- סריג של שלמים (ממימד (d. בחלק הזה נסתכל על נקודות בסריג השייכות ל בעלות קורדינטות שלמות. מושגים יסודיים

נניח תחום קמור, חסום וסימטרי סביב הראשית ומתקיים אזי C מכיל לפחות נקודה אחת מהסריג ששונה מ 0.

טענה עזר: קיים וקטור שונה מ 0 כך ש. זאת אומרת, והזזה של בוקטור נחתכים. הוכחה: נסתכל על הקבוצה

דוגמא לשימוש במשפט m S

שימוש נוסף בתורת המספרים: קירוב מספרים אי רציונאליים ע"י שברים טענה: מספר ממשי, N מספר טבעי. קיימים זוג מספרים טבעיים m,n כך ש ומתקיים:

General lattices יהיו d וקטורים לינארים בלתי תלויים ב, לאו דווקא שלמים. נגדיר סריג בעל בסיס להיות כל הקומבינציות הלינאריות עם מקדמים שלמים :

נגדיר מטריצה Z בגודל dXd בעלת עמודות, דטרמיננטה של סריג מוגדרת להיות. מבחינה גיאומטרית, ה det היא נפח של המקבילון הנוצר ע"י :

נניח סריג ב ו תחום קמור וסימטרי סביב הראשית ומתקיים אזי C מכיל לפחות נקודה אחת מהסריג ששונה מ 0. תיאורית מינקובסקי :

discrete subgroup כך שלכל גם והמרחק בין כל שתי נקודות הוא לפחות עבור ממשי כלשהו.

discrete subgroup משפט: נניח discrete subgroup של שפורשת את כל. אזי ל יש בסיס, ז"א קיימים d וקטורים בל"ת כך ש.

שימוש נוסף בתורת המספרים: טענה: כל מספר ראשוני ניתן לכתיבה כסכום של שני ריבועים כך ש:.

יהי F שדה מודולו P.. נקרא שארית ריבועית מודולו P אם קיים כך ש. אחרת a, אינו שארית ריבועית מודולו P. למה: אם P ראשוני אז 1- הוא שארית ריבועית מודולו P.

הוכחת המשפט: לפי הלמה קיים q כך ש. נסתכל על:

לכל, וסריג ב קיים אלגוריתם שמחשב בזמן פולינומיאלי וקטור ש"אורכו" לכל היותר פעמים "אורך" הוקטור הקצר ביותר. אלגוריתם LLL מחשב לא רק את הוקטור הקצר ביותר אלא את כל הבסיס הקצר ביותר שפורש את הסריג. The LLL algorithm

לשם פשטות נסתכל על פולינומים עם מקדמים שלמים ומקדם מוביל 1. (p(x) ב ( Z[x] נניח שרוצים למצוא פולינום מינימלי שנותן את אותו השורש ( a ) של p(x) נסמנו q(x). q(x) הוא בעל דרגה מינימלית כך ש q(a)=0. q(x) מחלק את p(x) והוא לא ניתן לצמצום. אפליקציה של האלגוריתם עבור פולינומים

The LLL algorithm לאלגוריתם LLL על שם ממציאיו ((L.Lovasz, A.Lenstra & H.Lenstra קיימים יישומים רבים בתורת המספרים ובקריפטוגרפיה. הוא התגלה ב 1982 ומאפשר לפרק לגורמים פולינומים מעל השלמים בצורה יעילה. מערכות הצפנה רבות נפרצו ע"י שימוש באלגוריתם בפרט כאלה שמבוססות על בעיית התרמיל.

קצת על הרמן מינקובסקי ( )

נולד בליטא למשפחה יהודית תרומתו העיקרית למדע המתמטיקה היתה בתורת המספרים, ייסד את התחום שנקרא גיאומטריה של מספרים. המציא את גיאומטרית נהגי המוניות. בפיסיקה תרם להבנת תורת היחסות, תרם בתחום האלקטרומגנטיות. עזר לאיינשטיין בייסוד תורת היחסות.