Kapittel 3 Diskontering

Læringsmål Etter å ha jobbet med lærebok og hjemmeside til kapittel 3 skal du kunne: 1.Forklare begrepene kapitalkostnad, tidskostnad, inflasjonskostnad og risikokostnad 2.Splitte et rentebeløp i enkel rente og rentes rente 3.Beregne sluttverdi og nåverdi ved hjelp av formel, rentetabell, kalkulator og regneark 4.Finne annuitet fra en nåverdi og nåverdi fra en annuitet som kan ha endelig eller uendelig levetid; med eller uten vekst 5.Beregne kort rente fra en lang rente og omvendt 6.Omregne fra nominell rente til reell rente og omvendt

Kapittel 3: Oversikt 1.Sluttverdi 2.Nåverdi 3.Annuitet: Beregning 4.Annuitet: Sammensetning 5.Annuitet: Sluttverdi 6.Annuitet:Forskudd 7.Rente: Kort og lang 8.Rente: Kontinuerlig 9.Rente: Varierende 10.Rente: Nominell og reell 11.Oppsummering

Utgangspunkt: Kontanstrøm (kap 2) og diskontering (kap 3)

1. Sluttverdi  X T øker med økende X 0, r og T (1+r) T kalles sluttverdifaktor. Rentetabell 1: 012 tid 

Eksempel plasseres i fem år til 7 % årlig rente. Hva er beløpet vokst til etter fem år? Eksempel plasseres i år null. Hvilken rente gir etter fire år?

Eksempel 3 Hvor lenge (T) må forrentes for å gi når renten (r) er 7 %? Alternativ a: Bruk kalkulator PV = –100’ FV = 200’ i % = 7 N = 10,24 Alternativ b: Bruk formelregnarket renteformler.xls

Alternativ c: Bruk logaritmer

Enkel rente og rentes rente

Som figur

”Rentetabellens viser sluttverdi av 1 krone. Hvorfor er det ikke utarbeidet tabeller for sluttverdi av andre beløp enn 1 krone? Trengs det andre tabeller hvis du skal beregne sluttverdi av innskudd i euro, dollar eller yen?” Oppgave 3H.2c på nettsiden: Rentetabeller

Oppgave 3H.6: Renteregningsformel og Excelformel

2. Nåverdi Hvilket beløp X 0 må du investere til en rente r for å få en bestemt sluttverdi X T etter T perioder? Sluttverdi: Nåverdi: 01T…  XTXT X0X0 tid  T  …  X0X0 1 0 XTXT

Eksempel: Du får trolig utbetalt om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne i dag hvis renten er 8 %?

Kontantstrømmen i et prosjekt kan henføres til ulike tidspunkter. Dersom du skal sammenligne kontantstrømselementene, må de henføres til samme tidspunkt Eksempel  012 – NV SV NV 10 %, 2 år = 70 NV 15 %; 2 år = 57 NV synker ved økende diskonteringsrente tid 

Eksempel: Du får trolig utbetalt om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne hvis renten er 8 %? Hva hvis utbetalingen skjer om 10 år? Hva hvis renten er 5% og T = 7 år? Med formelregnearket:Uten formelregnearket:

Annuitet med uendelig levetid: Hva skjer når T øker, og alle andre variable er uendrede?

Brukes ofte ved taksering av eiendom (multiplikatormetoden) Eksempel: Årlig netto leie 0,5 mill. etter alle driftskostnader; realrente 5 %. Men forutsetter 1.Konstant kontantstrøm over tid 2.Kontantstrømmen varer evig Multiplikator

Overestimering større jo - kortere T - lavere r Vær forsiktig! Multiplikatormetoden i prosjekter med endelig levetid

Annuitet med konstant vekst (v) og endelig levetid (T) Her: X 1 =1 v = 10% T = 20

Eksempel: Du har tilbud om å disponere en eiendom i 15 år (T). Leieinntektene neste år er 7 mill. (X 1 ) og forventes å vokse med 3% årlig utover inflasjonen i 15 år (v) Hva er verdien av tilbudet når realrenten er 5 %?

Tabellens tilfelle 4: Uendelig annuitet med konstant vekst Eksempel:Leieinntektene neste år er 7 mill. og forventes å vokse med 3 % årlig utover inflasjonen i overskuelig framtid. Realrenten er 5 %. Hva er nåverdien av kontantstrømmen? multiplikator

Eksempel: Du låner over 3 år til 10 % rente. Gir annuitet på NB: Alle beløp er nominelle Annuitet: Sammensetning av annuitetsbeløpet

5. Annuitet: Sluttverdi Eksempel: Du vil spare hvert år i fem år, første gang om ett år. Hvor mye har du etter fem år med 7 % rente? Se rentetabell 5 Rentetabell 5: SVA= ,7507, dvs Alternativt: Bruk formelregnark eller kalkulator 012 XX SVA  tid 

6. Annuitet: Forskudd Etterskuddsannuitet 0 X X X X Forskuddsannuitet X X X X 0 Eksempel 1: Du skal betale forskuddsvis leie på årlig I 10 år. Du har penger på konto og ønsker å vite hvor mye av disse du må sette av. Rente: 5 %. 012T…   T-1  tid

Alternativt: Kalkulator: Begin mode, r =5 %, N = 10 år, PMT = 80’ 10 …   … 0

Eksempel 2: Hvor mye årlig leie kan du maksimalt betale forskuddsvis over 10 år hvis du har på konto? Rente 5 %. Med kalkulator: Begin mode, N=10, r=5, NV=500

Eksempel 3: Leien i eksempel 1 reduseres fra 80’ til 60’. Hvor mye mer er det på konto etter ni år? Med kalkulator: End mode: N = 9, r = 5 %, PMT = 20’: FV = 220,6’ N = 9, r = 5 %, PV = 20’: FV = 31’ Sum: 31’ + 220,6’ = 251,6’ Bringer X 0 fram til T-1 Bringer (X 1, X 2,..., X T-1 ) fram til T ’ 0    …  tid

Sparing og låning i samme pakke: Oppgave 3H.8

Er halvårsrenten 5 % dersom årsrenten er 10 %? Ja Er det bedre å betale den enn 500 den og 500 den 31.12? 7. Rente: Kort og lang    r2r2 r2r2 Nei r –1 000 –500

X T =X 0. (1+r) T Du kan velge mellom å investere med rente (r) tillagt på slutten av året (31.12) eller med rente (r 2 ) hvert halvår (30.06 og 31.12) For å få samme sluttverdi etter ett år må: (1+r) være lik (1+r 2 ). (1+r 2 ), som er (1+r 2 ) 2 Altså er betingelsen: r = (1+r 2 ) 2 – 1

For å finne kortrenten r 2 fra årsrenten r: Generelt:

Jo flere terminer b; jo høyere effektiv årsrente r hvis r b settes lik r/b Eksempel: 2 % rente pr. måned gir ikke % = 24 % årlig, men: r = 1,02 12 –1, dvs. 26,8% Fra kort til lang:

Årlig Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 8, r = 7 %: PMT = Halvårlig Rente: Terminbeløp fra kalkulator: PV = 400 N=16 r = 3,441 %: PMT = Eksempel: Du tar opp et lån på over åtte år til 7 % årlig rente. Kan velge mellom årlig, halvårlig eller månedlig betaling. Hva blir terminrente og terminbeløp i de tre tilfellene hvis du skal ha samme effektive rente? Månedlig Rente: Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 96, r = 0,5655: PMT = Derfor: Rentes rente innenfor året neglisjeres hvis kortrenten r b settes lik r/b

Oppgave 1: Du tar opp et lån med 8 % nominell årsrente, kvartalsvise terminer og 2 % rente pr. kvartal. Hva blir effektiv årlig rente? Oppgave 2: Du tar opp et lån med 12 % nominell årsrente og månedlige terminer. Hva blir effektiv årlig rente dersom månedsrenten er 1 %? Kort og lang rente: Oppgaver

8. Rente: Kontinuerlig

Hva skjer med årlig effektiv rente r eff når antall perioder går mot uendelig? Med kontinuerlig forrentning til 6 % blir effektiv rente r eff =e 0,06 –1, dvs. 6,184 % Med kontinuerlig rente = rk og antall perioder = T Sluttverdifaktor: Nåverdi:

Eksempel: Du har kr. 100 i dag. Hva er verdi om 2 år når a) kontinuerlig rente er 5 %? b) årlig rente er 5 %? Svar: a) SV: 100. e 0,05. 2 = ,1052, dvs. 110,52 b) SV:100. 1,05 2 = ,1025, dvs. 110,25 Eksempel: Du mottar kr. 200 på slutten av år 2. Hva er nåverdien av dette beløpet neddiskontert med 5 % kontinuerlig rente? Svar: NV= 200/e 0,05. 2, dvs /1,1052 =180,97

  10 r = 5%r = 10%r = 7% 9. Rente: Varierende  tid

10. Rente: Nominell og reell Eksempel Investering, Nominell rente på investeringen:10 % Beløp etter 1 år: ,1 = Prisstigning i løpet av året 3 % Dermed er reellt beløp (realverdi) i 2010: /1,03 = 106, Med 1 kr. investert:1,10/1,03 = 1,068 (1 + r N )/(1 + j) = (1 + r R ) r R = (1 + r N )/(1 + j) – 1 r R = [(1 + r N ) - (1 + j)]/(1 + j) (3.31) r R = (r N - j)/(1 + j)

11. Oppsummering (se formelsamling i lærebok og på nettside) Sluttverdi: Nåverdi av endelig annuitet X: Nåverdi av endelig annuitet med startnivå X 1 og konstant vekst v: Nåverdi av uendelig annuitet X: Nåverdi:

Fra kort rente (r b ) til lang (r): Diskonteringsfaktor ved kontinuerlig rente (rk): Nåverdi av uendelig annuitet med konstant vekst: Fra lang rente (r) til kort (r b ): Fra nominell rente (r N ) og inflasjon (j) til reell rente (r R ): Fra reell rente (r R ) og inflasjon (j) til nominell rente (r N ):