Mål for timene Forstå hvordan vi ved hjelp av et variogram kan uttrykke den romlige variasjonen til en tilfeldig variabel. Volum – varians Simpel kriging

Interpolering mellom borehull A B C ? Mineralisering

Tilfeldig variabel

Regionaliserte variable En regionalisert variabel har ofte et strukturert og et tilfeldig aspekt Dyp Vertikal variasjon i nikkelgehalt

Kovarians

Stasjonæritet Svakt stasjonær (Annen ordens stasjonær) Intrinsisk Bar de to første momentene (middel, varians) Intrinsisk Middelverdi og varians til inkrementer eksisterer og er uavhengige av x Kvasistasjonær Stasjonær innen begrensede områder (Skille epler og pærer)

Sannsynlighetstetthet Metodene for å beregne sannsynlighet krever kjennskap til sannsynlighetstettheten. Hvordan får vi denne kunnskapen ? m s f(x) f(x) Histogram x x

Variogrammet Vi ser på differansen mellom verdier, ikke på verdiene i seg Definisjon

Variogram Variogrammet kan uttrykkes ved hjelp av variansen og covariansen eller ved variansen og korrelasjonskoeffisienten T

Variogram modeller Sfærisk Nugget effekt Eksponensiell ”Power Functions” The linear model

Det eksperimentelle variogram På den samme måten som histogrammet gir fordelingsfunksjonen, gir det eksperimentelle variogrammet variogramfunksjonen

Egenskaper ved variogrammet Influenssone Egenskaper nær 0 Anisotropi Geometrisk Support Hulleffekt T

Tilpasning av en sfærisk modell til et eksperimentelt variogram 2/3 1/3 a C C0

Tilpasning av en sfærisk modell til et eksperimentelt variogram Ser bort fra halve variogrammet. Hulleffekt

Strukturell analyse Sjekk data Eksperimentelt variogram Elementær statistikk Gjøre seg kjent med prøvetaking og problemstilling Eksperimentelt variogram Tilpasse modell

Sjekk data Hvordan er de foreliggende analyser framskaffet (prøvetakingsopplegg) ? Har det hvert noen forandringer i prøvetakingsopplegget ? Er det noen form for sonering i området ? Er noen områder overrepresentert ? (Clusters) Tar en ikke vare på forhold som kan være knyttet til dette allerede fra starten av, så er det fare for at hele analysen må gjøres på nytt.

Avgjørelser som må tas Først må det avgjøres hvilke variabler det skal arbeides med, og om området må deles opp i ulike soner. Så må en bestemme : Er variabelene stasjonære Hvilke support har variablene Er variablene additive Skal en arbeide med variablene selv, eller med for eksempel akkumulasjonen

Stasjonæitet Invariant overfor translasjoner E[Z(x)]=m i hele forekomsten Cov[Z(x), Z(x+h)] eksisterer for alle par Z(x), Z(x+h) i hele forekomsten

Support Størrelse og form på volumet som utgjør prøven

Additive variabler Middelverdien over en sone må være middelverdien til verdier inne i sonen Mektigheten er additiv Gullgehaltene er ikke additive (Slik de er angitt her) 3m 10g/tonn 2m 5g/tonn

Akkumulasjon Produktet mektighet*gehalt En vil vanligvis estimere akkumulasjon og tykkelse for et område, og så komme tilbake til de ordinære variabelen ved å dividere estimert akkumulasjon med estimert tykkelse.

Volum - varians Simpel kriging Ny sekvens Volum - varians Simpel kriging

Selektivt uttak Forekomst Malmforekomst Forurenset masse Trekke ut av forekomsten den delen som har et tilstrekkelig innhold av verdifullt materiale Forurenset masse Trekke ut av forekomsten den delen som klassifiseres som spesialavfall Bruk av arealer Angi de områdene som krever spesiell omtanke

Gehalt - tonnasje kurver Malmforekomst Gehalt - tonnasje kurver 30m 40m Knakkprøver for hver 10m langs orter

Forurensningsgrad - tonnasje kurver Forurenset masse Forurensningsgrad - tonnasje kurver 50m 50m Jordprøver i et rutenett 50 * 50 m

Areal - kategori kurver Bruk av arealer Areal - kategori kurver 30m 40m Tunnel Arealer gruppert etter RQD Borehull

1 2 3 Kompositter C1 a1 C2 a2 C3 a3

Regularisering At variogrammet forandres avhengig av volum eller support kalle regularisering Regulariseringen påvirker også fordelingen til prøvene

Gehalt - tonnasje kurver Malmforekomst Gehalt - tonnasje kurver 30m 40m Knakkprøver for hver 10m langs orter

Gehalt - tonnasje kurver cut-off

Fordelingen til prøver og blokker 0 100 200 Cut off 0 100 200

Hvor store skal blokkene være ? Vi skal lage en modell av virkeligheten som skal danne grunnlag for beslutninger. |Samsvar mellom blokkstørrelse og undersøkelsestetthet Samsvar mellom blokkstørrelse og det volum som kan påvirkes SMU ( Smalest mining unit)

Kriging Kriging er en estimeringsmetode som krever at vi kjenner variasjonene i forekomsten uttykt ved hjelp av variogrammet. Før vi ser på estimeringsmetoden Kriging Kan variogrammet benyttes til å velge blant de konvensjonelle metodene for estimering av en forekomst mengde og verdi (malmberegning) ?

Estimer fra de gitte prøvene

Hva er det beste estimatet ? Metode l1 l2 l3 l4 Sl Estimate Middelverdi 1/4 1/4 1/4 1/4 1 10.25 ISD .394 .285 .225 .096 1 7.32 Nærmeste punkt .442 .434 .128 1 6.08 Polynomer 1 7.38 Variogrammet kan benyttes til å velge metode

ISD Polygonmetoden (nærmeste punkt) Hvilken konvensjonell metode for malmberegning er best ? Middelverdi

Kriging Men Kriging kan gi et bedre estimat enn de konvensjonelle metodene Kriging Se kriging.doc NB! Bare den første delen er forelest i år. Vi bruker en lineær estimator Vi bruker variogrammet til å finne vektene. Disse vektene fremkommer ved å minimalisere uttrykket for den feilen som gjøres ved å bruke estimatoren.

Geostatistikk for analyse og visualisering av geodata Geostatistikk omfatter tre hovedområder Strukturell analyse av datagrunnlaget - (modellering) Estimering Simulering.

Geostatistikk - Simulering Ubetinget Studere den romlige variasjonen til et fenomen Betinget Beskrive mulige scenarier for en forekomst for å gi et grunnlag for produksjonssimuleringer.