Problemløsning som arbeidsmåte i matematikk Matematisk kveld Torsdag 09.10.14 Martin Carlsen

Hvorfor matematisk problemløsning? Å løse matematiske problemer definerer hvordan matematikere arbeider med matematikk. Å løse matematiske problemer er en arbeidsmåte for å lære matematikk Å løse matematiske problemer er gøy! Å løse matematiske problemer er vanskelig og krevende! Å løse matematiske problemer er tidkrevende og slitsomt! Utholdenhet er viktig!

Mason and Davis (1991) Mathematical brilliance is not needed to participate. Everyone can and does think mathematically ”By starting from a base of confidence in your mathematical thinking you can become more sophisticated, more proficient, and better able to help pupils discover and develop their mathematical thinking ” (p. 1, my emphasis).

Hva er et matematisk problem? For en person er et matematisk problem en oppgave eller utfordring som denne personen blir interessert og engasjert i og samtidig motivert av til å finne mulig(e) løsning(er) på. I tillegg må utfordringen være av en slik karakter at personen ikke umiddelbart har de matematiske redskapene eller ressursene tilgjengelige som kreves for å kunne finne de(n) løsningen(e) (Schoenfeld, 1993, s. 71, min oversettelse). 12 + 9 = Problem for en fireåring, rutineoppgave for dere! Et matematisk problem er noe som “går under huden” på deg – “hjemsøker” deg En utfordring som skaper et gap eller overraskelse hos en person slik at denne begynner å stille spørsmål – Hvorfor? Hvordan? Hvor mange? Eks: Fermats siste teorem og Andrew Wiles, 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑛 , 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑁 og for n≥3, 𝑛∈𝑁,

Heuristics - prinsipper, gode problemløsningsråd, tilnærmingsmåter Let etter et mønster Konstruer en tabell Sett opp en liste over alle muligheter Tegn en tegning, figur eller graf Velg formålstjenlige betegnelser Gjett og kontroller Fastsett et delmål Arbeid baklengs Omformuler problemet til et ekvivalent problem Løs et enklere (eller lignende) problem Løs et vanligere problem som det aktuelle utgjør et spesialtilfelle av Bruk et ekstremtilfelle Se på problemet fra en annen synsvinkel Bruk symmetri- eller paritetsargumenter (Björkqvist, 2003, s. 67)

Mason and Davis (1991) ”Once you become aware of strategies, heuristics and mathematical thinking processes that you have used successfully, you can carry out actions that help you to employ those again in the future. With experience of this in yourself, you can begin to help pupils by offering them the kind of advice that they can use to get unstuck, and which, through reflection, they can begin to use for themselves” (p. 5, my emphasis).

Hva er matematisk problemløsning? Prosessen en gjennomgår når en løser et matematisk problem, når et matematisk problem defineres som Schoenfeld gjør det over. ”kognitiv, metakognitiv, sosiokulturell og affektiv prosess om å finne ut av hvordan en kan løse et matematisk problem når en ikke allerede vet hvordan en kan løse det” (Bjuland, 2002, s. 9, min oversettelse). Fire grunnleggende matematiske prosesser som problemløsningsprosessen består av: - Spesialisering - Generalisering - Kvalifisert gjetning (conjecturing) - Overbevisning/Argumentasjon/Bevis (Convincing yourself, your friend, your enemy)

Modeller for matematisk problemløsning Polya (1957) – 4 steg: Understanding the problem (Forstå problemet) Devising a plan (Lag en plan) Carrying out the plan (Gjennomfør planen) Looking back (Se tilbake) Mason, Burton & Stacey (1982): 3 faser: Entry (Hva vet jeg? Hva skal jeg finne ut?, spesialisering) Attack (conjecturing, convincing) Review (generalisering)

Eksempler på matematiske problemer Lag et tisifret tall som er slik at hvert siffers verdi angir antallet siffer av den posisjonen sifferet står i. Står 2 på den femte posisjonen (fra venstre), skal tallet inneholde sifferet 5 på to steder. Kan du lage brøker som er lik 0,5 ved å bruke alle sifrene fra 1-9 én gang? Gitt et linjestykke. Del linjestykket i to. Konstruer to regulære trekanter på den ene siden og en regulær trekant på den andre siden. Undersøk trekanten som har tyngdepunktet i disse tre trekantene som hjørner. Hvor mange kvadrater er det på et sjakkbrett? Hvilke naturlige tall kan skrives som en sum av etterfølgende naturlige tall?

Hva skjer her…? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16….. 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16... 1,3,7,12,19,27,37,48,61,75,91… 1, 8, 27, 64, 125, 216

Referanser Bjuland, R. (2002). Problem solving in geometry. Reasoning processes of student teachers working in small groups. A dialogical approach. Published doctoral dissertation. Bergen: University of Bergen. Björckqvist, O. (2003). Matematisk problemløsning. I B. Grevholm (red.), Matematikk for skolen (s. 51-70). Bergen: Fagbokforlaget. Mason, J., Burton, L., & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically. London: Addison-Wesley. Mason, J., & Davis, J. (1991). Fostering and sustaining mathematics thinking through problem solving. Victoria, England: Deakin Uni-versity Press. Polya, G. (1957). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press. Schoenfeld, A. H. (1993). Teaching mathematical thinking and problem solving. Rapport fra en konferanse om matematikkdidaktikk og kvinner i matematiske fag [Proceedings of the conference Mathematics education and women in mathematical sciences] (pp. 67-89). Oslo, Norway: Norges forskningsråd.