1 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing En praktisk introduksjon til differensialligninger av Nils Kr. Rossing Skolelaboratoriet ved NTNU

2 SKOLELABORATORIET En praktisk introduksjon til differensialligninger Hva er en differensialligning? Fra praktisk problemstilling til differensialligning Oppbygging av en enkel simulator i Exel Utforsking av simulatoren Simulatoren og virkeligheten, sammenlignende målinger Eksplisitt løsning av en separabel differensialligning Bestem konstantene ved hjelp av målte verdier Tegn grafen i Exel Utprøving av modellen Diskusjon og utfordring Nils Kr. Rossing

3 SKOLELABORATORIET Hva er spesielt med differensialligninger? Nils Kr. Rossing En ordinær ligning av 2. grad: x 2 – x – 6 = 0 Denne løses ved at vi finner den eller de x-verdiene som tilfredsstiller ligningen. Vi finner at x = 3 er en løsning som tilfredsstiller ligningen 3 2 – 3 – 6 = 0

4 SKOLELABORATORIET Hva er spesielt med differensialligninger? Nils Kr. Rossing En ordinær differensialligning av 2. orden: y”(x) – y’(x) – 6y = 0 Denne løses ved at vi finner den eller de funksjonene y(x) som tilfredsstiller ligningen. Vi finner at y = e -2x er en løsning som tilfredsstiller ligningen. Når vi vet at y’ = – 2e -2x og y” = 4e -2x får vi 4 e -2x – (– 2 e -2x ) – 6 e -2x = 0 Så ser vi at denne funksjonen er en løsning.

5 SKOLELABORATORIET En klassisk problemstilling beskrevet av den italienske fysikeren Evangelista Torricelli ( ) Nils Kr. Rossing Finn en sammenheng mellom vannstanden, h(t) og tiden t. Tømmehastigheten er en funksjon av: d 2 – størrelsen av hullet d 1 – størrelsen av beholderen h(t) – vannstanden

6 SKOLELABORATORIET Etablering av differanseligningen Energibalanse Nils Kr. Rossing I løpet av tiden  t renner det ut m gr. vann. Antar at midlere vannstand for massen m er lik h. Reduksjonen i potensiell energi blir da: Den samme massen m må ha forlatt karet gjennom hullet i det samme tidsrommet med en hastighet v som er bestemt av energien: E p = m g h d2d2 d1d1 t E k = ½ m v 2 h t+  t m v Antar vi et friksjonsfritt forløp vil bevaring av energien gjennom tidsintervallet gi: ½ m v 2 = m g h

7 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Etablering av differanseligningen Volumballanse h m v d2d2 d1d1 Redusert volum i beholderen: V 2 = A 2  h hvor Volum forlatt beholderen gjennom hullet: V 1 = A 1  x hvor d2d2 hh d1d1 xx Siden V 2 = -V 1 kan vi sette: V 1 = A 1 v  t = A 1 2gh  t A 2  h = -A 1 2gh  t V2V2

8 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Etablering av differanseligningen Har da følgende ligninger: hvor Dette kan vi kalle en differanseligning h(t +  t) = h(t) –  h(t)

9 SKOLELABORATORIET Oppgave 1 Løsning av differanseligningen i Exel Nils Kr. Rossing

10 SKOLELABORATORIET Simulering av differanseligningen Nils Kr. Rossing Skriv inn følgende:

11 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Simulering av differanseligningen Skriv deretter inn følgende formler i de ulike cellene:

12 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Simulering av differanseligningen

13 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Oppgave 2 Mål halveringstiden for ulike hullstørrelser

14 SKOLELABORATORIET Målinger Vi skal nå måle halveringstiden for ulike hullstørrelser. Gjør følgende: 1.Mål hulldiameteren 2.Mål beholderens diameter 3.Fyll opp beholderen til maksimalnivået (16 cm) 4.Åpne for vannet idet tiden startes 5.Mål tiden det tar å halvere vannmengden Utfør tilsvarende målinger for ulike hullstørrelser Nils Kr. Rossing

15 SKOLELABORATORIET Målinger (fortsatt) Nils Kr. Rossing

16 SKOLELABORATORIET Måleresultater Nils Kr. Rossing

17 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Oppgave 3 Bruk modellen til å beregne halveringstiden for ulike hullstørrelser

18 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Målinger (fortsatt) Hvordan stemmer resultatene med modellen? Hvordan vil dere forklare ev. avvik? Er det mulig å legge inn en korreksjon i modellen som gir bedre overensstemmelse?

19 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Oppgave 4 Korreksjon Finnes det en effektiv måte å korrigere avviket på slik at det blir bedre overensstemmelse mellom beregnede og målte verdier? Beregner vi forholdet mellom beregnet og målt verdi, får vi verdiene 0,76, 0,73 og 0,74. Det vil si at vi kan legge inn en multiplikasjonsfaktor på ca. 0,75 for konstanten.

20 SKOLELABORATORIET Fra differanseligning til differensialligning Nils Kr. Rossing Gjør inkrementet uendelig lite og ender opp med en differensialligning: Endringen av vannstanden er proporsjonal med rota av vannstanden med en proporsjonalitetsfaktor lik forholdet mellom hullstørrelsen (A 1 ) og størrelsen av beholderen (A 2 ).

21 SKOLELABORATORIET Eksplisitt løsning av differensialligningen Nils Kr. Rossing Ligningen er separabel, dvs. at alle funksjonsledd (h(t)) kan flyttes til venstre side, og alle ledd som inneholder variabelen (t) og konstanter, kan flyttes over til høyre side:

22 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Eksplisitt løsning av differensialligningen (fortsatt) Vi integrerer på begge sider og får: Setter vi inn grenseverdiene får vi:

23 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Eksplisitt løsning av differensialligningen (fortsatt) Løser vi ligningen mht på h får vi: Hvor: h 0 - er vannstanden ved start h(t) - er vannstanden etter tiden t k - er en ”ukjent” konstant

24 SKOLELABORATORIET Bestem konstantene k i ligningen ut fra egne målinger Nils Kr. Rossing Tegn grafen for kurven i Exel og sammenlign med den tidligere simuleringen Oppgave 5

25 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Eksplisitt løsning av differensialligningen bestem konstantene Vi kan nå bruke måleresultatene til å bestemme konstantene. Vi vet for: d 1 = 0,5 cm (hulldiameter) d 2 = 9 cm (diameter av beholder) t h = 23,4 sek. (”halveringstiden”) h h =8 cm (vannstand ved halvfull) h 0 =16 cm (vannstand ved full)

26 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing Eksplisitt løsning av differensialligningen endelig ligning med begrenset gyldighetsområde Hulldiameter = 0,5 cm

27 SKOLELABORATORIET Nils Kr. Rossing ”Eksamen” Oppgave 6 16 cm 0,5 cm 5 cm ? ?