forventning og varians Kapittel 4: Stokastiske variable, forventning og varians Stokastiske variable Stokastiske variable kalles også tilfeldige variable. Definisjon: En stokastisk variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt av utfallet av et stokastisk forsøk. Eksempler: Aksjekurs om en uke, temperaturen i morgen, levetid for lyspære, antall medaljer Norge tar i ski-VM, antall ulykker på en veistrekning, omsetning i en bedrift neste år, antall studenter som får A på eksamen i BØK104, antall bilag med feil ved en revisjon, lånerenten om ett år, antall mål i en fotballkamp, antall som svarer ja i en undersøkelse, osv. Data/datasett er ofte utfall av stokastiske variable.

Eksempel: La X=antall kron i tre myntkast. X er da en stokastisk variabel. Utfallsrom x KKK 3 KKM 2 KMK MKK KMM 1 MKM MMK MMM Definisjon: Verdimengden, V, til en stokastisk variabel er mengden av alle verdier variabelen kan ha. Vi ser at verdimengden for X i eksemplet over er VX = {0, 1, 2, 3}.

Vi skal hovedsakelig se på stokastiske variable som er enten diskrete eller kontinuerlige. Definisjon: En variabel er diskret dersom den kun kan anta et tellbart antall verdier. Eksempler: X=antall kron i m myntkast, Y=antall trykkfeil i ei bok, Z=antall bilag med feil i et regnskap, osv En variabel er kontinuerlig dersom den kan anta en hvilken som helst verdi i et intervall. X=temperatur, Y=børsindeks, T=levetid for lyspære, osv I noen situasjoner kan det være en definisjonssak om man velger å se på en variabel som diskret eller kontinuerlig. F.eks. kan diskrete variable med mange mulige verdier behandles som kontinuerlige.

Diskrete sannsynlighetsfordelinger Eksempel: I myntkasteksemplet så vi at 3 av de 8 like sannsynlige utfallene ga verdien X=2. Dette kan vi uttrykke: P(X=2)=3/8=0.375. Tilsvarende kan vi regne ut sannsynligheten for de andre mulige verdiene til X. Vi får da det som kalles sannsynlighetsfordelingen til X. Definisjon: P(X=x) for alle mulige verdier av x i VX er sannsynlighetsfordelingen til den diskrete stokastiske variabelen X. Egenskaper: Notasjon: Stor bokstav = stokastisk variabel (før forsøket er utført) Liten bokstav = numerisk verdi til variabelen (etter forsøket er utført)

Eksempel: Myntkasteksemplet X=antall kron i tre myntkast. P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8, P(X=2)=3/8 og P(X=3)=1/8. Sjekk: Vi kan sette sannsynlighetsfordelingen opp i en tabell: Vi kan også tegne sannsynlighetsfordelingen: x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8

Definisjon: Kumulativ fordelingsfunksjon: F(x)=P(X ≤ x) Myntkasteksemplet: x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 F(x) = P(X ≤ x) 4/8 7/8

Forventningsverdi Forventningsverdi = ”gjennomsnitt i det lange løp” Forventningsverdien angir ”sentrum” i sannsynlighetsfordelingen. Definisjon: Forventningsverdien til den diskrete stokastiske variabelen X er: Eksempel: X=antall kron i tre myntkast. x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8

Merk at E(X) ikke trenger være blant de mulige verdiene for X. Eksempel: Terningkast X=resultat av terningkast x 1 2 3 4 5 6 P(X=x) 1/6 Eksempel: Bilutleiefirma med 3 biler. X=antall biler utleid en tilfeldig dag. Av erfaring vet man at: x 1 2 3 P(X=x) 0.15 0.30 0.35 0.20

Eksempel: Bilutleie fortsettelse Anta at fortjenesten, g(x), ved x biler utleid er: Hva er firmaets forventa fortjeneste per dag? Dvs, hva er E[g(X)]? Definisjon: Eksemplet: Forventa fortjeneste = gj.sn. fortjeneste per dag i det lange løp x 1 2 3 P(X=x) 0.15 0.30 0.35 0.20 x 1 2 3 g(x) -700 100 900 1700

Varians og standardavvik Varians/standardavvik er et nyttig mål som sier noe om hvor mye verdien til en stokastisk variabel vil variere fra forsøk til forsøk. Varians/standardavvik=”mål på spredning omkring forventningsverdien” Definisjoner: Variansen til den diskrete stokastiske variabelen X er: Alternativ formel som gir enklere regning: Standardavviket til den diskrete stokastiske variabelen X er:

σ2=Var(X)0 og σ=SD(X)0 alltid! Merk: σ2=Var(X)0 og σ=SD(X)0 alltid! Varians/standardavvik er mål på spredning i en sannsynlighetsfordeling. Utvalgsvarians/utvalgsstandardavvik (kap. 2) er mål på spredning i et datasett. I økonomi vil varians/standardavvik være et mål på risiko (mer om dette senere) Dersom vi registrerer mange X-verdier fra en symmetrisk sannsynlighetsfordeling sier en grov tommelfingerregel at: Ca 68% av verdiene vil ligge i Ca 95% av verdiene vil ligge i Nesten alle verdiene vil ligge i

Eksempel: Terningkast X=resultat av terningkast x 1 2 3 4 5 6 P(X=x) 1/6

Dvs: - Lik forventa avkastning, E(X)=E(Y). Eksempel: To investeringsprosjekter vurderes. La X=avkastning ved prosjekt 1 og Y=avkastning ved prosjekt 2. Følgende overslag er gjort: Prosjekt 1: Gir: E(X)=30 og Var(X)=16100 Prosjekt 2: Gir: E(Y)=30 og Var(Y)=19100 Dvs: - Lik forventa avkastning, E(X)=E(Y). - Prosjekt 2 har høyest risiko, Var(Y)>Var(X), dvs større sannsynlighet for stort tap/stor gevinst ved prosjekt 2. x -200 -100 100 200 P(X=x) 0.1 0.2 0.3 y -200 -100 100 200 P(Y=y) 0.15 0.2 0.25

Regneregler for forventning og varians La a og b være konstanter (faste tall) og X en stokastisk variabel. Da gjelder: E(a+ bX) = a+ bE(X) Var(a+ bX) = b2Var(X) Spesialtilfeller: b=0 gir: E(a)=a og Var(a)=0 a=0 gir: E(bX) = bE(X) og Var(bX) =b2Var(X) a=0 og b=-1 gir: Var(-X) = (-1)2Var(X) = Var(X) (NB!!)

Eksempel: Byggeprosjekt Materialkostnadene er a =2800 og lønnsutgiftene per mnd er b=160. X=byggetid (mnd) Dette gir at E(X)=6.01 og Var(X)=0.5499 Totalkostnaden blir: K = a+bX = 2800+160X Finn E(K) og Var(K). x 4 5 6 7 8 P(X=x) 0.01 0.20 0.60 0.15 0.04

Grossist A: 3500,- og grossist B: 3570,-. Eksempel: Et firma selger el.artikler. Kjøpes inn fra grossist i parti på 50 stk. To tilbud: Grossist A: 3500,- og grossist B: 3570,-. Noen defekte. Omkostninger: 35,- pr defekt enhet. X = antall defekte fra A, Y = antall defekte fra B; Har at: Hvor lønner det seg for firmaet å kjøpe artiklene? x 1 2 3 4 P(X=x) 0.1 0.2 0.3 y 1 2 P(Y=y) 0.4 0.2

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger For en kontinuerlig stokastisk variabel X inneholder verdimengden VX uendelig mange mulige verdier. Det har derfor ikke mening å snakke om P(X=x) for kontinuerlige variable. For kontinuerlige variable har vi i stedet en sannsynlighetstetthet f(x) som er slik at vi finner sannsynligheten for P(a≤X≤b) som arealet under f(x) fra a til b. Forventning og varians har samme tolkning som for diskrete variable. Vi skal kun se på en bestemt type kontinuerlig fordeling – normalfordeling. Mer om dette i kap. 5.7

Flere variable samtidig I noen situasjoner er det av interesse å se på to (eller flere) stokastiske variable samtidig. For to diskrete stokastiske variable X og Y kan det settes opp en simultanfordeling: Eksempel: To investeringsprosjekter. X=avkastning prosjekt 1, Y=avkastning prosjekt 2 x y P(x,y) -100 100 0.14 0.07 0.03 0.09 0.16 0.10 0.11 0.23

Grad av sammenheng mellom to variable kan måles ved kovarians og korrelasjon. Definisjon: Kovarians: der Investeringseksemplet:

Vi skal gå nærmere inn på korrelasjon i 7.2. Definisjon: Korrelasjon: -1 ≤ Corr(X,Y) ≤ 1 ρ = -1 ρ = -0.8 ρ = -0.6 ρ = -0.4 ρ = 0 ρ = 0.4 ρ = 0.6 ρ = 0.8 ρ = 1 Vi skal gå nærmere inn på korrelasjon i 7.2.

Korrelasjon og økonomisk risiko:

Definisjon: To diskrete stokastiske variable X og Y er uavhengige dersom for alle mulige kombinasjoner av X og Y. Betyr i praksis at informasjon om verdien til den ene variabelen ikke påvirker sannsynlighets-fordelingen til den andre. Ved uavhengighet er Cov(X,Y)=0. Investeringseksemplet:

E(a+bX+cY) = a+bE(X)+cE(Y) Regnereglene for forventning og varians kan generaliseres til flere variable. For eksempel, dersom a, b og c er konstanter og X og Y er to stokastiske variable har vi at: E(a+bX+cY) = a+bE(X)+cE(Y) Var(a+bX+cY) = b2Var(X)+c2Var(Y)+2bcCov(X,Y) Husk at Cov(X,Y)=0 dersom X og Y er uavhengige. Investeringseksemplet:

Regnereglene kan generaliseres videre til et vilkårlig antall variable X1,….,Xn. La a1,…,an og b være konstanter. Da er: Spesielt får vi: Ved avhengighet gjelder reglene for forventnings-verdi fremdeles, men for varians kommer kovariansledd inn i tillegg. Disse reglene vil vi spesielt få bruk for i kap. 6.

Vi kjøper to uavhengige parti fra denne grossisten. Eksempel: Antall defekte varer i et parti på 50 fra en grossist hadde følgende sannsynlighetsfordeling: Vi kjøper to uavhengige parti fra denne grossisten. Hva er forventet antall feil i de to partiene og hva er sannsynligheten for at vi får mer enn to feilvarer? y 1 2 P(Y=y) 0.4 0.2

Oppsummering Stokastiske variable, diskrete og kontinuerlige. Diskret sannsynlighetsfordeling: Forventningsverdi: Varians: Standardavvik: E(a+ bX) = a+ bE(X) Var(a+ bX) = b2Var(X) Intuitiv forståelse av kovarians, korrelasjon og uavhengighet mellom stokastiske variable.