynlighet p for å inntreffe, vil sannsynligheten for at det ikke skal inntreffe være 1-p

5 Ikke-overlappende begivenheter Hvis to begivenheter ikke overlapper (begge deler kan ikke finne sted), finner vi sannsynligheten for at minst én vil inntreffe som summen av sannsynlighetene: P(A  B) = P(A) + P(B)

6 Overlappende begivenheter Hvis to begivenheter overlapper (begge deler kan finne sted), får vi med snittet to ganger. Dette må vi trekke fra når vi skal finne sannsynligheten for at minst én vil inntreffe: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

7 Uavhengige begivenheter Hvis to begivenheter er uavhengige (sannsynligheten for at den ene inntreffer påvirker ikke sannsynligheten for den andre), kan vi multiplisere sannsynlighetene med hverandre: P(A  B) = P(A) • P(B)

8 Gjentatte forsøk Ofte gjøres gjentatte forsøk under samme betingelser, der man vil vite sannsynligheten for at et gitt utfall opptrer et visst antall ganger. Eksempler: •Kaste terning 6 ganger. Hvor stor er sannsynligheten for ikke å få noen sekser; for å få nøyaktig én sekser, 6 seksere •Kjøpe 3 lodd med 5% sannsynlighet for gevinst hver gang. Hvor stor er sannsynligheten for å få 1 gevinst, 2 eller 3? •Se på referanser i et søkesett fra en database der 60% av referansene i settet er relevante

9 Kaste kron og mynt Vi kaster en mynt 3 ganger, og sannsynligheten for å få kron hver gang er 0,5 (50%). Hvor stor er sannsynligheten for å få 0, 1, 2 og 3 kron? Vi teller opp: •0 kron:1 tilfelle av 8 12,5% •1 kron:3 tilfeller av 837,5% •2 kron:3 tilfeller av 837,5% •3 kron:1 tilfelle av 812,5 % Kron Mynt

10 Ulike sannsynligheter Grønn Rød Sannsynligheten for å trekke rød kule er 0,6 (60%). Hvor stor er sannsynligheten for å få 0, 1, 2 og 3 røde? Vi teller opp: •0 røde: 1 · 0,4 3 = 0,064 •1 rød: 3 · 0,4 2 · 0,6 = 0,288 •2 røde: 3 · 0,4 · 0,6 2 = 0,432 •3 røde: 1 · 0,6 3 = 0,216 0,4 · 0,4 · 0,6 0,4 · 0,6 · 0,4 0,4 · 0,6 · 0,6 0,4 · 0,4 · 0,4 0,6 · 0,6 · 0,6 0,6 · 0,4 · 0,6 0,6 · 0,6 · 0,4 0,6 · 0,4 · 0,4

11 Formel for gjentatte forsøk Vi har ved opptelling funnet: •0 røde: 1 · 0,4 3 = 0,064 •1 rød: 3 · 0,4 2 · 0,6 = 0,288 •2 røde: 3 · 0,4 · 0,6 2 = 0,432 •3 røde: 1 · 0,6 3 = 0,216 Hvis vi vet at a 0 = 1, kan vi sette: •0 røde: 1 · 0,4 3 · 0,6 0 = 0,064 •1 rød: 3 · 0,4 2 · 0,6 1 = 0,288 •2 røde: 3 · 0,4 1 · 0,6 2 = 0,432 •3 røde: 1 · 0,4 0 · 0,6 3 = 0,216 Antallet muligheter •0 røde: 1 mulig ordning •1 rød: 3 mulige ordninger •2 røde: 3 mulige ordninger •3 røde: 1 mulig ordning

12 Antall forsøk med samme resultat Sannsynligheten for å trekke rød kule er 0,6 (60%). Hvor stor er sann- synligheten for å få nøyaktig én rød? 0,4 · 0,4 · 0,6 0,4 · 0,6 · 0,4 0,6 · 0,4 · 0,4 Den ene røde kan komme som første, andre eller tredje kule. Men det er ikke like lett å se hvis det er flere kuler, f. eks. 2 av 4. De to kulene kan komme som •nr 1 og 2 •nr 1 og 3 •nr 1 og 4 •nr 2 og 3 •nr 2 og 4 •nr 3 og 4

13 Mot binomialfordelingen Vårt resultat var at de to kulene kan komme som •nr 1 og 2; nr 1 og 3; nr 1 og 4; nr 2 og 3; nr 2 og 4; nr 3 og 4 Dette blir det samme som om vi skulle valgt et ikke-ordnet utvalg av to plasseringer av 4 mulige Formelen for dette er Helt generelt: Sannsynligheten for r gunstige utfall på n gjentatte uavhengige forsøk med samme sannsynlighet p for gunstig utfall er

14 Binomialkoeffisienter fra EXCEL Eksempel (hjelp i EXCEL) Når man slår mynt og krone, kan resultatet bare bli mynt eller krone. Sannsynligheten for at det første slaget skal være mynt, er 0,5 og sannsynligheten for at nøyaktig 6 av 10 slag skal være mynt er: BINOM.FORDELING(6;10;0,5;USANN) er lik 0,205078

15 Utfylling av funksjonsveiviser Her finner vi sannsynligheten for å få én rød kule av 3, der sannsynligheten for rød er 0,6. Svaret blir 0,288 At kumulativ er usann, betyr at vi vil vite sannsynligheten for nøyaktig én rød kule (”usann må fylles ut”)

16 Oppgitte formler hvis eksamen i matematikk Skalarprodukt Ordnede utvalg uten tilbakelegging Ikke-ordnede utvalg uten tilbakelegging Binomialfordelingen Vinkel