© Cappelen Akademisk Forlag Kapittel 2 Beregning av sluttverdi, nåverdi og annuitet

© Cappelen Akademisk Forlag 2 Innledning En kontantstrøm består av inn- og utbetalinger på ulike tidspunkt. En kontantstrøm kan gjenspeile et prosjekt, en aksjeinvestering, lån mv. I dette kapitlet skal vi gjennomgå metoder for å verdsette kontantstrømmer. Det vi skal behandle i det følgende, danner dermed grunnlaget for det aller meste som skal gjennomgås i de senere kapitlene.

© Cappelen Akademisk Forlag 3 Innledning Hovedpunkter i kapitlet er: 1.Tidslinje 2.Sluttverdi (av ett enkelt beløp) 3.Nåverdi (av ett fremtidig beløp) 4.Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp 5.Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag 4 1. Tidslinje Tidslinje: ”Illustrert kontantstrøm” Eksempel: Utbetaling på 100 på tidspunkt 0 som etterfølges av en innbetaling på 115,8 tre perioder senere –Over linjen: Perioder (eks. mnd/halvår/år) –Under linjen: Beløp, kontantstrømselementer eller kontantoverskudd for den gitte periode

© Cappelen Akademisk Forlag 5 2. Sluttverdi (av ett enkelt beløp) Definisjon sluttverdi: Verdien av ett (eller flere) kontantstrømselementer på et gitt fremtidig tidspunkt Typisk eksempel på sluttverdi er fremtidig verdi av bankinnskudd

© Cappelen Akademisk Forlag 6 2. Sluttverdi (av ett enkelt beløp) Sluttverdi: Hva vokser et 100 kroners bankinnskudd til i løpet av 3 år dersom innskuddsrenta er 5% og renta ikke heves? Kontantstrømmen ser slik ut (innskudd tidspunkt 0, uttak 3 perioder (år) senere):

© Cappelen Akademisk Forlag 7 2. Sluttverdi (av ett enkelt beløp)

© Cappelen Akademisk Forlag 8 3. Nåverdi (av ett fremtidig beløp) Definisjon nåverdi: Verdien på tidspunkt 0 av ett (eller flere) fremtidig(e) kontantstrømselement(er) Eksempel på nåverdi er dagens verdi av fremtidige dividendeutbetalinger Rentesatsen som benyttes i nåverdiberegninger, kalles ofte diskonteringsrente eller diskonteringssats

© Cappelen Akademisk Forlag 9 3. Nåverdi (av ett fremtidig beløp) Nåverdi: Hva er verdien av å motta 115,76 om 3 år dersom du benytter en diskonteringsrente på 5%? Vi ser at nåverdien tilsvarer innskuddsverdien fra forrige eksempel når rentesatsen som benyttes i begge beregninger er lik

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi (av ett fremtidig beløp)

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi (av ett enkelt beløp) Generell sammenheng mellom nåverdi og fremtidsverdi av ett enkelt beløp: Hvor: –Antall perioder: n –Prosentvis vekst (rente): i –Sluttverdi (Future value): FV –Nåverdi (Present value): PV

© Cappelen Akademisk Forlag Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp Eksempel: Trinnvis oppgjør for salg av aksjer Du mottar i dag, og , og de påfølgende år Tidslinje: Hva er sluttverdien (år 3) når pengene plasseres til 5% rente?

© Cappelen Akademisk Forlag Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp Eksempel: Trinnvis oppgjør for salg av aksjer (forts.) Løsning: Sluttverdi

© Cappelen Akademisk Forlag Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp Eksempel: Trinnvis oppgjør for salg av aksjer (igjen) Hva er nåverdien (år 0) når kontantoverskuddene diskonteres med 5% rente?

© Cappelen Akademisk Forlag Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp Sluttverdi (generell sammenheng): Hvor: –CF t er kontantstrømselement på tidspunkt t –t = 0, 1, 2, …, n

© Cappelen Akademisk Forlag Sluttverdi og nåverdi av flere, varierende beløp Nåverdi (generell sammenheng): Hvor: –CF t er kontantstrømselement på tidspunkt t –t = 0, 1, 2, …, n

© Cappelen Akademisk Forlag 17 Et selskap har nettopp utbetalt utbytte til aksjonærene med kr 80 pr. aksje. Utbytte betales ut en gang i året. Markedet forventer at selskapet vil øke utbyttet med 2,5% pr. aksje i all fremtid. Avkastningskravet er 10,7%. Hva er verdien av aksjen? 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter For en aksjonær er verdien av en aksje nåverdien av fremtidige dividendeutbetalinger Neste år forventes en dividende på År 2, 3 og 4 forventes følgende dividender

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Antar vi at selskapet ikke går konkurs, utvikler dividendene slik i all fremtid Verdien av aksjen er altså nåverdien av en uendelig dividendestrøm, der dividenden hvert år øker med 2,5%. Diskonteringssats er 10,7% Verdien av aksjen er

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Siste likhetstegn på forrige slide følger fra det som i matematikken omtales som summen av en uendelig rekke Anvendelsen vi nettopp har sett på, verdien av en aksje nåverdien av fremtidige dividender, kalles diskontert dividende-modellen (DDM) Det er mange andre anvendelser av uendelige rekker

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Generelt har vi følgende sammenheng for nåverdi av en uendelig rekke med konstant vekst : Hvor: –g er konstant vekstrate –i er diskonteringssats –(Nødvendig antakelse: i>g for at rekken skal konvergere)

© Cappelen Akademisk Forlag 22 La oss endre det foregående eksempelet litt. Anta at dividenden utbetales i all fremtid med kroner 82, første gang om ett år. Avkastningskravet er fortsatt 10,7%. Hva er verdien av aksjen nå? Løsning: Samme formel som før med g=0 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Når beløpene er konstante, med likt tidsintervall mellom betegnes det konstante beløpet annuitet Generelt har vi at nåverdien for en uendelig annuitet er gitt ved : Hvor: –i er diskonteringssats

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Eksempel: Nåverdi av endelig vekstrekke En person går av med pensjon om ett år. Avtalen inneholder 5 utbetalinger, i slutten av hvert år etter pensjonering. Første pensjonsutbetaling er kr Øvrige utbetalinger prisjusteres. Antatt prisstigning er 2% pr. år. Renten er 5%. Hva er nåverdien av pensjonen på pensjoneringstidspunktet?

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Tidspunkt 0 settes til pensjoneringstidspunktet Tidslinje med inflasjonsjustert pensjon (utbetalingene øker med 2% pr. år): Nåverdi med 5% rente blir

© Cappelen Akademisk Forlag Nåverdi, sluttverdi og annuiteter Svaret kan vi komme frem til på en annen måte.

© Cappelen Akademisk Forlag 27 Generell formel for nåverdi av en endelig annuitet mod konstant vekst: Hvor: –PMT er det første beløp vi mottar (tidspunkt 1) –Vekst per periode er g –Diskonteringssatsen er i, og n er antall perioder Merk: Ved annuitet, bruk g=0. 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag 28 Sammenhengen mellom annuitet og nåverdi kan snus – hva er annuiteten for en gitt nåverdi og rente? Du låner kr som skal nedbetales (renter og avdrag) over tre år. Årlig etterskuddsvis betaling. Långiver skal ha en avkastning på 8% (effektiv lånerenten) Hvor stort årlig avdrag betaler du? 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag 29 Lånebeløpet er en nåverdi Siden vi vet effektiv rente, kan vi bruke nåverdien for en annuitet for å regne ut årlig rente/avdragsbeløp 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter

© Cappelen Akademisk Forlag 30 Generell formel for annuiteten til en gitt nåverdi og rente: 5. Nåverdi, sluttverdi og annuiteter