Sannsynlighet og kombinatorikk A1A / A1B 29. April 2009

Sannsynlighetsbegrepet Kvalitativ sannsynlighet: “50/50 sjanse”, “99% sikker” Subjektiv sannsynlighet: f.eks., å vedde på hest.

Definisjon på sannsynlighet Et eksperiment med noen forskjellige utfall gjennomføres mange ganger. Sannsynligheten for at et bestemt utfall oppstår er: Når vi gjennomfører eksperimentet flere og flere ganger, i hvor stor andel av gjennomføringene forekommer det bestemte utfallet?

Statistisk sannsynlighet Dette kalles også frekvensfortolkning. Hvis vi prøver eksperimentet ofte nok, da får vi et godt anslag til sannsynligheten for hvert utfall. Eks.: Kast en terning 50, 100, 500 ganger osv.

Teoretisk sannsynlighet Dette kalles også kombinatorisk sannsynlighet. Laplaceprinsippet: Hvis alle utfallene i eksperimentet er like sannsynlige, da er sannsynligheten for hvert enkelt utfall lik 1 / (antall mulige utfall).

Sannsynlighetsfordeling En liste med alle mulige utfall og sannsynligheten til hvert enkelt utfall. Eksempel: Utfall Krone Mynt Sannsynlighet ½

Å anvende Laplaceprinsippet Det kan hende at vi er interessert i et resultat som svarer til mange utfall. Vi kaller et utfall gunstig dersom det fører til det ønskede resultatet/hendelse. Da er P(hendelse) = antall gunstige utfall antall mulige utfall.

Med Laplaceprinsippet har vi kokt ned spørsmålet i mange tilfeller til det å kunne telle de mulige og gunstige utfallene. Slik er vi ført til å betrakte kombinatorikk: “kunsten om å telle”.

Kombinatorikk Multiplikasjonsprinsippet: Når vi gjør et sammensatt valg, blir antall mulige kombinasjoner lik produktet av antall muligheter ved hvert delvalg. F.eks., når vi kaster to terninger er det 6∙6 = 36 mulige utfall.

Eksempel: Kinokø I hvor mange forskjellige rekkefølger kan Are, Bente, Christian og Desirée stå? I hvor mange køer står Are i første plass? I hvor mange køer står Are i fjerde plass? I hvor mange køer står Bente og Christian ved siden av hverandre?

Eksempel: Kodelås En kodelås har fire hjul, hvert med ti siffer på. (a) Hvor mange forskjellige koder kan vi lage? Hvor mange av kodene (b) inneholder kun partall? (c) har en 6er i andre posisjon? (d) inneholder ingen 4ere? (e) inneholder ingen siffer mer enn én gang?

Med eller uten tilbakelegging? Et menneske kan stå kun i én posisjon i en kø, og derfor avtar antall valg med ett i hvert trinn. Valget er uten tilbakelegging. Til gjengjeld, en kode på en kodelås kan innholde det samme sifferet flere ganger. Derfor avtar ikke antall valg. Valget er med tilbakelegging.

Uordnet utvalg Ved både kinokøen og kodelås var rekkefølge viktig; utvalget var ordnet. Men det er det ikke alltid. For eksempel: Fire venner vil spille tennis, men det er bare to racquetter. På hvor mange forskjellige måter kan to av dem velges ut som skal spille? Dette er et eksempel på uordnet utvalg uten tilbakelegging.

Noen formler Antall uordnet utvalg av k gjenstander fra n uten tilbakelegging:

Addisjonsprinsippet I en klasse er det 15 elever som spiller håndball og 13 som spiller fotball, og 7 som spiller både håndball og fotball. Hvor mange spiller håndball og/eller fotball? Det blir 15 + 13 – 7 = 21. Obs: I matematikken betyr “eller” som regel “og/eller”.

Generelt, for å telle to mengder A og B som kan ha noen elementer i felles: (antall elementer i A) + (antall elementer i B) − (antall elementer i A og B). Vi må “justere” slik at vi ikke teller elementene i snittet av A og B to ganger.

Addisjonsprinsippet Hvis A og B er mengder, da skriver vi A υ B = {alle elementer som hører til A, samt alle som hører til B} A ∩ B = {alle elementer som hører både til A og B} Da gjelder:

Tilbake til sannsynlighet La oss nå bruke det vi har lært om kombinatorikk for å løse problemer i sannsynlighet.