Ch 4 INTEGRASJON Integrasjon innebærer å finne alle funksjoner F som har f derivert. Disse funksjoner kalles antiderivert av f og formelen for de er det ubestemte integral av f 2. Det er nødvendig med kjente verdier for å finne en spesiell antiderivert.

Definisjon - antiderivert En funksjon F(x) er antiderivert av f(x) hvis F`(x) = f(x) for alle x i definisjonsområdet. Mengden av alle antideriverte f(x) er det ubestemte integral av f(x) med hensyn på x og skrives f(x)dx Når antiderivert av f(x) som er F(x) er funnet, vil alle antideriverte være like bortsett fra en konstant f(x)dx = F(x) + C hvor C er en vilkårlig konstant. Dette gir den generelle løsningen av integralet

Integrasjonsregler

4.2 Integrasjonsregler

4.2 Substitusjon Hvis u er en deriverbar funksjon av x og n er et tall forskjellig fra –1, sier kjerneregelen at dvs at den derivert er lik den deriverte av den ytre funksjonen u dvs eksponenten, ganger den deriverte av den indre funksjonen dvs av u Dette sier oss at : hvor n er forskjellig fra -1 eller Hvor n er forskjellig fra -1

4.2 Substitusjon2 Eksempel 4 hvor u=1+y2 deriverer u for å finne ut hva er du du/dy=2y eller du=2ydy Substitusjon Sett u=g(x) og dermed blir du=g`(x)dx 1. 2. 3. Integrer 4. Erstatt u med g(x)

4.4 Bestemte integral Har en kurve til en funksjon y=f(x) på et lukket intervall [a,b] Intervallet deles i n underintervaller fra x lik a= x0,, x1, x2,…xn-1, xn=b På hvert intervall reises et rektangel fra x-aksen som i pkt ck berører kurven i f(ck) Produktet f(ck)* x gir arealet av underintervall nr k Danner summen av disse produktene, kalt Riemann sum for f(x) over intervallet fra a til b. Når inndelingen blir finere og finere dvs  x går mot null vil summen nærme seg arealet mellom kurven og x-aksen dvs det bestemte integral av f fra a til b

4.4 Bestemte integral Teorem 1. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Dvs hvis f(x) er kontinuerlig på [a,b], da har den et bestemt integral fra [a,b] som er arealet mellom kurven y=f(x) og x-aksen definert ved

4.4 Arealet under en kurve Definisjon: Hvis y=f(x) er positiv over et lukket intervall [a,b], da er arealet under kurven y=f(x) fra a til b integralet av f fra a til b: f(ck) a Δx b

4.4 Gjennomsnittsverdi f(x) er kontinuerlig på [a,b]. Deler [a,b] i n-intervaller. Hvert delintervall har lengden  x=(b-a)/n. Regner ut f(x) i x=ck i hvert underintervall. Middelverdien eller gjennomsnittsverdien blir da Hvis vi lar antall delintervall gå mot uendelig, blir middelverdien

4.4 Regler for bestemt integral

4.5 Middelverditeoremet teoremet sier at middelverdien av en funksjon er en funksjonsverdi minst engang i intervallet til funksjonen Arealet mellom kurven og x-aksen. Et rektangel med høyden f(b) blir for stort (f(b)*(b-a)) Et rektangel med høyden f(a) blir for lite (f(a)*(b-a)) Mellom disse rektanglene må det være et rektangel som gir riktig areal, nemlig et med høyde f(c). Teoremet sier: Hvis f(x) er en kontinuerlig funksjon på [a,b]. Da er det et punkt c i [a,b] hvor

Eksempel, middelverdisetningen Hva er middelverdien til f(x) = 4-x på intervallet fra 0 til 3? 4 3/2 3 x har verdien: 4-x=5/2 x=4-5/2=(8-5)/2 = 3/2

4.5 Fundamentalteoremet Hvis f(t) er integrerbar og kontinuerlig fra a til b, så vil integralet fra et tall a til et tall x definere en funksjon F(x) som er Hvis f>0 og x>a definerer F(x) arealet mellom grafen til f(t) fra a til x. F blir en ny normal funksjon som er deriverbar og hvis deriverte er f dvs Teoremet sier at enhver kontinuerlig funksjon f er en derivert av en annen funksjon

Eksempel 4 Finn den deriverte dvs dy/dx av Setter u=x2 deriverer for å finne hva u-derivert er:du=2xdx for kjerneregelen sier dy/dx= dy/du *du/dx Altså når vi deriverer en slik funksjon setter inn øvre grenseverdi i funksjonen og ganger med den deriverte av denne grenseverdien 2. trekker fra 3. setter inn nedre grenseverdi i funksjonen og ganger med den deriverte av grenseverdien (nedre grenseverdi). ( i eksemplet er den deriverte av 1 lik null)

4.5 Fundamentalteorem 2 Hvis f er kontinuerlig på [a,b] og F er en antiderivert av f på [a,b] så er

4.6 Substitusjon i bestemt integral Når det er nødvendig med substitusjon i et bestem integral kan det gjøres på to måter Regn ut det tilsvarende ubestemte integral og løs så det bestemte integral ut fra svaret til det ubestemte og sett inn grensene 2. Skift grenser til hvilke verdier u vil få for grensene hvor u=g(x) og deriverte du=g`(x)dx Når x=a blir u=g(a) og x=b blir u=g(b)

4.6 eksempel 1 hvor u=x3+1 du=3x2dx og x=-1 gir u=0 x=1 gir u=2

4.6 Arealet mellom kurver Arealet mellom to kurver y1=f(x) og y2=g(x) fra x lik a til x lik b Deler innintervallet i n-underintervaller og tegner opp n rektangler. Arealet av rektangel nummer k blir  Ak= høyde x bredde = [f(ck)-g(ck)]  x Når antall rektangler går mot uendelig eller  x mot 0 får vi

4.6 Arealet mellom to kurver 2 Tegn grafen til de to kurvene. Se hvem som er øverst (f) og hvem som er nederst (g) Finn grensene dvs ofte hvor de skjærer hverandre Finn f(x)-g(x) og forenkle hvis mulig Integrer mellom grensene

4.7 Trapesregelen Del intervallet som skal integreres inn i passende intervaller. [a,b] deles i n-intervaller, med lengden h=(b-a)/n Arealet mellom kurven og x-aksen tilnærmes et trapes Arealet av et trapes er [(y0+y1)/2]*h som er høyden mellom de parallelle sidene h y0 y1 Arealet av et trapes blir: [y0+y1]*1/2*h hvor h=(b-a)/n Arealet blir: T=1/2(y0+y1)h+ 1/2(y1+y2)h+ …… 1/2(yn-2+yn-1)h +1/2(yn-1+yn)h T= h(1/2y0+y1+y2+y3+ ……..+yn-2+yn-1+1/2yn) T=h/2(y0+2y1+2y2+2y3+ ……..+2yn-2+2yn-1+yn) hvor y0=f(a), y1=f(x1) og yn=f(b)

4.7 Simpsons regel Bedre tilnærming enn trapeser er å tilnærme kurven vår til parabler Del inn intervallet [a,b] inn i et par talls like intervaller med lengde h. h=(b-a)/n (altså n et partall) Det bestemte integral av vår funksjon fra x=a til x=b blir da: S=h/3(y0+ 4y1+ 2y2+ 4y3+ 2y4+….+ 2yn-2+ 4yn-1+ yn) eller S=(b-a)/3n(y0+ 4y1+ 2y2+ 4y3+ 2y4+….+ 2yn-2+ 4yn-1+ yn) hvor n er partall Formel i tabell side 24 S=(b-a)/6n(y0+ 4y1+ 2y2+ 4y3+ 2y4+….+ 2yn-2+ 4yn-1+ yn) hvor hvor intervallet b-a deles i 2n like store deler