Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

1 Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra. 2 Vektorer i 2-dim R 2 Vektor-addisjon Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon 1.akse x-akse 2.akse y-akse.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "1 Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra. 2 Vektorer i 2-dim R 2 Vektor-addisjon Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon 1.akse x-akse 2.akse y-akse."— Utskrift av presentasjonen:

1 1 Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra

2 2 Vektorer i 2-dim R 2 Vektor-addisjon Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon 1.akse x-akse 2.akse y-akse v v1v1 v2v2 v v1v1 v2v2

3 3 Vektorer i 2-dim R 2 Vektoren v har komponenter x 1 og x 2 og vi skriver v = [x 1,x 2 ] 1.akse x-akse 2.akse y-akse x1x1 x2x2 v

4 4 Vektorer i 2-dim R 2 Vi innfører enhetsvektorer e 1 og e 2 langs x- og y-aksen henholdsvis. Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lineært uavhengige enhetsvektorene sies å danne en basis for xy-planet siden enhver vektor i dette planet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene. 1.akse x-akse 2.akse y-akse x1x1 x2x2 e2e2 e1e1 v

5 5 Vektorer i 2-dim R 2 Egenskaper - Eks 5 1 e2e2 e1e1 v 2 4 e2e2 e1e1 v

6 6 Vektorer i 2-dim R 2 Ulike basiser 3 2 e2e2 e1e1 v k 2 = 4e 1 + 6e 2 k 1 = 2e 1 + e 2 v

7 7 Vektorer i 2-dim R 2 Biortogonale basiser k 2 = 4e 1 +6e 2 k 1 = 2e 1 + e 2 v k 2 = -1/8(e 1 - 2e 2 )   k 1 = 1/8(6e 1 -4e 2 )

8 8 Vektorer i 2-dim R 2 Lengden av en vektor Vi kan benytte Pythagoras’ læresetning til å finne lengden av en vektor 1.akse x-akse 2.akse y-akse x1x1 x2x2 e2e2 e1e1 v

9 9 Vektorer i 2-dim R 2 Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer v 1 og v 2 er definert som lengden av v 1 multiplisert med lengden av v 2 multiplisert med cosinus til vinkelen mellom v 1 og v 2. 1.akse x-akse 2.akse y-akse v1v1 v2v2 

10 10 Vektorer i 2-dim R 2 Skalarprodukt For vektoren v og enhetsvektorene e 1 og e 2 får vi spesielt: 1.akse x-akse 2.akse y-akse v1v1 v2v2  e2e2 e1e1 eller:

11 11 Vektorer i 2-dim R 2 Skalarprodukt 1.akse x-akse 2.akse y-akse v1v1 v2v2  e2e2 e1e1 u2u2 u1u1

12 12 Vektorer i 2-dim R 2 Skalarprodukt For enhetsvektorene e 1 og e 2 får vi spesielt: 1.akse x-akse 2.akse y-akse v e2e2 e1e1

13 13 Vektorer i 3-dim R 3 Vi innfører enhetsvektorer e 1, e 2 og e 3 langs x-, y- og z-aksen henholdsvis. Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lin. uavh. enhetsvektorene sies å danne en basis for det 3-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene. 2.akse y-akse 3.akse z-akse x2x2 x3x3 e3e3 e2e2 v 1.akse x-akse x1x1 e1e1

14 14 Vektorer i n-dim R n Vi innfører enhetsvektorer e 1, e 2, …,e n i det n-dimensjonale rommet Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lin. uavh. vektorene sies å danne en basis for det n-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse vektorene.

15 15 Ortogonal - Ortonormal Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u  v) hvis = 0. v2v2 En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M  E (skrives v  M) hvis v  m for alle m  M. Vektorer {v 1,v 2,…} kalles et ortogonalt system hvis v i  v j for i  j. Hvis i tillegg ||v i || = 1 for alle i, kalles systemet ortonormalt. v3v3 v1v1

16 16 Vektorer i n-dim R n Biortogonale basis-sett Vi innfører to sett med basisvektorer k 1, k 2, …,k n og k 1, k 2, …,k n Disse to basissettene sies å danne et biortogonalt sett hvis basisvektorene oppfyller betingelsen * vist nedenfor.  k2k2 k1k1 v k2k2   k1k1 *

17 17 Komplekse vektorer i planet C La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy. Pga at i 2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultiplisere v med den kompleks konjugerte av v. k x v iy

18 18 Komplekse vektorer i C n Bra-Ket notasjon La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy. Pga at i 2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultiplisere v med den kompleks konjugerte av v. k x vjvj iy

19 19 Komplekse vektorer i C n

20 20 Analyse - Syntese Analyse Syntese

21 21 Vektorer i 2-dim R 2 Biortogonale basis-sett k2k2 k1k1 v k1k1   k2k2 Basisvektorene k er kolonner i K

22 22 Vektorer i 2-dim R 2 Biortogonale basis-sett Basisvektorene k er kolonner i K k 2 = 4e 1 +6e 2 k 1 = 2e 1 + e 2 v k 2 = -1/8(e 1 - 2e 2 )   k 1 = 1/8(6e 1 -4e 2 )

23 23 Analyse - Syntese Biortogonale basis-sett Analyse Syntese

24 24 Rom-hierarkiRom-hierarki Vektor-rom Indre produkt-rom Hilbert-rom Banach-rom Komplekse n-rom l 2 -rom Normert lineært rom Normert vektor-rom over C Vektor-rom med indre produkt, norm og distanse Komplett normert lineært rom Komplett indre produkt-rom L 2 ([- ,  ]) L 2 (R) L(H 1,H 2 ) L 2 ([a,b])

25 25 Vektor-rom Def Med et vektor-rom V mener vi en mengde av vektorer x = (x 1,x 2,…,x n ) eller x = (x 1,x 2,...) med addisjon og skalarmultiplikasjon (og lukket under disse operasjonene) slik at:

26 26 Vektor-rom Lineær uavhengighet La V være et vektor-rom. La S  V. Spannet til S, sp S er sub-rommet til V bestående av alle lineærkombinasjoner av vektorer i S. Vektorene v 1, v 2,…,v n kalles lineært uavhengige hvis en lineærkombinasjon av disse lik 0, medfører at hver koeffisient er lik 0, ellers lineært avhengige (gjelder også for uendelig mange vektorer). En delmengde {v 1, v 2,…,v n } av vektorer i V kalles for en basis for V hvis V = sp {v 1, v 2,…,v n } og v 1, v 2,…,v n er lineært uavhengige. n kalles for dimensjonen til V.

27 27 Indre produkt-rom Def Et indre produkt-rom E er et vektor-rom sammen med en kompleks funksjon (samt norm og distanse) definert ved:

28 28 Indre produkt-rom R 2 2.akse y-akse v e2e2 e1e1 Indre produkt Norm Distanse

29 29 Indre produkt-rom R n Indre produkt Norm Distanse

30 30 Indre produkt-rom Eksempler Vektorer i R n Kontinuerlige funksjoner på intervallet [a,b] Vektorer i C 2 Polynomer med a i  C

31 31 Indre produkt-rom Schwarz ulikhet - Triangel ulikhet - Parallellogram

32 32 Indre produkt-rom Schwarz ulikhet - Bevis Schwarz ulikhet:

33 33 Indre produkt-rom Triangel ulikhet / Parallellogram - Bevis Triangel ulikhet: Parallellogram:

34 34 Indre produkt-rom Ortogonal - Ortonormal Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u  v) hvis = 0. v2v2 En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M  E (skrives v  M) hvis v  m for alle m  M. Vektorer {v 1,v 2,…} kalles et ortogonalt system hvis v i  v j for i  j. Hvis i tillegg ||v i || = 1 for alle i, kalles systemet ortonormalt. v3v3 v1v1

35 35 Indre produkt-rom Ortonormal / Lineært uavhengig Et ortonormalt system {  i } er lineært uavhengig. 22 33 Bevis: Ethvert endelig-dimensjonalt indre produkt-rom har en ortonormal basis. 11

36 36 Indre produkt-rom Pythagoras Det Pythagoreiske teorem: v u Bevis: u+v

37 37 Indre produkt-rom Distanse Distansen d(v,S) fra et punkt v  E til en mengde S  E er definert ved: S E v s v s v-s S inf = Største nedre grense(Greatest lower bound) sup=Minste øvre grense(Least upper bound)

38 38 Indre produkt-rom Distanse fra en vektor til et underrom La M være et endelig-dimensjonalt underrom av E og la {  1,  2,…,  n } være en ortonormal basis for M. For hver vektor v  E vil vektoren w =   j være den entydige vektoren i M med egenskapen ||v-w|| = d(v,M) M v v-w w

39 39 Indre produkt-rom Distanse fra en vektor til et underrom - Bevis

40 40 La M være et underrom av E. Anta at v  E og w  M. Da vil v-w  M hvis og bare hvis ||v-w|| = d(v,M). M v v-w w Bevis: Indre produkt-rom Normalitet til et underrom

41 41 Normert lineært rom Def Et normert lineært rom X er et vektor-rom sammen med en reell funksjon ||  || definert ved:

42 42 Banach rom Def Et normert lineært rom X kalles komplett hvis enhver Cauchy-sekvens i X konvergerer. Et Banach rom B er et komplett normert lineært rom.

43 43 Hilbert rom Def Et Hilbert rom H over de komplekse tall C er definert ved: 1.H er et vektor-rom. Vektorer i H kan adderes og multipliseres med (komplekse) skalarer. 2.H har et indre produkt. 3.H er et komplett metrisk rom med hensyn til distanse definert ved dens norm.

44 44 Hilbert rommet C n (n-tupler av komplekse tall). Hilbert rom C n

45 45 Hilbert-rom L 2 ([a,b]) Hilbert-rommet L 2 ([a,b]) er mengden av alle kvadratisk integrerbare funksjoner på intervallet [a,b].

46 46 Hilbert-rom L 2 ([a,b]) - Indre produkt L 2 indre produkt på L 2 ([a,b]) er definert ved:

47 47 Hilbert-rom L 2 ([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon Diskretisering av f på intervallet [a,b] = [0,1]: f 01

48 48 Hilbert rommet L 2 [0,2  ] Hilbert rom L 2 [0,2  ]

49 49 Hilbert rommet L 2 [- ,+  ] = L 2 [R] Hilbert rom L 2 [R]

50 50 Hilbert rommet L p [- ,+  ] = L p [R] Hilbert rom L p [R]

51 51 Hilbert rommet l 2 (A) hvor A er en vilkårlig mengde (endelig, uendelig tellbar eller uendelig ikke-tellbar). Hilbert rom l 2 (A)

52 52 Hilbert rom Komplekse n-rom Det komplekse n-rom C n består av mengden av alle n-tupler x = (x 1,x 2,…,x n ) av komplekse tall med addisjon, skalarmultiplikasjon, indre produkt og norm definert ved:

53 53 Hilbert rom Konvekst rom - Def En mengde C  H kalles konveks hvis mengden {tx+(1-t)y | 0 <= t <= 1} er inneholdt i C for alle x,y  C. x y x y KonveksIkke konveks

54 54 1.Ethvert underrom av et Hilbert rom H er konveks. 2.Hvis x og y er vektorer i 2- eller 3-dim rommet C, så vil C være konveks hvis hele linjesegmentet som forbinder x og y er inneholdt i C. 3.r-ball S r (x0) = { x | ||x-x 0 || <=r} er konveks. 4.Megden av alle funksjoner i L 2 ([a,b]) som er positive nesten overalt på [a,b] er konveks. 3 : Hilbert rom Konvekst rom - Eks

55 55 La S være et underrom av et Hilbert rom H. Lukningen (closure) av S er mengden av alle vektorer i H som er grensen av sekvenser av vektorer i S. Hvis lukningen av S er lik S, kalles S en lukket (closed) mengde. Hilbert rom Lukket rom - Def

56 56 1.Enhver r-ball i H er en lukket mengde. 2.Ethvert endeligdimensjonalt underrom av et Hilbert rom H, er lukket. Hilbert rom Lukket rom - Eks

57 57 Hilbert rom Ortogonalt komplement La S  H. Det ortogonale komplement S  til S er mengden {x  H | x  S}

58 58 Hilbert rom Teorem La M være et lukket underrom til et Hilbert rom H. La y  H. Det eksisterer da en entydig w  M og en entydig v  M  slik at y = w+v H M MM y w v y = w + v Hvis M er et lukket underrom til et Hilbert rom H, så har vi (M  )  = M.

59 59 Hilbert rom Teorem - Bevis Bevis:

60 60 Hilbert rom Konvergens Def: Eks:

61 61 Hilbert rom Teorem Bevis: Det indre produkt er kontinuerlig på H x H, dvs hvis x n -> x og y n -> y i H så har vi ->

62 62 Hilbert rom Teorem

63 63 Hilbert rom Ortonormal basis Et ortonormalt system {  1,  2,…} kalles en ortonormal basis for H hvis for hver v  H v =  k  k  k for noen  1,  2,… i C Hver  k = kalles en Fourier-koeffisient til y

64 64 Hilbert rom Teorem

65 65 Hilbert rom Lineær-operatorer - Def En funksjon A : H 1  H 2 kalles en lineær operator hvis for alle x,y  H 1,   C : A(x+y)= A(x) + A(y) A(  x) =  A(x) A(x) skrives ofte Ax  = 0  A(0)=0

66 66 Til enhver n x n matrise av komplekse tall kan vi tilordne en lineær-operator A = (a ij ) : C n  C n gitt ved: Hilbert rom Lineær-operatorer - Eks

67 67 En lineær operator A : H 1  H 2 kalles begrenset hvis: Normen til A, skrevet ||A||, er definert ved: A er begrenset hvis og bare hvis den tar 1-ball S 1 med senter 0 i H 1 inn i en r-ball i H 2. Den minste ballen i H 2 som inneholder AS 1 har radius ||A||. Hilbert rom Begrensede Lineær-operatorer - Def

68 68 Identitetsoperatoren I : H 1  H 1 gitt ved Ix = x er en begrenset lineær-operator med norm 1. Hilbert rom Begrensede Lineær-operatorer - Eks - Identitetsoperatoren

69 69 Matrise-operatoren A = (a ij ) : C n  C n er en begrenset lineær-operator Hilbert rom Begrensede Lineær-operatorer - Eks - Matriseoperator

70 70 Hilbert rom Begrensede Lineær-operatorer - Teoremer

71 71 Mengden av begrensede lineær-operatorer A : H 1  H 2 betegnes L(H 1,H 2 ) Hvis H 1 = H 2 skrives L(H 1 ) i stedet for L(H 1,H 1 ) Hilbert rom Mengden av begrensede lineær-operatorer - Def

72 72 A,B  L(H 1,H 2 )  Hilbert rom Mengden av begrensede lineær-operatorer - Teoremer

73 73 Hilbert rom Matriserepresentasjon av begrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rom x  H A  L(H)  1,  2, … ortonormal basis for H  Matrisen A = (a ij ) svarende til  1,  2, … er definert ved:

74 74 End


Laste ned ppt "1 Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra. 2 Vektorer i 2-dim R 2 Vektor-addisjon Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon 1.akse x-akse 2.akse y-akse."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google