Repetisjon av sannsynlighetsregning Jørn Vatn NTNU

Tilfeldig forsøk Mange situasjoner er kjennetegnet ved at vi ikke vet hva fremtiden vil bringe. Noen eksempler er gitt nedenfor Vi setter en lyspære i drift, og registrerer tiden, T, det tar før den svikter. Vi kaster en terning, og registrer hvor mange øyne terningkastet gir. Vi bygger en grunnmur, og registrer tiden, T, det tar å ferdigstille grunnmuren. Vi regisserer om et prosjekt fullføres innen kontraktsfestet tidspunkt.

Utfallsrom Selv om vi på forhånd ikke vet resultatet av et tilfeldig forsøk, vil vi kunne si noe om mulige utfall av forsøket. Dette kaller vi utfallsrommet. Utfallsrommet betegnes S (fra engelsk: Sample space). I eksemplet med lyspæra vil f eks utfallsrommet være den positive delen av den reelle tallinja. For et terningkast er utfallsrommet S = {1,2,3,4,5,6} For eksemplet med grunnmuren er utfallsrommet positive reelle tall

Venndiagram Venndiagram er hensiktsmessig når vi vil se på delmengder av utfallsrommet. Vi tegner hele utfallsrommet som et rektangel, og så tegner vi de mengder vi vil betrakte som lukkede kurver, f eks en sirkel eller en ellipse

Hendelser Sannsynlighet er definert for hendelser En hendelse er som ordet tilsier noe som kan hende (inntreffe), på den andre siden kan det også hende at hendelsen ikke inntreffer {Det regner i morgen} er derfor en hendelse, og {Prosjektet når tidsfristen} er også en hendelse. Begge disse hendelsene kan hende, men det kan også hende at de ikke inntreffer. Det gir ikke mening å si at T = {levetiden til en gitt lyspære} er en hendelse Derimot kan vi si at {levetiden til en gitt lyspære er mindre enn et år} er en hendelse

Megndelære Snitt Union Disjunkte mengder Komplementære mengder

Union Unionen av to mengder A og B: A  B betegner de enkeltutfall som inngår i A eller B eller (A og B)

Snitt Snittet av to mengder A og B: A  B betegner de enkeltutfall som inngår i både A og B

Disjunkte mengder: A og B sies å være disjunkte dersom de ikke finnes noen enkeltutfall som inngår i både A og B, dvs A  B = Ø = den tomme mengde.

Komplementærmengder B sies å være komplementærmengden til A dersom B inneholder de enkeltutfall som ikke inngår i A Vi skriver AC for å betegne komplementærmengden til A

Sannsynlighet Sannsynlighet er en mengde-funksjon Pr() som knytter reelle tall til hendelser A1, A2,... i utfallsrommet S for et tilfeldig forsøk. Funksjonen Pr() kan kun ta verdier i intervallet fra 0 til 1, dvs sannsynligheter må være større eller lik 0, og mindre eller lik 1 S 1 A 2 Pr(A1) Pr(A2)

Kolmogorovs grunnleggende aksiomer 0  Pr(A) Pr(S) = 1 Dersom A1, A2,... er en sekvens av disjunkte hendelser, skal Pr(A1  A2 ...) = Pr(A1) + Pr(A2) + ...

Betinget sannsynlighet I en del situasjoner vil sannsynligheten for en hendelse A endre seg dersom vi får ny informasjon om en relatert hendelse B. I slike situasjoner innfører vi begrepet betinget sannsynlighet, og skriver Pr(A|B) = Den betingete sannsynligheten for at A skal inntreffe gitt at hendelse B har inntruffet.

Uavhengige hendelser A og B sies å være (stokastisk) uavhengig dersom informasjon om hvorvidt B er inntruffet ikke påvirker sannsynligheten for at A vil inntreffe, dvs Pr(A|B) = Pr(A)

Basisregler for sannsynlighetsregning Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A  B) Pr(A  B) = Pr(A)  Pr(B) hvis A og B er uavhengig Pr(AC) = Pr(A ikke inntreffer) = 1 - Pr(A) Pr(A|B) = Pr(A  B) / Pr(B)

Oppdeling av utfallsrommet A1,A2,…,Ar sies å være en oppdeling av utfallsrommet dersom unionen av alle Ai-ene dekker utfallsrommet, dvs A1  A2  …  Ar = S og Ai-ene er parvis disjunkte, dvs Ai  Aj = Ø for i  j

Loven om total sannsynlighet

Bayes formel Dersom A1,A2,…,Ar representere en oppdeling av utfallsrommet S, og B er en vilkårlig hendelse i S kan vi beregne Pr(Aj|B) ved

Tilfeldig størrelser En tilfeldig størrelse (stokastisk variabel), er en størrelse som vi ikke vet hvilken verdi vil ta, men Vi kan uttrykke statistiske egenskaper til størrelsen, eller gi sannsynlighetsutsagn om den Hendelser kan inntreffe, evt ikke inntreffe (“sort/hvit”), en tilfeldig størrelse er relatert til verdi, den kan ta ulike verdier (“farger”) Vi benytter sannsynligheter til å beskrive sannsynligheten for at den tilfeldige størrelsen kan ta ulike verdier Kumulativ fordelingsfunksjon (S-kurve, cumulative distribution function) Sannsynlighetstetthet (histogram, probability distribution function) Eksempler på tilfeldige størrelser Totale prosjektkostnader Varighet til prosjektet (f eks i dager fra oppstart)

Kumulativ fordelingsfunksjon (CDF), FX(x) = Pr(X  x)

Sannsynlighetstetthet (PDF),

Tetthet  sannsynligheter

Forventningsverdi Forventningsverdien til en tilfeldig størrelse er gjennomsnittsverdien den vil anta dersom vi gjennomfører et tilfeldig forsøk (uendelig) mange ganger

Median og mode Medianen til en tilfeldig størrelse er en verdi, Median(X), slik at sannsynligheten for at X er større enn eller lik Median(X) er lik sannsynligheten for at X er mindre enn eller lik Median(X) Moden til en tilfeldig størrelse, Mode(X), er den x-verdien som har størst tilhørende sannsynlighetstetthet (evt punktsannsynlighet). Ofte betegnes Mode(X) den ”mest sannsynlige verdi”

Varians Variansen til en tilfeldig størrelse angir variasjonen i verdien X vil anta dersom vi gjentar et tilfeldig forsøk (uendelig) mange ganger

Standardavvik Standardavviket til en tilfeldig størrelse er definert ved kvadratroten av variansen

Fordeling av summer, produkter og maksimalverdier Dersom X1, X2,…, Xn er tilfeldige størrelser, kan vi finne forventning, varians og standardavvik til summen av x-ene ved følgende formler

Dobbeltforventning Dersom vi kjenner forventning og varians til X |B og X |BC, kan vi bruke setningene om dobbeltforventning: E(X) = E(X|B)*Pr(B) + E(X|BC)*Pr(BC) Var(X) = Var(X|B)*Pr(B) + Var(X|BC)*Pr(BC) + [E(X|B)-E(X)]2*Pr(B) + [E(X|BC)-E(X)]2*Pr(BC)

Avhengighet Merk at ligning for varians og SD kun gjelder dersom x-ene er stokastisk uavhengig. Dersom x-ene er avhengige, må vi ta med kovariansledd for å få riktig uttrykk for variansen til summen Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2) + 2Cov(X1,X2) hvor Cov(X1,X2) er kovariansen mellom X1 og X2 Å ignorere uavhengighet vil typisk underestimere variansen

Regler for uavhengige produkter La X1 og X2 være uavhengige tilfeldige størrelser, da er: E(X1X2) = E(X1)  E(X2) Var(X1  X2) = Var(X1)  E(X2)2 + Var(X2)  E(X1)2 + Var(X1)  Var(X2)  Var(X1)  E(X2)2 + Var(X2)  E(X1)2

Fordeling til maksimalverdier Anta at X1 og X2 er tilfeldige uavhengige størrelser, og la Y = max(X1,X2), da er FY(x) = Pr(Y  x) = Pr(X1  x  X2  x) = Pr(X1  x)Pr(X2  x) = FX1(x)FX2(x) Uttrykket kan benyttes til å finne forventing og varians til maksimalverdier dersom vi kjenner fordelingen til hver av x-ene, ved standardformler for forventning og varians

Sannsynlighetstetthet: Vi har at fY(x) = FY(x)/x, samt kjerneregelen gir: fY(x)= fX1(x)FX2(x) + FX1(x)fX2(x)  E(Y) =  x [fX1(x)FX2(x) + FX1(x)fX2(x)]dx  Var(Y) =  (x-E(Y))2 [fX1(x)FX2(x) + FX1(x)fX2(x)]dx Kan enkelt finnes ved numeriske metoder

Sannsynlighetsfordelinger Følgende sannsynlighetsfordelinger benyttes ofte i sammenheng med prosjektrisiko: Normalfordelingen Gammafordelingen (=Erlangfordeling) Trekantfordeling PERT-fordeling

Normalfordeling Normalfordelingen beskrives ved  Grafisk fremstilling E(X) =  Var(X) = 2 Grafisk fremstilling CDFNormal(x,E,SD) PDFNormal(x,E,SD)

Trekantfordeling Sannsynlighetstettheten er en trekant, med L = laveste verdi M = mest sannsynlig verdi (”toppen”) H = høyeste verdi

PERT-fordelingen Beskrives ved: L = laveste verdi M = Mest sannsynlig verdi H = Høyeste verdi

Gammafordeling (Erlangfordeling) Verdiområde fra 0 til uendelig Beskrives ofte med to parametere,  og  E(X) = α/ Var(X) = α/2

Erlang og trippel-estimat Ofte anis Erlangfordelingen med L, M og H verdier For Erlangfordelingen gir det ikke mening å fortolke L og H som absolutte nedre og øvre verdier Dersom L og H fortolkes som 1% og 99% kvantiler gjelder Dersom L og H fortolkes som 10% og 90% kvantiler gjelder