Sannsynlighet og kombinatorikk 1. oktober 2009 Matematikk i høstferien Høgskolen i Vestfold

Sannsynlighetsbegrepet Et forsøk (f.eks. myntkast) gjennomføres mange ganger. Vi teller hvor mange ganger hvert utfall (krone og mynt) oppstår. Da kan vi lage en relativ frekvenstabell. De relative frekvensene angir “hvor ofte” hvert utfall oppstår.

Kaster vi mynten flere og flere ganger, vil den relative frekvensen for hvert utfall gå mot en bestemt verdi: 1/2. Denne verdien kalles for utfallets sannsynlighet.

Definisjon på sannsynlighet Når vi gjennomfører et forsøk flere og flere ganger, kan den relative frekvensen for hvert utfall “nærme seg til” eller “gå mot” en bestemt verdi. Denne verdien kalles for utfallets sannsynlighet. En sannsynlighet er alltid mellom 0 og 1.

Statistisk sannsynlighet Dette kalles også for frekvensfortolkning. Vi gjennomfører forsøket mange ganger. Gjør vi det ofte nok, skal vi kunne se trender og anslå sannsynligheten for hvert utfall. IKT er utmerket godt egnet slike gjennomføringer. Eks.: Kast en terning 20, 40, 60 ganger osv.

Teoretisk sannsynlighet Dette kalles også for kombinatorisk sannsynlighet. Uniform sannsynlighet (Laplaceprinsippet): Hvis alle utfallene i eksperimentet er like sannsynlige, da er sannsynligheten for hvert enkelt utfall lik 1 / (antall mulige utfall).

Myntkast Sannsynligheten for å få krone når man kaster en mynt: Det er to utfall. Ved Laplaceprinsippet er det (teoretisk) sannsynlighet ½ for å få krone. Vi skriver P(krone) = ½.

Sannsynlighetsfordeling En liste med alle mulige utfall og sannsynligheten til hvert enkelt utfall. Eksempel: Hvordan er sannsynlighetsfordelingen til en terningkast? Utfall Krone Mynt Sannsynlighet ½

Å anvende Laplaceprinsippet Det kan hende at vi er interessert i et resultat som svarer til mange utfall. Vi kaller et utfall gunstig dersom det fører til det ønskede resultatet/hendelse. Da er P(hendelse) = antall gunstige utfall antall mulige utfall.

Kast med to mynter Hvor stor sannsynlighet er det for å få kron på begge mynter? Fire mulige utfall: KK, MK, KM, MM Én gunstig: KK. Derfor har vi P(kron på begge) = ¼. Hvor stor er sannsynligheten for å få presist én kron?

Med Laplaceprinsippet har vi kokt ned spørsmålet i mange tilfeller til det å kunne telle de mulige og gunstige utfallene. Slik er vi ført til å betrakte kombinatorikk: “kunsten om å telle”.

Kombinatorikk Multiplikasjonsprinsippet: Når vi gjør et sammensatt valg, blir antall mulige kombinasjoner lik produktet av antall muligheter ved hvert delvalg. F.eks., når vi kaster to forskjellige terninger er det 6∙6 = 36 mulige utfall.

Med multiplikasjonsprinsippet er vi i god stand til å løse oppgavene om kodelåsen og kinokø på arket.

Med eller uten tilbakelegging? Et menneske kan stå kun i én posisjon i en kø, og derfor avtar antall valg med ett i hvert trinn. Valget er uten tilbakelegging. Til gjengjeld, en kode på en kodelås kan innholde det samme sifferet flere ganger. Derfor avtar ikke antall valg. Valget er med tilbakelegging.

Uordnet utvalg Ved både kinokøen og kodelås var rekkefølge viktig; utvalget var ordnet. Men det er det ikke alltid. For eksempel: Are, Bente, Christian og Desirée vil spille tennis, men det er bare to racquetter. Hvor mange toerlag har vi å velge mellom?

Det er 4∙3 måter å velge to personer ut fra en gruppe på fire. Men det spiller ingen rolle om vi velger Are først og Bente etterpå, eller om vi velger Bente først og så Are. Ved å regne ut 4∙3, har vi talt hvert par to ganger. Derfor må vi dele 4∙3 på 2, for å “korrigere”.

Å velge et lag på tre fra fire Det finnes 4∙3∙2 måter å velge tre personer fra fire, med hensyn til rekkefølge. Men hvis vi skal telle bare lag, er ikke rekkefølge viktig. Derfor har vi talt hvert lag altfor mange ganger: én gang for hver rekkefølge som de kan velges i. Dermed deler vi 4∙3∙2 med antall forskjellige rekkefølger som et treerlag kan velges i.

Tre gjenstander kan settes opp i 3∙2∙1 rekkefølger. Dermed finnes det forskjellige lag på tre som man kan lage av en gruppe på fire. Dette er et eksempel på uordnet utvalg uten tilbakelegging.

Addisjonsprinsippet I en klasse er det 15 elever som spiller håndball og 13 som spiller fotball, og 7 som spiller både håndball og fotball. Hvor mange spiller håndball og/eller fotball? Det blir 15 + 13 – 7 = 21. Obs: I matematikken betyr “eller” som regel “og/eller”.

Generelt, for å telle to mengder A og B som kan ha noen elementer i felles: (antall elementer i A) + (antall elementer i B) − (antall elementer i A og B). Vi må “justere” slik at vi ikke teller elementene i snittet av A og B to ganger.

Tilbake til sannsynlighet La oss nå bruke det vi har lært om kombinatorikk for å løse problemer i sannsynlighet. Vi kan begynne med oppgaver 8 til 10 på arket.