Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Multiple integraler. Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Multiple integraler. Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt."— Utskrift av presentasjonen:

1 Multiple integraler

2 Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt område Areal Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Polar form Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral Trippel-integral Rektangulære områder Generelle områder Volum Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Sylinderkoordinater Kulekoordinater

3 Integrasjon Anvendelser - Areal / Volum / Buelengde ArealVolumBuelengde

4 Integrasjon Anvendelser - Musikk IntegrasjonDerivasjon

5 Integrasjon Anvendelser - Sampling / Digitalisering Opprinnelig funksjon Reprodusert funksjon Samplings- punkter Enkelt- ledd Shannons samplingsteorem Fourier

6 Integrasjon Anvendelser - Mobiltelefon

7 Dobbelt-integral Eks: Wavelets Gjennfinning / Skjuling KreftsvulsterBomringVideo-komprimering Fjerner lav-frekv. WFjerner høy-frekv. W

8 Enkelt-integral Def a bxi*xi* xixi y = f(x)

9 Enkelt-integral Integrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) a x xx y = f(x) x+  x F(x+  x) F(x) FF FF xx

10 Enkelt-integral Integrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) - Eks Areal

11 Dobbelt-integral Def R  A ij f(x ij *,y ij *) x ij * y ij * z = f(x,y)

12 Dobbelt-integral Rektangulært område R dA f(x,y) x y z = f(x,y) a b c d R dA f(x,y) x y z = f(x,y) a b c d

13 Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 1 - Volum - dydx z = f(x,y) = 4-x-y

14 Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 1 - Volum - dxdy z = f(x,y) = 4-x-y

15 Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 2

16 Dobbelt-integral Generelt område a b g 1 (x) g 2 (x) h 1 (y) h 2 (y) c d

17 Dobbelt-integral Generelt område Eks 1 - Volum - dydx (1,1,1) z = f(x,y) = 3-x-y (1,1,1) z = f(x,y) = 3-x-y y=x

18 Dobbelt-integral Generelt område Eks 1 - Volum - dxdy (1,1,1) z = f(x,y) = 3-x-y (1,1,1) z = f(x,y) = 3-x-y y=x

19 Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [1/3] R x 2 + y 2 = 1 y = 1 - x y =  1 – x 2 y = 1 - x x = 1 - y 1 1 x =  1 – y 2 x y

20 Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [2/3] R 4 2 y = 2x y = x 2 y = 2x x = y/2 x =  y

21 Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [3/3] y = x 2 y = x + 2 R y = x 2 y = x + 2 y = x 2 y = x + 2 R

22 Dobbelt-integral Egenskaper

23 Dobbelt-integral Areal - Eks 1 y = x 2 y = x (1,1) x y R

24 Dobbelt-integral Areal - Eks 2 y = x 2 y = x + 2

25 Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Innledning

26 Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Enkeltintegral 0 10

27 Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Dobbeltintegral - Def R z = f(x,y)

28 Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Dobbeltintegral - Eks f(x,y) = xcos(xy)

29 Dobbelt-integral Masse - Massesenter - Def dm M r r cm x cm y cm

30 Dobbelt-integral Masse - Massesenter - Eks (1,2) x = 1 y =2x (x cm,y cm )

31 Dobbelt-integral Treghetsmoment - Def dm r x y L Treghetsmoment Gyrasjons-radius

32 Dobbelt-integral Treghetsmoment - Eks (1,2) x = 1 y =2x

33 Dobbelt-integral Polar form - Rektangulært område y x    =   =  a b ab  r R G

34 Dobbelt-integral Polar form - Generelt område y x  = g 2 (r)  =  ab y x  = g 1 (r) r = g 1 (  ) r = g 2 (  )  =  r = a r = b R R

35 Dobbelt-integral Polar form - Grenser y x x 2 + y 2 = 4 r = 2 (  2,  2)  r =  2 / sin  R

36 Dobbelt-integral Polar form - Areal - Eks1 R 22 a  r 22  r =  G y x

37 Dobbelt-integral Polar form - Areal - Eks2 r y x  /4  G R

38 Dobbelt-integral Polar form - Volum - Eks1 z y x z = 16 – x 2 – 3y 2 z = 3x 2 + y 2

39 Trippel-integral Def z y x T R ijk

40 Trippel-integral Masse - Volum - Gjennomsnitt Masse Volum Gjennomsnitt

41 Trippel-integral Rektangulært område z y x (a,c,u) (b,d,v)(b,d,v) dV T

42 Trippel-integral Generelt område z y x a z = f 2 (x,y) z = f 1 (x,y) y = g 2 (x) y = g 1 (x) b T

43 Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks1 z y x 1 y + z = z y x z y x y x y x y x 1 1 2

44 Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks2 z y x (1,1,0) (0,1,1) z y x (1,1,0) (0,1,1) z y x (1,1,0) (0,1,1) z y x (1,1,0) (0,1,1) z y x (1,1,0) (0,1,1) z y x (1,1,0) (0,1,1) x + z = 1 x –y + z = 0 z = y

45 Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks2 - Volumberegning z y x (1,1,0) (0,1,1) x + z = 1 x –y + z = 0 z = y

46 Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [1/2] z y x z = 8 – x 2 – y 2 z = x 2 + 3y 2 y =  (4-x 2 )/2 y = -  (4-x 2 )/2 (2,0,0)

47 Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [2/2]

48 Trippel-integral Gjennomsnitt - Eks1 z y x Bestem gjennomsnittet av funksjonen F(x,y,z) = xyz over terningen avgrenset av koordinatplanene og planene x = 2, y = 2, z = 2 i første oktant. z y x F = 0

49 Trippel-integral Egenskaper

50 Trippel-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Masse Første moment om koordinatplan Massesenter Treghetsmoment Gyrasjonsradius

51 Trippel-integral Treghetsmoment - Eks z y x a b c

52 Trippel-integral Sylinder-koordinater - Def z y x x y z r  dV dr dd r rdrd dz

53 Trippel-integral Sylinder-koordinater - Massesenter Eks 1 Bestem massesenteret til legemet med konstant massetetthet begrenset av paraboloiden z = 4 – x 2 – y 2 og disken R: x 2 + y 2  4 i planet z = 0. x y  r z r r x y  4

54 Trippel-integral Sylinder-koordinater - Massesenter Eks 2 Bestem massesenteret til legemet med konstant massetetthet begrenset av sylinderen x 2 + y 2 = 4, paraboloiden z = x 2 + y 2 og disken R: x 2 + y 2  4 i planet z = 0. x 2 + y 2 = 4 r = 2 z = x 2 + y 2  r r2r2 z x y 2 2 r 2 x y 

55 Trippel-integral Kule-koordinater - Def z x y z    dd   dd rdrd  sin  d  dd x y  dd dd  sin 

56 Trippel-integral Kule-koordinater - Eks Bestem volumet av ’iskrem-kjeglen’. x y z Kule  = 1   =  /3

57 Trippel-integral Koordinat-formler Sylindrisk  Rektangulær Sfærisk  Rektangulær Sfærisk  Sylindrisk Rektangulær Sylindrisk Sfærisk x y z    r

58 Substitusjon i multiple integraler Enkelt-integraler - Multiple integraler x y u v (u,v)(u,v) G S x u u G (x,y)(x,y) x [ ] S Enkelt-integral Dobbelt-integral

59 Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral - Jacobi-determinant x y u v (a,b) uu vv G S SS r(a,b)

60 Substitusjon i multiple integraler Trippel-integral - Jacobi-determinant v wG u y zD x

61 Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Enkelt-integral

62 Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Polar-koordinater P r y  x

63 Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Sfæriske koordinater x y z   

64 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [1/4] Bestem arealet av den elliptiske disken E gitt ved: x y b a E

65 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [2/4] x y b a u v 1 1 Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D ED

66 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [3/4] x y b a u v 1 1 Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D Jacobi-determinantInvers Jacobi-determinant ED

67 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [4/4] x y b a u v 1 1 Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D ED

68 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [1/4] Bestem masse-senteret til den halve ellipsoiden T gitt ved: Massetettheten  er konstant. x y z a b c T

69 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [2/4] x y z a b c u v w Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K TK

70 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [3/4] Jacobi-determinantInvers Jacobi-determinant x y z a b c u v w Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K TK

71 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [4/4] x y z a b c u v w Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K TK

72 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [1/4] Beregn ved å benytte transformasjonen x y z y = 2x (plan bak) y = 2x-2 (plan foran) T

73 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [2/4] Grenser xyzTilhørende uvwGrenser uvw u v w x y z y = 2x (plan bak) y = 2x-2 (plan foran) TG

74 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [3/4] Jacobi-determinant u v w x y z y = 2x (plan bak) y = 2x-2 (plan foran) Invers Jacobi-determinant TG

75 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [4/4] u v w x y z y = 2x (plan bak) y = 2x-2 (plan foran) TG

76 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [1/4] Beregn massen av området D. Massetettheten er gitt ved:  (x,y) = x 2 + y 2 xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2 D

77 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [2/4] Grenser xy Grenser uv u v 5 2 E 41 xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2 xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2 D

78 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [3/4] Jacobi-determinant Invers Jacobi-determinant xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2 D u v 5 2 E 41 xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2

79 Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [4/4] xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2 D u v 5 2 E 41 xy = 1 xy = 4 y 2 – x 2 = 5 y 2 – x 2 = 2

80 ENDEND


Laste ned ppt "Multiple integraler. Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google