Oppgave 1 Gitt ligningssystemet x + ay + z = 1 2006 3x + 10y + az = b der a og b er to vilkårlige konstanter. Finn for hvilke verdier av a og b systemet har entydig løsning, flere løsninger og ingen løsning. 2006 Max rang 3 Min rang 2 fordi Systemets koeffisientmatrise 1 1 -1 -5  0 Beregner determinanten = a2 -15a -10 - 3a + 50 + a2 = 2a2 -18a + 40 a = 5 a = 4 |A| = 0  a2 – 9a + 20 = 0  |A|  0  a  5  a  4  r(A) = 3  entydig løsning |A| = 0  a = 5  a = 4  r(A) = 2 a = 5  = 5b + 30 -10 -15 – 20 + 5b = 10b - 15 a = 5  |Ab| = 0  b = 3/2  r(Ab) = 2  r(A) = r(Ab)  løsning med n – r(A) = 1 frie variable |Ab|  0  a = 5  b  3/2  r(Ab) = 3  r(A)  r(Ab)  ingen løsning (Samme for a = 4)

5 Et objekt som ligger i ro eksploderer og deler seg i tre like deler. En del beveger seg nordøstover med farten 39 m/s, den andre i retning sydsydvest med farten 56 m/s. Finn fart, størrelse og retning til den tredje delen. Kaller delene A, B, C Delene er like, setter massen lik 1. pA = 39 (grønn) pB = 56 (rød) Vektorsummen av disse to er blå N NØ Vektorsum før eksplosjon = vektorsum etter eksplosjon = 0  pC er lik den blå og motsatt rettet. pC pBx = 56 sin 22,5 = 21,4 pBy = 56 cos 22,5 = 51,7  45 V Ø Dekomponerer: pAx = 39 cos 45 = 27,6 pAy = 39 sin 45 = 27,6 pCx = pAx – pBx pCy = pBy - pAy = 27,6 – 21,4 = 6,2 =51,7 – 27,6 = 24,1 22,5 (Lengder) pC2 = pCx2 + pCy2 = 6,22 + 24,12  pC = 24,9  Farten til C er 24,9 m/s S pCy pCx 24,1 6,2 Vinkel  med x-retningen: tan  = =   = 75,6 SSV

6 En lastebil som veier 7500 kg og har fart 8,3 m/s rett syd kolliderer med en bil , 1200 kg som har farten 19 m/s 30 nord for vest. Etter kollisjonen beveger de to bil(vrak)ene seg med samme fart og retning. Beregn denne farten. Lastebil: p1 = m1v1 = 7500 ∙ 8,3 = 62250 (rød) Personbil: p2 = m2v2 =1200 ∙ 19 = 22800 (blå) N p2 p2x = 22800 cos 30 = 19745 p2y = 22800 sin 30 = 11400 Dekomponerer p2: 30 V Ø Vektorsummen (grønn) er lik før og etter kollisjonen: p = p1 + p2  Koordinatene til p px = p2x = 19745 py = p1 – p2y = 62250 – 11400 = 50850 p p2 = px2 + py2 = 197452 – 508502  p = 54549 p1 px py 19745 50850 Vinkel  med y-retningen: tan  = =   = 21,2 S Fart etter kollisjonen: p = (m1 + m2) v  v = 54549 : 8700 = 6,27 m/s

7 Pål padler over elva. Han padler med fart 3,2 km/h i retning vinkelrett på elvebredden. Strømmen i elva har farten 1,5 km/h. Hvilken fart får båten i forhold til elvebredden? Elva er 800 m bred. Hvor lander han på den andre sida? Hvor lang tid tar turen? Start 800 m Båt  x Slutt Padlefart: v1 = 3,2 km/h (blå) Strøm: v2 = 1,5 km/h (rød) Resultantfart v2 = 3,22 + 1,52  v = 3,53 km/h v2 v1 1,5 3,2 Vinkel  med padleretningen: tan  = =   = 25,1 x 800 tan  =  x = 800 ∙ tan 25,1 = 375 m Tid: t = 0,8 km : 3,2 km/h = 0,25 h = 15 min

9 N En kloss glir på et skråplan. Klossen har masse m = 1,4 kg og skråplanet har hellingsvinkel  = 31. Friksjonskoeffisienten mellom kloss og skråplan  = 0,44 Beregn klossens akselerasjon. Klossen starter med fart lik null 0,65 m oppe på skråplanet. Hvilken fart har den i bånn? m Dekomponerer G: G sin  || skråplanet (blå) G cos   skråplanet (lilla)   G = mg Vinkelrett på skråplanet: G cos  = N  R = N = G cos  mg sin  - mg cos  = ma Forkorter bort m Fartsretning: G sin  - R = ma  Klossens akselerasjon: a = g sin  -  g cos  = 9,8 sin 31 – 0,44  9,8 cos 31 = 1,35 m/s2 Skråplanets lengde er 0,65 m og klossen starter med fart lik 0 på toppen Bruker s = ½ at2 til å finne t : Setter t inn i denne ligninga v = at = 1,35  0,96 = 1,30 m/s