Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimum flyt og maksimum bipartitt matching Jon Marius Venstad venstad@idi.ntnu.no

Dagens tema Flytnettverk Maksimum bipartitt matching Terminologi Max-flow min-cut teoremet Ford-Fulkersons metode og algoritme Edmond-Karps algoritme Maksimum bipartitt matching Spesialtilfelle av flyt Andre algoritmer

Terminologi: Flytnettverk En graf med kapasitet på kantene Ønsker å sende flyt fra en kildenode s (source) til en sluknode t (terminal/sink)

Flytnettverk Eksempler Væske som flyter gjennom et rørsystem til en destinasjon Varer igjennom et varehus, produksjonslinjer Informasjon gjennom et datanettverk Strøm gjennom strømledninger

Flytnettverk Flyt og kapasitet på kanter benevnes f/c Flyt inn i en node = flyt ut (unntatt for s og t) f(v, u) = - f(u, v) f(u,v) = 4 c(u,v) = 5 f(v,u) = -4 c(v,u) = 0

Residual nettverk En graf som viser hvor mye man kan øke flyten med, til man når kapasiteten på kantene Kalles Gf = (V,Ef) for flytnettverket G = (V,E) cf(u,v) er residualkapasiteten for en kant (u,v) Dvs. hvor mye mer flyt kan man sende over kanten før man når kapasiteten. (Eller: Hvor mye flyt man kan kansellere, for motsatt retning.)

Residual nettverk cf(u,v) = c(u,v) – f(u,v) der f(u,v) er flyten for kanten (u,v) c(u,v) = 7 f(u,v) = 3 cf(u,v) = 7 – 3 = 4 c(v,u) = 0 f(v,u) = -3 cf(v,u) = 0 – (-3) = 3

Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i Gf enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet

Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i Gf enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet

Superkilde og supersluk Hva hvis flytnettverket har flere kilder og flere sluker? Superkilde og supersluk

Snitt i flytnettverk Vi kan dele opp grafen i to partisjoner, ved å ta et snitt (S,T), der mengden S inneholder kilden s og T inneholder sluket t Kan ha mange snitt på en graf

Snitt-terminologi Flyt over et snitt: f(S,T) Flyt fra S til T: legges til f(S,T) Flyt fra T til S: trekkes fra f(S,T) Kapasitet over et snitt: c(S,T) Legger bare til kapasiteter fra S til T Minimum-snitt (min-cut) på et flytnettverk: det snittet som har lavest kapasitet av alle snitt Netto flyt over ethvert snitt er det samme, nemlig flyten | f |

Snitt i flytnettverk Partisjonerer flytnettverket i to deler: S = { s, u } T = { v, w, x, t } f(S,T) = 4 + 2 + 1 - 0 = 7 c(S,T) = 3 + 5 + 5 = 13 snitt1 er ikke et min-cut

Max-flow min-cut teoremet Viktig! Max-flow min-cut teoremet Anta flytnettverk G = (V,E) med kilde s og sluk t. Da er følgende utsagn ekvivalente: f er maksimal flyt i G Residualnettverket Gf har ingen flytforøkende sti | f | = c(S,T) for et snitt (S,T) av G Et slikt snitt er et min-cut av G

Max-flow min-cut teoremet G er fylt opp med maksflyt 9 Gf har ingen flytforøkende stier min-cut har kapasitet 9

Max-flow min-cut teoremet min-cut angir en flaskehals i flytnettverket Kan ikke sende mer flyt igjennom nettverket enn det vi kan sende gjennom flaskehalsen Kan ikke finne noen flytforøkende sti over flaskehalsen

Ford-Fulkerson metoden Ford-Fulkerson-Method(G, s, t) Initialiser all flyt f til 0 så lenge det finnes en flytforøkende sti p øk flyten f langs p returner f En generell metode for å finne maksimal flyt i et flytnettverk

Ford-Fulkerson algoritmen Ford-Fulkerson(G, s, t) sett all flyt til 0 så lenge p er en sti fra s til t i Gf cf(p) = min{ cf(u,v) : (u,v) i p } for hver (u,v) i p f[u,v] = f[u,v] + cf(p) f[v,u] = -f[u,v] p er en flytforøkende sti cf(p) er residualkapasiteten til den ”minste” kanten i p Kjøretid O(E*| f’ |) Der f’ er maksflyten funnet i algoritmen

Ford-Fulkerson algoritmen Eksempelkjøring av algoritmen Jukser litt, initialiserer ikke flyten til 0 først

Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Initialsteg | f | = 7

Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning | f | = 8

Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning | f | = 9

Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Ingen flere flytførkende stier | f | = 9 Vi har funnet maks-flyt og er ferdige

Ford-Fulkerson algoritmen Algoritmen avhenger av hvordan man finner den flytforøkende stien p, fra s til t Ford-Fulkerson algoritmen kjører raskt hvis maksflyt er liten, men for stor |f’| blir kjøretiden O(E*|f’|) dårlig Hvis man bruker BFS til å finne flytforøkende sti i Gf, ender vi opp med Edmonds-Karps algoritme

Edmonds-Karps algoritme Bruker BFS for å finne korteste flytforøkende sti i Gf, og øker flyten langs denne stien BFS kan finne korteste vei fra s til t, ved å ha enhetslengde på kantene (unit-length) Ellers er Edmonds-Karp slik som Ford-Fulkersons algoritme Kjøretid O(V*E2)

Edmonds-Karps algoritme Edmonds-Karp(G, s, t) sett all flyt til 0 bruk BFS og finn korteste sti p, som går fra fra s til t i Gf cf(p) = min{ cf(u,v) : (u,v) i p } for hver (u,v) i p f[u,v] = f[u,v] + cf(p) f[v,u] = -f[u,v] p er en flytforøkende sti cf(p) er residualkapasiteten til den ”minste” kanten i p Kjøretid O(V*E2)

Maksimum bipartitt matching Terminologi Hvordan finne maksimum bipartitt matching

Maksimum bipartitt matching Hva er en bipartitt graf? En graf der nodene kan deles opp i to mengder L og R, slik at: Nodene i R bare har kanter til noder i L Nodene i L bare har kanter til noder i R

Maksimum bipartitt matching Eksempel Jenter som skal danse med gutter, noen vil danse med mange, mens noen vil danse med bare én annen. Ikke lov til å danse med samme kjønn. Hvordan få flest mulig personer ut på dansegulvet?

Maksimum bipartitt matching Hva er bipartitt matching? Anta G=(V,E) er en bipartitt graf, og M er en undermengde av E, slik at for grafen G’ = (V,M) holder følgende egenskap: For alle noder v i V, deg(v) ≤ 1 Så hver node kan ha maks 1 nabo Ønsker å maksimere |M| Maksimum bipartitt matching er når |M| er størst mulig

Maksimum bipartitt matching G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {} |M| = 0

Maksimum bipartitt matching G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {(a,d), (c,b) (e,f)} |M| = 3

Maksimum bipartitt matching Hvordan får vi til maskimum bipartitt matching? Dvs. hvordan maksimerer vi |M| ? Bygger på grafen litt slik at vi får ett flytnettverk Legger til en kilde s, sluk t, retninger på kantene fra L til R, og makskapasitet på hver kant til 1 Kilden har en kant til hver node i L, og hver node i R har en kant til sluken

Maksimum bipartitt matching Har en bipartitt graf

Maksimum bipartitt matching Legger til kilde s og sluk t, og rettede kanter fra s til t

Maksimum bipartitt matching Legger på kapasitet 1 på kantene

Maksimum bipartitt matching Etter man har gjort disse stegene, kan man kjøre en flytalgoritme på flytnettverket Da vil maksflyten |f| = |M|, og vi har løst problemet med maskimal bipartitt matching Brukes Ford-Fulkersens metode blir kjøretiden O(V*E)