Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The topic: Least squares method Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik An exemple Model Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm Why do the measured values deviate from the model if the measurement is correct?

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik How determine the ‘best’ straight line? Model Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Distance between line and measurements points... Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Norm How to define the distance between the line and the measurement points? Largest deviation at minimum Approximation in maximum norm Sum of deviations squared as small as possible Approximation in Euclidian norm Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm Easier to calculate!

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrix formulation: An example Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm More equations than unknowns! with

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrix formulation: An example Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrix formulation: An example Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Matrix formulation: An example Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik General Statement of the Problem: Depending on the model, the measurement data can of course be described by other expressions than the straight line. In general terms one seeks a function f* that approximates f’s given values as well as possible in euclidian norm. Specifically, above we looked for a solution expressed as Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm but we could as well have looked for a solution given by another function (possibly then for different data) etc...

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Generally one can thus write: f(x) is in other words a linear combination of given functions Where the coefficients are sought One can in accordande with a vector space look at it so that Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm Spans a function space (a space of this kind which fulfills certain conditions is called a Hilbert space, cmp. quant. mech)

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik In the case of the straight line we have In a geometrical comparision these two functions, which can be seen as two vectors in the function space, span a plane U: sought function ”vector” 0 Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm Approximating function ”vector” 1 The smallest distance from the plane is given by a normal. The Smallest deviation between f* och f is for f*-f orthogonal to the plane U!

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Normal equations Since we are interested in fitting m measured values we leave the picture of the continuous function space and view f(x) as an m-dimensional vector with values: That should be expressed by and Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm For the straight line:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The orthogonality condition now gives the equations: where Which gives Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm the equations for the normal:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The equations for the normal : Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Back to the exemple: Model: Data: Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Conclusion: Given data Assuming the model the minimum of is orthogonal to the basis vectors is obtained when Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm The coefficienterna c1, c2, c3, cn are determined from

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The equations or Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm Where the colomuns in A are:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Note 1: The func’s Have to be linearly independent (cmp vectors in a vector space) Note 2: Assume our problem would have been (x koord -996) Del A, Tekniska Aspekter matlab 1. Kort historik, varfor berakningar med maskin? 2. lagniva-hogniva programering, koppling till CPU och instruktionsset (kort for att ge en ide) 3. kort jmf med andra programsprak, framforallt vad galler definitioner, tolkat resp. kompilerat 4. interaktiv anvandning av matlab (tar upp programmet pa skarmen i salen) 5. demo av baskunskaper: operatorer, prioordning, inf,nan, variabler, vektorer, matriser tilldelning, vektorisering, matrisoperationer, notation (kolonnotation etc) teckenstrangar, lasa & skriva filer, skapa figurer, 1D-2D plottar b/ programstruktur 1. m-filer 2. varfor program? 3. byggblock i pgm: satssekvenser, alternativ (if), repetitioner (loopar) 4. funktioner och funktionsanrop 5. att tanka pa innan man programmerar definition av problem, struktur, losningsmetod (kontinuerlig) debugging, dokumentation av/i pgm cmp to