Valuing Stock Options:The Black-Scholes-Merton Model Chapter 13

Black-Scholes modellen Vi skal nå se på ”arbeidshesten” i moderne finansiell styring, nemlig Black – Scholes modellen Presentert i artikkel i 1973 Myron Scholes fikk Nobelprisen i 1997 for å ha utviklet modellen (Fischer Black døde i 1995) Det er meget komplisert å utlede modellen, men modellen er relativt enkel å bruke I kapitlet skal vi prise aksjeopsjoner med Black-Scholes, men først skal vi se utdype drøftingen av volatilitet

Myron S Scholes

Black-Scholes Random Walk forutsetning Vi må gjøre noen grunnleggende forutsetninger om hvordan aksjekurser endres over tid Vi ser på en aksje med kurs S Aksjekursene følger en lognormal fordeling Over en kort tidsperiode Dt antar vi at avkastningen på aksjen (DS/S) er normalfordelt med gjennomsnitt mDt og standardavvik m er forventetr avkastning og s er standardavvik

Lognormalfordelingen Disse forutsetningene gir at ln ST er normalfordelt med gjennomsnitt: og standardavvik: En variabel som følger en lognormal fordeling har den egenskap at logaritmen er normalfordelt

Lognormalfordelingen hvor m,v] er en normalfordeling med gjennomsnitt m og varians v

Lognormalfordelingen

Eksempel 13.1

Eksempel 13.1, forts. Sannsynligheten for at en normalfordelt variabel har en verdi innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnitt er 95 %. Med 95 % konfidens har vi at:

Forventet avkastning Forventet aksjekurs er S0emT Forventet avkastning med kontinuerlig renteregning er m – s2/2 Aritmetisk avkastning over korte tidsperioder Dt er m Gjennomsnittlig geometrisk avkastning er m – s2/2

Eksempel 13.2 En aksje har forventet avkastning på 17 % pr. år og standardavvik 20 % pr. år. Sannsynlighetsfordelingen for avkastningen over et år er normalfordelt med gjennomsnittlig verdi 0.17 – 0.22/2 = 0.15 eller 15 % og standardavvik 20 %. Siden sannsynligheten for at en normalfordelt variabel ligger innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnittlig verdi er 95 %, kan vi med 95 % konfidens si at avkastningen vil ligge mellom – 24.2 % og 54.2 %

Business snapshot 13.1 Aksjefond og andre presenterer ofte misvisende opplysninger om oppnådd avkastning. Anta at avkastningen de siste 5 år har vært 15 %, 20 %, 30 %, - 20 %, 25 % Aritmetisk gjennomsnitt er (15 + 20 + 30 – 20 + 25)/5 =14 % En investor som har plassert penger i 5 år har ikke oppnådd slik avkastning 100 kr plassert 5 år ville vokst til 100 ∙1.15 ∙ 1.2 ∙ 1.3 ∙ 0.8 ∙1.25 = 179.40. Dette er en årlig avkastning på 1.7940.2 – 1 = 12.4%

Volatilitet (standardavvik) Volatilitet er standardavviket til kontinuerlig beregnet avkastning i løpet av et år Standardavviket over tid Dt er Hvis en aksjekurs er $50 og volatiliteten er 25% årlig, hva er standardavviket for daglige prisendringer?

Estimering av volatilitet fra historiske data (page 295-297) 1. Registrer aksjekurser S0, S1, . . . , Sn med intervall på t år 2. Vi definerer kontinuerlig avkastning som 3. Beregn standardavvik, s , til ui ene 4. Estimatet for historisk volatilitet er

Standardavvik

Eksempel 13.3

Vi kan også bruke STDAV i Excel

Forutsetninger i Black-Scholes Aksjekurser følger en lognormal fordeling Ingen transaksjonskostnader eller skatter. Aksjene er delbare Ingen dividende i løpet av opsjonens levetid Ingen risikofrie arbitrasjemuligheter Kontinuerlig omsetning av verdipapirer Investorer kan låne eller plassere til samme risikofrie rente Risikofri rente r er konstant

Resonnementer i Black-Scholes Opsjonspris og aksjekurs avhenger av den samme grunnleggende risikokilde Vi kan konstruere en portefølje bestående av aksjen og opsjonen som eliminerer risikoen Denne porteføljen er risikofri og gir risikofri avkastning

Black-Scholes uttrykkene (See page 299)

N(x) funksjonen N(x) er den standardiserte normalfordelingen og angir sannsynligheten for at en normalfordelt variabel med forventet verdi 0 og standardavvik 1 har en verdi mindre enn x Vi bruker tabell (side 586 og 587 i Hull) eller Excel sin NORMSFORDELING

Egenskaper ved Black-Scholes Hvis S0 blir veldig høy c går mot S0 – Ke-rT og p går mot 0 Hvis S0 blir veldig liten går c mot 0 og p mot Ke-rT – S0

Eksempel Black-Scholes Anta at aksjekurs er 42, innløsningskurs 40, risikofri rente 10 % årlig, standardavvik 20 % årlig og det er 6 mnd til bortfall. Hva er henholdsvis en kjøpsopsjon og en salgsopsjon på aksjen verdt?

Eksempel Black-Scholes

Eksempel Black-Scholes

http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.

Risikonøytral verdsetting Variabelen m inngår ikke i Black-Scholes ligningen Ligningen påvirkes ikke av noen variabler som er avhengig av holdning til risiko Dette er konsistent med risikonøytral verdsetting

Risikonøytral verdsetting Anta at forventet avkastning fra et papir er lik risikofri rente Beregn forventet pay off fra derivatet Finn nåverdi diskontert med risikofri rente

Risikofri verdsetting av en terminkontrakt Payoff er ST – K Forventet pay off i en risikonøytral verden er S0erT – K Nåverdi av forventet pay off er f = e-rT[S0erT – K]= S0 – Ke-rT

Implisitt volatilitet Implisitt volatilitet er den volatilitet som gir at verdi kalkulert med Black-Scholes tilsvarer markedsverdien Vi kan finne implisitt volatilitet ved å “backe” ut av Black-Scholes siden alle andre inputs en standardavvik er kjent Målsøkeren i Excel kan brukes

Eksempel Black-Scholes Hva måtte standardavviket være for at verdien på en kjøpsopsjon skulle bli 5?

Dividender Vi finner verdi på europeiske opsjoner hvor aksjen betaler dividende ved å trekke fra nåverdien av dividenden fra aksjekursen, og legge denne verdien inn i Black-Scholes Dagen en aksje går “ex-dividend” faller kursen med utbetalt dividende Bare dividender som betales i løpet av opsjonens levetid skal med

Eksempel Black-Scholes med dividende Anta at aksjekurs er 40, innløsningskurs 40, risikofri rente 9 % årlig, standardavvik 30 % årlig og det er 6 mnd til bortfall. Det betales dividende på 0.5 om 2 mnd og om 5 mnd Hva er en kjøpsopsjon og en salgsopsjonpå aksjen verdt? Nåverdi av dividende:

Eksempel Black-Scholes

American Calls En amerikansk call på en aksje som ikke betaler dividende bør aldri utøves tidlig En amerikansk call på en aksje som betaler dividende kan eventuelt utøves umiddelbart forut for ex-dividend date