המשוואות השולטות בתהליכים הדינמיים

Presentasjon om: "המשוואות השולטות בתהליכים הדינמיים"— Utskrift av presentasjonen:

1 המשוואות השולטות בתהליכים הדינמיים
תופעות פיזיקאליות ניתנות לתיאור באופן מתמטי. במקרים רבים אנו רוצים לתאר את השתנות התופעה הפיזיקאלית כתלות בזמן דוגמה: מיקום גוף שנע במהירות קבועה של V קמ"ש, והתחיל את תנועתו מנקודה X0 יתואר ע"י המשוואה: גרף המשוואה ייראה כך:

2 תנועת גוף הקשור לקפיץ , מוסט מנקודת שיווי המשקל ונעזב היא מורכבת יותר – זוהי תנועה מחזורית :
גרף המשוואה ייראה כך: והגודל יהיה תלוי בוודאי בתכונות הקפיץ איזה משוואות יתארו, אם כך, את תהליך מילוי המכל כתלות בזמן? איזה משוואות יתארו את התחממות / התקררות החדר כתלות בזמן?

3 התופעות עליהן אנו מדברים , הן תופעות הנשלטות ע"י חוקי השימור בטבע.
חוק שימור החומר, הוא חוק טבע הטוען (ובצדק) שחומר אינו הולך לאיבוד או נוצר יש מאין. ולכן אם נסתכל על התהליך של מילוי המכל למשל, נוכל לומר שכמות הנוזל הנוספת למכל שווה לכמות הנוזל הנכנסת אליו מינוס כמות הנוזל היוצאת ממנו. מכיוון שנוזל הוא חומר שאינו דחיס נוכל לדבר על שימור הנפח שלו: נפח הנוזל הנוסף למכל שווה לנפח הנכנס אליו מינוס הנפח היוצא ממנו: בהמשך נראה איך חוק זה קובע בעצם כיצד משתנה הגובה במכל כתלות בזמן.

4 חוק שימור האנרגיה, הוא חוק טבע הטוען שאנרגיה אינה הולכת לאיבוד או נוצרת יש מאין. ולכן אם נסתכל על התהליך של חימום חדר/כלי למשל, נוכל לומר שכמות אנרגיית החום הנוספת לחדר שווה לכמות אנרגיית החום הנכנסת אליו מינוס כמות אנרגיית החום היוצאת ממנו. בהתאם לחוק זה נוכל לרשום את הקשר הבא: בהמשך נראה איך חוק זה קובע בעצם כיצד משתנה הטמפרטורה של החדר/הכלי כתלות בזמן.

5 dt וקצבי השינוי בתהליכים
בתהליכים שאנו מתארים, השליטה שלנו היא לא בכמויות הנכנסות / יוצאות, אלא בקצב של הכניסה והיציאה כך למשל כשאנו פותחים ברז יותר ויותר, אנו גורמים לנוזל העובר דרכו , לעבור בקצב מהיר יותר. ובצורה דומה כאשר אנו מגבירים את הספק החימום אנו מגדילים את קצב כניסת החום. מכיוון שאנו שולטים בקצבים, אך משוואות השימור עוסקות בגדלים עצמם (כמות חום, כמות חומר) נצטרך להתייחס לשינויים בגדלים אלו המתרחשים בפרקי זמן קצרים מאד (אם לא נתייחס לפרקי זמן קצרים נקבל תיאור לא מדויק של התהליך). לפרקי הזמן הקצרים מאוד בהם נשתמש, נקרא בשם - dt

6 גובה המכל בנוזל נחזור לתהליך מלוי המכל ונרשום עבורו את משוואת שימור הנפח (שהיא בעצם משוואת שימור החומר) קצב הזרימה פנימה הוא qin ליטר בשניה, כלומר כל פרק זמן קצר dt ייכנסו למכל ליטר נוזל

7 קצב היציאה הוא qout ליטר בשניה, כלומר כל פרק זמן קצר dt ייצאו מהמכל
ליטר נוזל לפי חוק שימור הנפח (שימור החומר), נקבל את המשוואה הבאה: שינוי נפח הנוזל במכל נפח נכנס נפח יוצא ואיך כל זה קשור לגובה הנוזל? מכיוון ששטח המכל קבוע – A, ברור שהשינוי בנפח הוא רק כתוצאה מהשינוי בגובה:

8 וחוק שימור החומר הופך לכן ל:
נראה לא מסובך במיוחד, אך כאן עלינו לזכור שבעוד שקצב כניסת המים אינו משתנה, קצב היציאה שלהם אינו קבוע. הוא מושפע מגובה המים במכל. כלומר qout תלוי בגובה המים h. עובדה זו מסבכת את המצב. שינוי הגובה תלוי בגובה עצמו. כלומר עדיין לא סיימנו את פיתוח משוואת התהליך.

9 ממה מושפע בעצם קצב יציאת הנוזל מהמכל?
גורם אחד המשפיע עליו הוא כפי שאמרנו גובה הנוזל – h. ככל שזה גבוה יותר כך גם קצב היציאה גדל. גורם שני הוא התנגדות פתח היציאה לזרימה. התנגדות זו מסומנת באות R (למי שתהה מה אות זו עושה בתרשים התהליך). וברור שככל שההתנגדות גדולה יותר כך קטן יותר קצב יציאת הנוזל. נוכל לרשום לכן את המשוואה הבאה: כלומר קצב היציאה הוא ביחס ישר לגובה וביחס הפוך להתנגדות

10 וחוק שימור החומר הופך לכן ל:
מכיוון שאנו מעוניינים בתיאור של הגובה h כתלות בזמן , נשנה קצת את צורת המשוואה (נבודד את h) קיבלנו משוואה מסוג שלא היכרנו עד היום – משוואה בה הגודל h תלוי לא רק בגורמים שונים של התהליך, כמו שטח המכל והתנגדות פתח היציאה. אלא גם בקצב השינוי של אותו גודל (הנגזרת שלו)

11 למשוואות מסוג זה, קוראים משוואות דיפרנציאליות
למשוואות מסוג זה, קוראים משוואות דיפרנציאליות. (משוואות בהן מופיעה הנגזרת של הפונקציה). מסתבר שגם למשוואות כאלו יש פתרון מתמטי. אך מה שנעשה עתה הוא להראות את התנהגות הגובה כתלות בזמן מבלי לפתור את המשוואה, אלא בשתי דרכים אחרות: א. בעזרת שימוש בגיליון אלקטרוני - Excel ב. בעזרת תוכנת Labview. רק בשלב הסופי נראה מה הוא הפתרון המתמטי של המשוואה ונראה שהוא אכן נותן תוצאות זהות לאלו שקיבלנו בשתי הדרכים הראשונות

12 פתרון בעזרת Excel של המשוואה:
נשנה אותה מעט ע"י הכפלת כל האיברים ב dt ראשית נקבע ערכים לגדלים הבאים א. מרווח הזמן הקצר dt נקבע כ 0.01 (גודל זה יישאר קבוע) ב. שטח בסיס המיכל A – נקבע כ 1 (גודל שנשנה בהמשך) ג. התנגדות ברז היציאה R – נקבע כ 1 (גודל שנשנה בהמשך) ד. קצב כניסת המים qin - נקבע כ 1 (גודל שנשנה בהמשך)

13 בעמודה A נרשום את השמות ובעמודה B נרשום את הערכים
שבחרנו טריק קטן שיהפוך את קריאת המשוואות שנכתוב לקלה יותר – ניתן שמות לתאים, וכך, במקום שבנוסחאות שנכתוב יופיעו שמות התאים B2, B3 וכדומה, יופיעו שמות המשתנים. סמן את תא B2 , בחר בתפריט Insert ושם בחר ב Name ואז ב Define. יפתח החלון הבא -

14 שימו לב שהשם A מופיע אוטומאטית כי התוכנה מזהה כברירת מחדל את מה שכתוב בתא שמימין לתא שבחרנו כשמו של התא. (ניתן לשנות את השם כרצוננו) וללחוץ על ADD, השם יתווסף לחלון. נמשיך כך עבור שאר שלושת הערכים.(את השם R לא נצליח להוסיף כי זהו "שם שמור" לכן נשנה את השם ל AR)

15 נוסיף עתה את שמות העמודות בהן יתבצעו החישובים
ונוסיף את הערכים ההתחלתיים (ונוסחה אחת): זמן – 0, נפח נכנס – כאן נכניס את הנוסחה qin*dt ע"י כתיבת : = וסימון התא B4 ששמו הוא כבר qin, בחירת פעולת כפל וסימון התא B5 ששמו הוא כבר dt בשאר התאים נרשום 0 כי בתחילה אין יציאת מים, נפח המים במכל עדיין 0 וגם גובה המפלס הוא 0.

16 נעבור לשורה הבאה, בה נרשום עתה את כל המשוואות להן נזדקק .
גובה המים שווה לנפח המים מחולק בשטח המכל הנפח העכשווי = הנפח הקודם + הנפח שנכנס – הנפח שיצא הנפח היוצא = המפלס העכשווי מחולק ב R (qout) ומוכפל בפרק הזמן dt העתק הנוסחה מהתא הקודם הזמן העכשווי = הקודם + dt

17 כל שנותר לנו לעשות עכשיו זה להעתיק את הנוסחאות שבשורה השניה עד לשורה 2000 בערך, (כלומר החישובים יהיו למשך זמן של כ 20 שניות). נסמן את התאים עם הנוסחאות המצויים בשורה השניה, ונגרור את הפינה השמאלית התחתונה עד שורה 2000 גרור

18 בחינת הערכים המתקבלים:
הנפח היוצא הולך וגדל עם הזמן כי גובה המים עולה וגורם ללחץ מוגבר על פתח היציאה הזמן t עולה כמובן בקפיצות של 0.01 כי זהו ה dt שקבענו הנפח הנכנס אינו משתנה כי קצב הכניסה אינו משתנה נפח המים הולך ועולה אך בקצב הולך וקטן, וכך גם המפלס h

19 ניצור גרף של עליית המפלס h כתלות בזמן t:
נסמן את העמודות C ו G נקליק על אשף הגרפים: Graph wizard, ונבחר בגרף מסוג xy (scatter) , נקליק next מספר פעמים ונקבל את הגרף הדרוש

20 משימות שנו את הערך של A לערכים 0.5, 2, 4 מבלי לשנות את ערכי הפרמטרים האחרים. תארו את ההשפעה של השינוי על קצב עליית המפלס, על גובה המפלס במצב המתמיד ועל זמן ההגעה למפלס זה. נסו להסביר את ההשפעות שגיליתם. שנו את הערך של R לערכים 0.5, 2, 4 מבלי לשנות את ערכי הפרמטרים האחרים. תארו את ההשפעה של השינוי על קצב עליית המפלס, על גובה המפלס במצב המתמיד ועל זמן ההגעה למפלס זה . נסו להסביר את ההשפעות שגיליתם. שנו את הערך של qin לערכים 0.5, 2, 4 מבלי לשנות את ערכי הפרמטרים האחרים. תארו את ההשפעה של השינוי על קצב עליית המפלס, על גובה המפלס במצב המתמיד ועל זמן ההגעה למפלס זה . נסו להסביר את ההשפעות שגיליתם. שנו את הערך של R ל 0.5 ואת הערך של qin ל 2 ואחר כך ל 4. האם יש לכם מסקנות והבנות נוספות מעבר לאלו שהגעתם אליהן בשאלות הקודמות?