Matematikk 1 A2A / A2B 11. september 2009 Tallære 3 Matematikk 1 A2A / A2B 11. september 2009

Kilder for forelesningen Breiteig-Venheim: Matematikk for Lærere 1, kap. 4 Selvik-Tvete: Matematiske sammenhenger – Tallære Caspar, 2000

Innhold Innledning Tallære i K06 Delelighet Primtall Største felles faktor og minste felles multiplum

§1. Om tallære: “Mathematics is the queen of the sciences and number theory is the queen of mathematics.” G. H. Hardy

Tallære og algebra Faglig: Algebraiske strukturer er ofte generalisasjoner av tallmengder som de hele tallene og de rasjonale tallene. Didaktisk: Solide kunnskaper i tallære er en forutsetning for å lykkes med algebra.

Oppsummering fra i vår Å telle; de fire regneartene Elevers tallforståelse Hoderegning Posisjonssystemet og andre tallsystemer Negative tall Brøk, desimaltall og prosent Irrasjonale, kvadrat- og andre røtter Avrunding, usikkerhet og gjeldende siffer

§2. Kompetansemål i tallære i K06 Etter 2. årstrinn telje til 100, dele opp og byggje mengder opp til 10, setje saman og dele opp tiargrupper bruke tallinja til berekningar og til å vise talstorleikar gjere overslag over mengder, telje opp, samanlikne tal og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar utvikle og bruke varierte reknestrategiar for addisjon og subtraksjon av tosifra tal doble og halvere kjenne att, samtale om og vidareføre strukturar i enkle talmønster

Etter 4. årstrinn beskrive plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar, og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar gjere overslag over og finne tal ved hjelp av hovudrekning, teljemateriell og skriftlege notat, gjennomføre overslagsrekning med enkle tal og vurdere svar utvikle og bruke ulike reknemetodar for addisjon og subtraksjon av fleirsifra tal både i hovudet og på papiret

bruke den vesle multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjonar velje rekneart og grunnegje valet, bruke tabellkunnskapar om rekneartane og utnytte enkle samanhengar mellom rekneartane eksperimentere med, kjenne att, beskrive og vidareføre strukturar i enkle talmønster

Etter 7. årstrinn beskrive plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent, og plassere dei på tallinja finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar utvikle og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning, og bruke lommereknar i berekningar

beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere enkle berekningar stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, og argumentere for løysingsmetodar utforske og beskrive strukturar og forandringar i enkle geometriske mønster og talmønster

Etter 10. årstrinn samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform,og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar

utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design

§3. Delelighet og primtall Alle elever i en klasse har kjøpt de fire lærebøkene som læreren anbefalte. Antall bøker eid av klassen er da (antall elever) ∙ 4. Derfor må 4 “gå opp” i antall bøker. F.eks., 24 elever eier 96 bøker.

Faktorer og delelighet Definisjon: Et helt tall a er delelig med et annet helt tall b dersom a = k∙b for et helt tall k. I hverdagsspråket kunne vi si at tallet a kan fordeles inn i b like store deler. Vi sier også at b er faktor eller divisor i a; a er et multiplum av b.

Når går ett tall opp i et annet? Kjent definisjon: Et helt tall a kalles partall dersom 2 går opp i a, og oddetall ellers. Et helt tall er partall dersom dets siste siffer er 0, 2, 4, 6 eller 8; og et helt tall er oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3, 5, 7 eller 9.

Tester for delelighet (Breiteig-Venheim, s. 116-118) Et helt tall er delelig med 2 dersom dets siste siffer er partall 4 dersom tallet dannet av dets siste to sifre er delelig med 4 5 dersom dets siste siffer er 0 eller 5

Tverrsummer og delelighet Definisjon: Tverrsummen til et helt tall er summen av tallets sifre. Den alternerende tverrsummen til et helt tall er summen av tallets sifre der vi ganger sifrene vekselvis med +1 og -1.

Flere tester for delelighet Et helt tall er delelig med 3 dersom dets tverrsum er delelig med 3 6 dersom det er partall og dets tverrsum er delelig med 3 9 dersom dets tverrsum er delelig med 9 11 dersom dets alternerende tverrsum er delelig med 11

§4. Primtall Definisjon: Et helt tall a kalles primtall dersom de eneste faktorene i a er 1 og a. Et helt tall som ikke er primtall kalles et sammensatt tall. (Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller sammensatt.)

Aritmetikkens fundamentalsetning Primtallene er de hele tallene som det ikke går an å “bryte ned” (faktorisere) videre. Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.): Hvert helt tall kan faktoriseres som produkt av primtall på én og bare én måte (vi ser bort fra faktorenes rekkefølge).

Å finne primtallfaktorer Lemma: Et sammensatt tall a har alltid minst én primtallfaktor som er Bevis Siden a er sammensatt, kan vi skrive a = bc for hele tall b og c, ingen av dem lik a. Hvis både b og c er større enn da er bc større enn a, som er umulig. Vi antar at det er b som er Da er primtallfaktorene i b også mindre enn eller lik og de er også primtallfaktorer i a. □

Å finne primtallfaktorer Lemmaet viser at for å sjekke om et helt tall a er primtall, holder det med å teste delelighet med alle primtallene som er mindre enn eller lik Har vi ikke funnet en primtallfaktor etter å ha prøvd alle disse, da vet vi at a er primtall. Denne teknikken kan også benyttes ved faktorisering.

Hvor mange primtall? Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at ethvert helt tall kan brytes ned som produkt av primtall. Hvor mange primtall trenger vi for å lage alle de hele tallene?

Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall. Bevis La p være et vilkårlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall større enn p. Dermed skal vi vite at det er ingen største primtall, og så må det være uendelig mange primtall.

(bevis fortsetter) Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p: 2, 3, 5, 7, … p og bruker dem til å lage et nytt tall M := (2∙3∙5∙7∙…∙p) + 1 Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene på lista 2, 3, … p, fordi vi får en rest på 1 i hvert tilfelle. Derfor er alle primtallfaktorene i M større enn p. □

Eratosthenes’ såld (Breiteig-Venheim, s. 122) En måte å finne primtall på. Metoden går på å “stryke” alle sammensatte tall i et visst intervall, og da står bare primtallene igjen.

Fordelingen av primtallene Primtallene fordeler seg i de hele tallene på en svært tilfeldig måte. Her er et av de forholdsvis få resultatene vi har om fenomenet: Setning: Det finnes vilkårlig lange progresjoner av sammensatte tall i de hele tallene.

Ide bak beviset: Tenk om vi ønsker å finne fem påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1. Da ser vi at 6! + 2 er delelig med 2, 6! + 3 er delelig med 3, 6! + 4 er delelig med 4, 6! + 5 er delelig med 5, og 6! + 6 er delelig med 6. Slik har vi funnet en rekkefølge med fem sammensatte tall.

(n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1. Da ser vi at Bevis Tenk om vi ønsker å finne n påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet (n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1. Da ser vi at (n +1)! + 2 er delelig med 2, (n +1)! + 3 er delelig med 3, … (n +1)! + n er delelig med n, og (n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1). Slik har vi funnet en rekkefølge med n sammensatte tall. □

§5. Sff og mfm (altså største felles faktor og minste felles multiplum) Johann kjøpte et antall epler à 4kr og et antall bananer à 6kr. Ekspeditøren sier at det er 65kr å betale. Johann sier “Dette må være feil”. Hvordan visste han det? Hva om Johann kjøpte appelsiner à 3kr og vafler à 6kr, og blir bedt om å betale 20kr?

Vi oversetter til algebra: Vi prøver å finne løsninger i de hele tallene til likningen 4e + 6b = 65 i det første eksempelet, og likningen 3a + 6v = 20 i det andre.

For at det skal være en heltalløsning til 4e + 6b = 65, trenger vi følgende: Hvis det er et tall som går opp i både 4 og 6, må det tallet også gå opp i 65. Det finnes ingen slikt tall. Derfor må ekspeditøren ha gjort feil.

Felles faktor og sff Definisjon: La a og b være hele tall. En felles faktor for a og b er et helt tall som går opp i både a og b. En felles faktor d for a og b kalles største felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b går opp i d. Vi skriver d = sff(a,b) eller d = gcd(a,b).

For at vi skal kunne finne løsninger f.eks. til likningen 4e + 6b = 65, må sff(4,6) = 2 gå opp i tallet til høyre, og det gjør det ikke. En slik likning kalles forresten en lineær diofantisk likning.

Å finne sff En måte å finne sff til to tall er å faktorisere tallene og se på hvilke tall som går opp i begge tall. Med store tall er Euklids algoritme gunstigere (Breiteig-Venheim, s. 128-129).

Minste felles multiplum Tenk om vi skal utføre regnestykket Vi må finne en felles nevner for brøkene. Det går an å gange sammen nevnerne, men dette kan bli tungvindt. Det er gunstigere å bruke minste felles multiplum.

Definisjon: La a og b være hele tall Definisjon: La a og b være hele tall. Et felles multiplum for a og b er et helt tall som både a og b går opp i. Et felles multiplum d for a og b er minste felles multiplum dersom d går opp i alle andre felles multipler for a og b. Minste felles multiplum til a og b finner man slik: