Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

FourierFourier. Transformation Car HjemBilverksted.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "FourierFourier. Transformation Car HjemBilverksted."— Utskrift av presentasjonen:

1 FourierFourier

2 Transformation Car HjemBilverksted

3 Music - Digital Ren toneReell tone Digitalisering Tabell FourierTransformSammensetn av rene toner IntegrasjonDerivasjon AnalogDigital

4 Transformation Computing = = 10 Rom 1 Rom 2 Transformasjon

5 Transformation Computing - Logarithm 8 * 32 = = 8 Rom 1 y Rom 2 x Transformasjon

6 Transformation Theory Transformasjon f(x) F(u) Room 1Room 2 f(x) = T -1 (F(u)) F(u) = T[f(x)]

7 Transformation Theory Integral Transformation Transformation Theory Integral Transformation f(…) F(…) Room 1Room 2 f(…) = T -1 (F(…)) F(…) = T[f(…)]

8 Transformation Theory Integral Transformation Wavelet - Laplace - Fourier Transformation Theory Integral Transformation Wavelet - Laplace - Fourier f(…) F(…) Fourier Wavelet Laplace

9 Transformation-theoryTransformation-theory Transformasjon f(x) F(u) Fourier Wavelet Laplace

10 Definition of The Continuous Wavelet Transform CWT The continuous-time wavelet transform (CWT) of f(x) with respect to a wavelet  (x): L 2 (R)

11 Wavelets KreftsvulsterBomringVideo-komprimering Fjerner lav-frekv. WFjerner høy-frekv. W

12 The Norwegian Radiumhospital Mammography

13 Mexican Hat - 3 Dim

14 Image processing III Wavelet-transformation

15 Compress 1:50 JPEGWavelet Original

16 Ultrasound Image - Edge detection SINTEF – Unimed – Ultrasound - Trondheim -Ultrasound Images -Egde Detection -Noise Removal -Egde Sharpening -Edge Detection

17 Arthritis Measure of bone Morlet External part E/I bone edge

18 Wavelet Transform Morlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2]

19 ECGECG

20 Seismic trace

21 Laplace transformasjon Diff./Integral.lign.’Ordinær’ ligningLaplace transformasjon

22 Fourier Transformation Fourier Transformasjon Fourier Transformasjon f(x) F(u)

23 Continuous Fourier Transform Def The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform Fourier Transformasjon Fourier Transformasjon f(x) F(u)

24 Continuous Fourier Transform Example - cos(2  ft)

25 Signals and Fourier Transform Frequency Information FT

26 Stationary / Non-stationary signals FT Stationary Non stationary The stationary and the non-stationary signal both have the same FT. FT is not suitable to take care of non-stationary signals to give information about time.

27 Constant function in [-3,3]. Dominating frequency  = 0 and some freequency because of edges. Transient signal resulting in extra frequencies > 0. Narrower transient signal resulting in extra higher frequencies pushed away from origin. Transient Signal Frequency Information

28 Transient Signal No Information about Position Moving the transient part of the signal to a new position does not result in any change in the transformed signal. Conclusion: The Fourier transformation contains information of a transient part of a signal, but only the frequency not the position.

29 Signals and Fourier Transform Frequency Information FT

30 The Fourier Series Expansion a n,b n coefficients Fourier Transformasjon Fourier Transformasjon f(x) F(u) f(x) anbnanbn

31 Pulse Train approximated by Fourier Serie f(x) square wave (T=2) N=2 N=10 N=1

32 N = 2 N = 5 N = 10 Zig tag approximated by Fourier Serie Fourier Series Zig tag

33 N = 1 N = 2 N = 5 N = 10 Negative sinus function approximated by Fourier Serie Fourier Series Negative sinus function

34 N = 1 N = 2 N = 5 N = 10 Truncated sinus function approximated by Fourier Serie Fourier Series Truncated sinus function

35 N = 1 N = 2 N = 5 N = 10 N = 50 Line approximated by Fourier Serie Fourier Series Line

36 Fourier Series Simulation

37 The Two-Dimensional DFT and Its Inverse Fourier Transformasjon Fourier Transformasjon f(x) F(u)

38 Fourier Sampling - Digitalisering AnalogDigital

39 Fourier Sampling - Digitalisering

40

41

42 Fourier Anvendelse SvingningerBølgerVarmetransport F(t)f(x)g(x)f(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

43 Fourier Motivasjon Svingninger F Ytre påtrykt kraft km

44 Fourier Motivasjon - Eks 1 - Eksakt løsning Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft km

45 Fourier Motivasjon - Eks 1 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft km Eksakt løsning Løsning vha Fourier 1

46 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft km Odde funksjon med periode 2L

47 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft km Utvider F(t) til en odde funksjon med periode t F

48 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft km Utvider F(t) til en odde funksjon med periode Hvis det finnes et ikke-null ledd i Fourier-rekken til F(t) med så vil dette leddet forårsake resonans. Grunnen er at ligningen mx’’ + kx = Bnsin  0t har resonans-løsning: Løsning:

49 Fourier Motivasjon - Eks 3 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 5t Ytre påtrykt kraft km Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 4 2

50 Fourier Motivasjon - Eks 4 - Tilnærmet løsning vha Fourier Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L og skriver F(t) som en Fourier-rekke: F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm Svingninger Løsningen finnes nå vha superposisjon:

51 Fourier Motivasjon - Eks 5 - Tilnærmet løsning vha Fourier Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 2  og skriver F(t) som en Fourier-rekke: F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm Svingninger Løsningen finnes nå vha superposisjon:

52 Fourier Transformation Fourier Transformasjon Fourier Transformasjon f(x) F(u)

53 Continuous Fourier Transform Def The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform

54 Fourier-rekke Def f(t)Stykkevis kontinuerlig funksjon med periode 2L 2L

55 Fourier-rekke Eks 1 2L =

56 Fourier-rekke Eks 2 2L =

57 Fourier-rekke Eks 3 2L = 2  22 44 66 Alternativ form med c = 0

58 Fourier-rekke Even - Odd Def EvenOdd Symmetrisk om y-aksenSymmetrisk om origo

59 Fourier-rekke Even Bevis Even Symmetrisk om y-aksen

60 Fourier-rekke Odd Bevis Odd Symmetrisk om origo

61 Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Def f(t) definert for 0 < t < L Even utvidelse med periode 2L Odd utvidelse med periode 2L

62 Fourier-rekke Even - Odd Periodisk - Eks Periode 2L = 10 Periode 2L = 2 

63 Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Eks Utvid f(t) = sint 0 < t <  til en Fourier cos serie Utvid f(t) = t 0 < t < 2 til en Fourier sin serie Utvid f(t) = t 0 < t < 2 og en Fourier cos serie

64 Fourier-rekke Pulstog - Odd 2L =

65 Diff.lign. Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer Newtons 2.lov Radioaktivitet Kvantefysikk SHM Varmetransport Bølger Elektrisk krets Typer av diff.lign. ODEOrdinæreEndringer mht en enkelt variabel PDEPartielleEndringer mht flere variabler

66 Diff.lign. Radioaktivitet Antall atomer som desintegrerer er proporsjonal med antall atomer som vi har i øyeblikket. N 0 Antall atomer ved tiden t = 0 NAntall atomer ved tiden t Halveringstid  : Tiden det tar før halvparten av atomene er desintegrert.  t NN0N0 N 0 /2

67 Diff.lign. Separabel Separabel: Oppsplitting slik at venstre side er en funksjon av kun y, høyre side er en funksjon av kun x. For en 1.ordens ordinær diff.lign. vil den generelle løsningen inneholde en vilkårlig konstant.

68 Diff.lign. Integrerende faktor

69 Diff.lign. 2.ordens diff.lign.

70 Diff.lign. Oversikt Diff.lign. LineærIkke-lineær u 1 og u 2 løsninger  u = Au 1 + Bu 2 løsning Den generelle løsning inneholder alle løsninger En partikulær løsning er en spesiell løsning ODEPDE En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige konstanter som graden av diff.lign. En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige, uavhengige funksjoner som graden av diff.lign. En løsning som ikke kan genereres fra den generelle løsningen kalles en singulær løsning

71 Part.diff.lign. Eks 1 - Bølgeligning Vis ater en løsning av den part.diff.lign.hvor

72 Part.diff.lign. Eks 2 - Varmeligning Vis ater en løsning av følgende initialverdiproblem:

73 Part.diff.lign. Eks 3 - Varmeligning Løsning av følgende initialverdiproblem: (1)(2)(3) Mulige løsninger av (1) Oppfyller (1) + (2) Oppfyller (1) + (2) + (3) Generelt må vi forvente en superposisjon av uendelig mange ledd for å oppfylle inertialverdi-problemet

74 Part.diff.lign. Superposisjon av løsninger 1.u(x,t)0 0Kontinuerlig og leddvis deriverbar 2. 3.u(x,t)0  x  Lt  0Kontinuerlig u(x,t)Entydig løsning av initialverdi-problemet

75 Part.diff.lign. Eks 4 - Løsningsmetoder a)Løs ligningen:b)Finn en partikulær løsning som oppfyller: a)b)

76 Part.diff.lign. Eks 5 - Separasjon av variable Løs initialverdiproblemet:vha separasjon av variable

77 Part.diff.lign. Svingeligning Generell løsning av 2.ordens diff.lign. m/konst. koeff. ax’’ + bx’ + cx = f(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0 1.Finn den generelle løsning x c = c 1 x 1 + c 2 x 2 av den assosierte homogene diff.lign. 2.Finn en partikulær løsning xp av den inhomogene lign. 3.Bestem konstantene c 1 og c 2 slik at x = x c + x p tilfredsstiller randbetingelsene. F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm

78 Part.diff.lign. Svingeligning - Diff.lign. Newtons 2.lov anvendt på klossen (horisontalt) F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm

79 Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, udempet svingning c = 0 F = 0 F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm

80 Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, dempet svingning F = 0 F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm

81 Part.diff.lign. Svingeligning - Tvungen svingning F Ytre påtrykt kraft cv Dempingkm Løsning av homogen ligning F = 0 Partikulær løsning Steady state

82 Part.diff.lign. Bølgeligning - SHM (x,y)

83 Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 1 (x,y) F F F1F1 F2F2 F 2y F 1y x x +  x

84 Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 2 (x,y) x0x0 x T(x,t) T(x 0,t) T TxTx TyTy yxyx  1 + y x 1

85 Heat Partiell derivasjon Fourier

86 Part.diff.lign. Varmeligning - Innledning Varmeledning (energioverføring (varme)) pr tidsenhet H Proporsjonal med tverrsnitt A Proporsjonal med temperaturdifferens T 1 – T 2 Omvendt proporsjonal med lengden L Lengde L Tverrsnitt A T1T1 Fluks = Varmeledning pr areal Temperatur T2T2 Termisk konduktivitet K

87 Part.diff.lign. Varmeligning - Fluks / Varme i x-retning Fluks Masse  m Tetthet  Spesifikk varmekapasitetc Temperaturu x y z A(x,y,z) xx yy zz Varme B C D E F GH Netto varme inn i x-retning

88 Part.diff.lign. Varmeligning - Netto varme inn Masse  m Tetthet  Spesifikk varmekapasitetc Temperaturu x y z A(x,y,z) xx yy zz B C D E F GH Netto varme inn i x-retning Netto varme inn

89 Part.diff.lign. Varmeligning - Formel Masse  m Tetthet  Spesifikk varmekapasitetc Temperaturu x y z A(x,y,z) xx yy zz B C D E F GH Netto varme inn Kalorimetri Diffusivitet

90 Part.diff.lign. Varmeligning - Alternativ utledning Masse  m Tetthet  Spesifikk varmekapasitetc Temperaturu x y z D Energi Kalorimetri Divergens-teoremet Energi-endring Varme Varme-fluks over randen

91 Diff.lign. - Fourier Anvendelse Svingninger F(t) f(x)f(x) g(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier Varmeledning Bølger

92 Diff.lign. Spesielle løsninger coshsinh sin cos

93 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Generell løsning x(t) = x 0 + x p F Ytre påtrykt kraft km mx’’ + kx = F(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0 Fouriersinusutvikling ivaretar tilleggsbetingelsene x(0)=x(L)=0 Fourierutvikling av F Fourierutvikling av x

94 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Eksakt løsning Løsning av homogen ligning: F Ytre påtrykt kraft km x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Partikulær løsning: Generell løsning:

95 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Løsning vha Fourier F Ytre påtrykt kraft km x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Fouriersinusutvikling av F(t) = 4tFouriersinusutvikling av x(t) Løsning Innsatt i diff.lign. 2L = 2

96 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Oppsummering F Ytre påtrykt kraft km x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Fourierløsning Eksakt løsning

97 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 02 - Løsning vha Fourier F Ytre påtrykt kraft km +10 0

98 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Resonans F Ytre påtrykt kraft km mx’’ + kx = F(t) Det finnes et ledd nr N i Fourierrekken til F som svarer til systemets egenfrekvens  0 Diff.lign. Diff.lign. når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens  0 Løsning når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens  0 |x(t)|   pga faktoren t Løsning når F har ett ledd med samme frekvens som systemets egenfrekvens  0

99 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 03 - Resonans F Ytre påtrykt kraft km 2x’’ + 32x = F(t) Odde periodisk Ingen ren resonans Ren resonans

100 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 04 - Tilnærmet resonans F Ytre påtrykt kraft kmx’’ + 10x = F(t) F(t) = 5t -2

101 Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning F Ytre påtrykt kraft km mx’’ + cx’ + kx = F(t) Hvis ytre påtrykt kraft er periodisk med kun en frekvens, vil systemet etter hvert påtvinges denne ytre påtrykte frekvensen.

102 Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning Eks 05 F Ytre påtrykt kraft km 3x’’ x’ + 27x = F(t) F(t) =  t-t 2 Odde periodisk 2  Fouriersinusutvikling av F(t)Superposisjon Løsning Ledd nr 2 dominerer pga tilnærmet samme frekvens som det udempede systemets egenfrekvens. Systemets frekvens er 3 ganger ’frekvens’ til ytre påtrykt kraft.

103 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1 Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = L Lengde L x = 0

104 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2 Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = L Lengde L x = 0

105 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3 Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger coshsinh sin cos

106 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4

107 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5 Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = L Lengde L x = 0

108 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [1/2] En jernstav (k = 0.15 cm 2 /s) med lengde = 50 cm holdes i vanndamp inntil temperaturen i hele staven er C. Ved tiden t = 0 isoleres overflaten og de to endepunktene omgis av is med temperatur 0 0 C. Bestem temperaturen i stavens midtpunkt etter en halv time. x = L Lengde L x = 0

109 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [2/2]

110 Fourier Heat

111 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1 Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = Lx = 0 Problem A: Problem B:

112 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2 Problem A Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = Lx = 0

113 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3 Problem A Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger coshsinh sin cos

114 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4 Problem A

115 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5 Problem A - Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = Lx = 0x = L/2

116 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 6 Problem B

117 Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 7 Problem B - Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = Lx = 0

118 ENDEND


Laste ned ppt "FourierFourier. Transformation Car HjemBilverksted."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google