Brøk Regneartene

Addisjon av brøker Lille Ole har lært litt om brøkregning. En dag kommer han til deg som lærer og presenterer følgende. Brann har spilt to ganger mot Rosenborg i år. I første kampen scoret Huseklepp 1 av de 2 målene til Brann. I andre kampen scoret han 2 av de 3 målene til Brann. Til sammen har Huseklepp scoret 3 av Brann sine 5 mål mot Rosenborg. Altså 1 2 + 2 3 = 3 5 Dette låter da ganske fornuftig ut gjør det ikke det? Hva er det som er problemet med Lille Ole sin tenkemåte?

Addisjon av brøker Vi kan tenke addisjon av brøker som en tretrinnsrakett akkurat som Saturn V raketten som ble brukt til Apolloprogrammet 1. Brøker med like nevnere Vi starter med brøker med like nevnere. Eksempler på slike oppgaver er disse 2 6 + 1 6 = 3 8 + 4 8 =

Addisjon av brøker 2. Brøker med nevnere der ene er et multiplum av andre Vi fortsetter med brøker der ene nevneren er delelig med andre nevner. Eksempel på slike stykker er 2 6 + 1 3 = 1 4 + 1 2 = 3 4 + 1 8 =

Addisjon av brøker 3. Brøker med ulike nevnere Vi fortsetter med brøker der nevnerne er ulike og der en det ikke er noe direkte sammenheng mellom nevnerne. Eksempler på det er. 1 2 + 1 3 = 1 4 + 2 5 = 2 3 + 3 4 =

Brøker med like nevnere Pål og Trude spiser begge litt av sjokoladeplaten. Pål spiser 6 ruter og Trude spiser 9 ruter. Hvor mye har de spist til sammen? Vi ser her lett at de til sammen har spist 15 av 24 biter.

Brøker med like nevnere Vi setter det opp som brøk 6 24 + 9 24 = 15 24 Vi ser at det gir mening å summere tellerne når vi legger sammen brøker.

Brøker med nevnere der den ene er delelig på den andre Vi ser på brøken 1 2 + 1 4 Her kan det være fristende for et barn å tenke som lille Ole 1 2 + 1 4 = 2 6 Vi bruker sjokolade igjen som eksempel. Regnestykket sier at vi skal ta en halv og legge sammen med en kvart.

Brøker med nevnere der den ene er delelig på den andre Dette kan vi illustrere slik. 1 2 + 1 4 Vi ser at dette ikke er lik 2 6

Brøker med nevnere der den ene er delelig på den andre Vi innser derimot ganske raskt at 1 2 = 2 4 Og at 1 2 + 1 4 = 2 4 + 1 4 = 3 4 Vi finner med andre ord det vi kaller fellesnevner. Addisjonsstykker av denne typer er forholdsvis greie. Det er nok å utvide en av brøkene.

Brøker med ulike nevnere Vi ser på brøken 1 2 + 1 3 Disse brøken er hakket mer komplisert enn de foregående brøkene. Her må vi utvide begge brøkene og finne en felles nevner.

Brøker med ulike nevnere Vi ser på brøken 1 2 + 1 3 Denne kan konkretiserer slik Problemet er at vi ikke ser hva svaret blir. Kan figuren deles inn slik at vi kan visualisere både hva 1 2 og 1 3 er?

Brøker med ulike nevnere Figuren vår kan vi dele inn i seksdeler Nå ser vi at 1 2 + 1 3 = 5 6 Vi ser at 6 er felles nevner. Matematisk kan dette formuleres

Brøker med ulike nevnere 1 2 + 1 3 = 1∙3 2∙3 + 1∙2 3∙2 = 3 6 + 2 6 = 5 6 Vi utvider begge brøkene slik at vi har en felles nevner. I dette tilfellet blir det 6. Når vi har funnet felles nevneren legger vi brøkene sammen slik vi gjorde tidligere. Vi tar et eksempel til

Brøker med ulike nevnere Vi ser på 2 3 + 3 4 Dette kan vi konkretisere med to sjokolader + = ????

Brøker med ulike nevnere + + = 17 12 2∙4 3∙4 = 8 12 + 3∙3 4∙3 = 9 12 = 17 12

Brøker med ulike nevnere Vi ser svaret blir en uekte brøk. Svaret blir med andre ord større enn 1. Skal vi konkretisere det må vi bruke to sjokolader.

Hvordan finne fellesnevner Når en har to brøker eller flere for den saks skyld kan fellesnevner alltid finnes ved å multiplisere nevnerne. 1) 1 3 + 1 5 har fellesnevner 3∙5=15 2) 1 3 + 1 8 har fellesnevner 3∙8=24 3) 1 4 + 1 6 har fellesnevner 4∙6=24

Hvordan finne fellesnevner På de to første har vi funnet fellesnevneren. Dette er også den minste fellesnevneren vi kan finne. La oss se litt nærmere på den siste. Kan vi finne andre og mindre fellesnevnere der? Ja. Vi ser at 12 også er fellesnevner. For å kunne finne minste fellesnevner er det viktig at gangetabellen er automatisert. Det er ikke noe enkel oppskrift på hvordan en kan finne minste fellesnevner. Ikke ennå i alle fall. Vi kommer litt tilbake til det i kapittel 2.

Oppgaver a) 3 6 + 2 3 = 7 6 =1 1 6 f) 2 1 4 +3 2 3 = 5 11 12 b) 1 4 + 1 3 = 7 12 g) 5 3 7 +2 1 6 =7 25 42 c) 2 5 + 3 4 = 23 20 =1 3 20 h) 6 1 6 −2 1 4 =3 11 12 d) 5 6 − 3 8 = 11 24 i) 4 1 4 −1 5 12 =2 5 6 e) 2 5 − 1 12 = 19 60 j) 3 1 5 −1 3 4 =1 9 20

Multiplikasjon Vi skal se på 3 situasjoner med multiplikasjon av brøk der vi har en naturlig progresjon. De tre situasjonene vi skal på er disse: 1. Oppgaver som 3∙ 1 2 = 2. Oppgaver som 1 2 ∙3= 3. Oppgaver som 1 2 ∙ 1 3 =

Multiplikasjon Vi ser først på situasjon 1 3∙ 1 2 = Dette kan vi betrakte som gjentatt addisjon på samme måte som med heltall. Med andre ord kan vi betrakte dette som 3∙ 1 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2

Multiplikasjon Et til eksempel 4∙ 2 3 = Dette kan vi skrive som 4∙ 2 3 = 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 = 4∙2 3 = 8 3 Vi ser vi tar heltallet og ganger med telleren i brøken.

Multiplikasjon Vi ser på situasjon 2 1 2 ∙3= Her blir det vanskelig å tenke på dette som gjentatt addisjon. Vi skal adderer 3 og 3 og 3 en halv gang. Det gir ikke noe mening. Vi betrakter det heller på slik at vi skal ta en halv av 3.

Multiplikasjon Gangestykket kan vi betrakte slik Med andre ord 1 2 ∙3= 3 2

Multiplikasjon Vi ser på situasjon 3 1 2 ∙ 1 3 = Regneteknisk er dette enkelt. Vi tar nevner gange nevner og teller ganger teller. Men hvordan kan dette visualiseres? Det som står her er at vi skal ta halvparten av en tredel.

Multiplikasjon Vi starter med en hel som vi deler opp i tre. Vi merker også av en tredel Vi skal deretter ha halvparten av en tredel. Vi ser ikke uten videre hva det blir. Vi deler opp tredelene i halve.

Multiplikasjon Vi skal bare ha halvparten av denne tredelen. Det gir oss følgende Altså, vi ser at 1 2 ∙ 1 3 = 1 6

Multiplikasjon Vi tar et eksempel til 2 5 ∙ 3 4 = Det som står her er at vi skal ta to femdeler av en tre firedeler. La oss prøve å visualisere det.

Multiplikasjon Vi starter med en hel som vi deler opp i fire. Vi merker også av tre firedeler Vi skal deretter ha to femdeler av disse tre firedelene Vi ser ikke uten videre hva det blir.

Multiplikasjon Vi deler hver av firedelene opp i fem. Vi skal bare ha to femdeler av disse tre firedelene. Det vil si

Multiplikasjon Vi ser at fra figuren at 2 5 ∙ 3 4 = 6 20 Vi legger også merke til at teller ganger teller og nevner gange nevner gir samme resultatet. Kan en gi utforskningsoppgaver som disse og se om elevene selv finner sammenhengen?

Multiplikasjon Vi tar et eksempel til 1 3 ∙2 1 2 = Det som står her er at vi skal ta en tredel av to og en halv. La oss prøve å visualisere det.

Multiplikasjon Her ser vi hvordan dette kan illustreres. Vi kan tenke oss at vi har 2 liters kartonger en halvliter Problemet er at vi ikke ser hvor mye dette blir. La oss dele de opp videre.

Multiplikasjon Nå ser vi hvor mye de gule delene utgjør. Vi ser at hver lille gul firkant er 1 6 . Totalt ser vi at svaret må bli 5 6

Multiplikasjon Matematisk kan vi regne det ut slik 1 3 ∙2 1 2 = 1 3 ∙ 5 2 = 5 6 .

Divisjon av brøk Vi starter med å se på divisjonen 2 3 :4= Vi illustrerer dette med et par figurer. Vi tar det i to steg. Vi starter med å se på 2 3 .

Divisjon av brøk Vi deler først figuren opp i 3 og skraverer to tredeler. Vi deler igjen i fire Vi skal bare en firedel av dette. Det gir oss

Divisjon av brøk Med andre ord ser vi at 2 3 :4= 2 12 = 1 6 Vi ser også at dette blir det samme som 2 3 :4= 2 3 ∙ 1 4 = 2 12 = 1 6

Divisjon av brøk Vi ser på følgende divisjonsstykker 1: 1 2 = 1: 1 3 = 1: 1 4 = 1: 1 5 = Dette kan konkretiseres med øl (vann i skolen). Hvor mange halvlitere får du av en liter øl? Hvor mange glass på 0,33 får du av en liter osv.

Divisjon av brøk Vi ser lett at svaret blir 2, 3, 4 og 5 1: 1 2 =2 1: 1 3 =3 1: 1 4 =4 1: 1 5 =5 Det kan også konkretiseres slik Geir og Bjørn gjør i artikkelen sin. De starter med en hel og deler inn i f. eks tredeler og spør hvor mange tredeler det er plass til.

Divisjon av brøk 1: 1 3 =3 Vi starter med en hel Vi deler opp i tre Vi ser at det er plass til 3 slike tredeler i en hel.

Divisjon av brøk 1: 1 5 =5 Vi starter med en hel Vi deler opp i tre Vi ser at det er plass til 5 slike femdeler i en hel.

Divisjon av brøk Vi utvider vanskelighetsgraden litt og ser på et stykke som dette 4: 1 3 = Vi lager 4 figurer som vi deler i 3. Hvor mange tredeler er det plass til?

Divisjon av brøk Her har vi fire hele som hver er delt i tre Vi ser at vi får 12 slike tredeler. Med andre ord er 4: 1 3 =12. Også her ser vi at vi ville fått det samme ved å snu siste brøken på hodet og gange.

Divisjon av brøk Også her ser vi at vi ville fått det samme ved å snu siste brøken på hodet og gange. 4: 1 3 =4∙ 3 1 =12 Hva med 4: 2 3 ? Her ser vi at kan fordele de 4 hele på glass som tar to tredels liter istedenfor. Det betyr at det fordeles på akkurat halvparten av glassene fra i sted.

Divisjon av brøk 4: 2 3 =6 Også her har vi samme mønster som tidligere 4: 2 3 =4∙ 3 2 = 12 2 =6

Divisjon av brøk Det siste stykket vi skal se på er dette 2 5 : 1 3 = Også her skal vi bruke en illustrasjon. Vi tar en hel og deler først i 5 deler. Vi skraverer så to femdeler. Disse to femdelene skal i neste omgang fordeles på tredeler.

Divisjon av brøk Vi deler den først i femdeler og skraverer to femdeler. Vi deler deretter i videre i tre Spørsmålet nå er hvor mange slike tredeler vi trenger for å fylle det gule feltet. Vi ser at en tredel består av 5 ruter.

Divisjon av brøk Vi ommøblerer litt på de gule rutene = Vi ser at de gule utgjør en hel tredel pluss en femdel av denne. Med andre ord blir svaret 1 1 5 eller 6 5

Divisjon av brøk Vi ser at vi har at 2 5 : 1 3 = 5 6 Også her ser vi at vi får samme resultat om vi gjør som tidligere. 2 5 : 1 3 = 2 5 ∙ 3 1 = 6 5

Divisjon av brøk Helt til slutt ser vi på denne 2 5 : 2 3 = Dette er omtrent samme stykke som i sted. Forskjellen er et de to femdelene skal fordeles på to tredeler istedenfor tredeler. Sunn fornuft tilsier at vi trenger halvparten så mange som i sted.

Divisjon av brøk Med andre ord har vi at 2 5 : 2 3 = 5 10 Også her ser vi at vi får samme resultat om vi gjør som tidligere. 2 5 : 2 3 = 2 5 ∙ 3 2 = 6 10

Oppgaver Det er mange oppgaver på side etter kapittel 5.4 i boken. (Side 119 i rød bok). Aktuelle oppgaver som dere kan gjøre er 1.40 – 1.46 1.48, 1.49, 1.61