Funksjoner

Funksjonsbegrepet Hvordan skal vi introdusere funksjonsbegrepet i skolen? Noen som husker hvordan det ble introdusert for dere?

Grafisk fremstilling på veggen Eks. måle temperaturen utenfor klasserommet hver dag til samme tidspunkt Verditabell Grafisk fremstilling på veggen Fordelen med å gjøre det slik, er at verditabell og graf vil bygge seg opp sakte Elevene får god tid til å fordøye det som skjer Tegne opp eksempler på tavla (s. 148) Sammenhengen med verditabellen og den praktiske situasjonen, altså temperaturmåling, får tid til å synke inn.

I dette eksempelet kan temperaturen T betraktes som en funksjon av datoen d T(d) – leses ”T av d” Grafen kalles ”grafen til funksjonen” Verditabellen kalles ”verditabellen for funksjonen” Eks. T(3) = 4

Verbal definisjon av funksjonsbegrepet Hvis en størrelse bestemmer en annen entydig, så er den siste størrelsen en funksjon av den første Datoen d bestemmer temperaturen T entydig. Ergo er temperaturen en funksjon av datoen. Hvordan blir det omvendt? Kan ikke si at datoen er en funksjon av temperaturen. Kan nemlig godt hende at to datoer får samme temperatur. Ergo bestemmer ikke temperaturen dato entydig.

Typisk skoleaktig definisjon En funksjon er en ”regel” eller et spørsmål som knytter den avhengige variable (y) til den uavhengige variable (x). For hvert tall x får vi ett tall f(x) Eksempel fra temperaturmålinger: ”Mål temperaturen på et gitt klokkeslett” Vi kan skrive det slik: f(15) = 22,5

Hva er en funksjon? En funksjon er en sammenheng mellom to (eller flere) variable der vi ser på en av variablene som avhengig av den andre (de andre). Eksempel 1 Vi ser på prosentvis antall nyfødte Eliser som funksjon av årstallet.

Hva er en funksjon? –forts. Eksempel 2 Et kvadrat med sidekanter x har areal Areal = x2 Vi kan se på arealet som en funksjon av sidekanten x.

Hva er en funksjon? –forts. Eksempel 3 Hva er hovedstaden i Tyskland? Jepp, Berlin. Vi kan se på hovedsteder som en funksjon av land.

Dagligdags funksjonstale Dagligtale Hva er de forskjellige elementene sin funksjon? Eks. tunnel som maler bilen blå… Skriv disse som funksjonsuttrykk "Når x betyr en variabel størrelse så heter alle størrelser, som på en eller annen måte avhenger eller bestemmes av x, funksjoner av x.” Leonard Euler

Hva er en funksjon? –forts. Vi ser av det siste eksemplet at funksjoner ikke nødvendigvis har med tall å gjøre, og de trenger ikke ha en matematisk formel. Det viktige er AT VI TIL HVER ”INPUTVERDI” FÅR ÉN OG BARE ÉN ”OUTPUTVERDI”. Eksempel 1: ETT årstall (f.eks. 1973) -> ETT prosentvis antall fødte Eliser (ca 0,05% = ca 15stykk). Eksempel 2: EN bestemt størrelse på sidekanten (f.eks. x= 2 cm) -> ETT areal (Areal= 4 cm2) Eksempel 3: ETT bestemt land (f.eks. Filipinene) -> EN hovedstad (Manilla) 221 Eliser i fjor 29906 fødte jenter i 1973

Illustrasjoner av funksjoner 2006 3 Illustrasjoner av funksjoner Øst-Timor Funksjonen som en maskin Vi kan se på en funksjon som en maskin. Vi putter inn noe og får noe ut. Prosentvis antall Eliser som funksjon av årstall Areal=x2 Hovedstedersom funksjon av land Dili 0,78% 9

Illustrasjoner av funksjoner forts. Flytdiagram Sammenhengen mellom temperatur oppgitt i Celsius, c, og temperaturen gitt i Fahrenheit, f, er gitt ved Med flytdiagram kan vi skrive dette: 221 Eliser i fjor 29906 fødte jenter i 1973 - 32 : 9 ºF ºC

Definisjonsmengde og verdimengde En verdi fra definisjons- mengden Definisjonsmengden er alle verdier vi kan putte inn i en gitt funksjon. Verdimengden er alle mulige verdier vi kan få ut av en gitt funksjon. En verdi fra verdi- mengden

Definisjonsmengde og verdimengde forts. Eksempel 1 Alle mulige årstall som de har talt antall Eliser gir definisjonsmengden. (1880-2006) De prosenttallene de har fått for disse årene gir verdimengden. (ca.0.01 til 1,05 %)

Definisjonsmengde og verdimengde forts. Eksempel 2 Alle tall over eller lik 0 kan brukes som sidekanter i et kvadrat, så definisjonsmengden blir alle tall over 0. Vi kan ha kvadrater med alle mulige areal, derfor er verdimengden også alle tall over eller lik 0.

Definisjonsmengde og verdimengde - forts. Eksempel 3 Alle land har en hovedstad, så definisjonsmengden er alle land i verden. Verdimengden er alle hovedsteder i verden.

Oppgave To og to: Lag en funksjonsmaskin bestående av en papp-plate med to hull. Dere skal etterpå sitte på hver deres side av papp-platen. Den ene personen lager så en funksjon. Den andre personen skal forsøke å gjette hva denne er. Det gjør personen med å putte en lapp med en verdi på gjennom det ene hullet i platen. Personen med funksjonen skal så svare ved å gi den andre funksjonsverdien tilbake på en lapp gjennom det andre hullet. Dersom ikke inputverdien ligger i definisjonsmengden: Gi svaret error. PS Det er lov å gi hint om hva inputet må være om personen sliter...;) Bytt roller.

Funksjoners representasjonsformer Praktisk situasjon Graf Regneformel Verditabell Eksempel: Overgang fra verditabell til graf betyr at man må tegne grafen ved å plotte punkter

Forskjellige måter å fremstille funksjoner på - forts. Eksempel 1 Situasjon/Tekst: I det år 1973 var det bare 0,05% av jentene i Norge som kalt Elise. I dag er det oppimot 1%. Bla bla bla... Formel Her kan vi ikke lage noen formel. Graf Tabell År 1880 1973 2006 Prosent 1,00 0,05 0,78

Forskjellige måter å fremstille funksjoner på – forts. Eksempel 2 Situasjon/tekst: Arealet til et kvadrat er 4 cm2 når sidekantene er 2 cm, når sidene er 1 cm er arealet 1cm2. Osv. Sammenhengen mellom sidekanter og areal er at arealet er sidekant ganger sidekant. Formel f(x) = x2 for alle tall større eller lik 0. Graf Tabell x 1 2 3 4 f(x) 9 16

Forskjellige måter å fremstille funksjoner på – forts. Eksempel 3 Situasjon/tekst: Alle land har en hovedstad. I Honduras er f.eks. hovedstaden Tegucigalpa. Formel Her har vi ingen formel. Graf Vi har heller ingen graf. Tabell http://www.infoplease.com/ipa/A0855603.html

forskjellige presentasjonsformene (situasjon, formel, graf, tabell). Det er viktig å passe på at elevene arbeider med alle overganger mellom de forskjellige presentasjonsformene (situasjon, formel, graf, tabell). For å hjelpe oss som lærere kan vi sette opp en tabell og passe på at vi kommer innom alle rutene: Formel SF TF GF Graf SG TG FG Tabell ST GT FT Situasjon TS GS FS TIL FRA

Oppgave Lag en tabell som viser de 12 overgangsmulighetene i de fire kategoriene. Sett ord på hva de enkelte overgangene innebærer.

Gruppeoppgave Hver gruppe får ”et sted”. Dere skal vise antall mennesker på stedet deres som funksjon av tiden i løpet av ett døgn. Tegn grafen. Tiden skal gå fra klokken 00 på natten til klokken 24 Tegn grafen uten å ha med tallene langs andreaksen på papiret som skal henges opp på veggen. Til slutt skal dere forsøke å gjette hvilket sted de andre gruppene har illustrert folkestrøm til Eks.: Hos frisøren, i matbutikken, på skolen, hos legevakten, på en bar, en restaurant, på kino, på bussen,

Oppgave Tegn en graf som du mener omtrent viser din kroppshøyde H som funksjon av tiden t i løpet av livet ditt – H(t).

Regneformel Ofte har vi en regneformel som gir oss funksjonsverdien f(x) uttrykt ved variabelen x. I en familiepark er inngangsprisen 150 kroner for voksne og 100 kroner for barn. Finn total inngangspris P(x) for en familie med to voksne som funksjon av antall barn x som familien har Finn prisen P(x) hver må betale hvis x stykker spleiser på en gave til 1600 kroner. Skisser grafen til funksjonen P(x) P(x) = 300 + 100x P(x) = 1600/x

Billedmessige tolkninger av funksjoner Mange grafer kan tolkes billedmessig Eksempel er skiløypa og blomsterhøyder (se utdelt ark) Studer grafen som beskriver fottur i tid og avstand hjemmefra i km Diskuter problematikken ved at elever venner seg til å tolke funksjoner billedmessig.

Oppgave Gjør flaggoppgaven

Oppgave Lag en oppgave til elever på et gitt trinn som kan løses på en billedlig og en ”ikke-billedlig” måte. Eks. temperaturmålinger, blomsterhøyder

Oppgaver 5.1 m.f. side 64 i Algebra og Funksjonslære

Geogebra http://www.geogebra.org/cms/

Excel Lag en oppgave der alle representasjonsformene for en funksjon skal brukes. Lag en fasit til oppgaven. Gjør oppgaver side 172 i Grunnleggende matematikk i Excel

Kilder: Hole, A.(2006) Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv, Universitetsforlaget Selvik, B.K., Rinvold. R., Høines, M.J. (2007) Matematiske sammenhenger – Algebra og funkjsonslære, Caspar