Fibonaccifølgen og gylne forhold istein Gjøvik

Leonardo Pisano Født i Pisa, ca. 1125 Kjent under mange navn, bl.a. Fibonacci, som betyr sønn av Bonaccio - familienavnet En av de første som benyttet hindu-arabiske tall i Europa Hans verk Liber Abaci (”Utregningsboken”) tok for seg algoritmer for regning med disse nye tallene Mange skiftet fra romertall til ”våre” tall etter overbevisning grunnet Fibonacci Fibonacci hadde også et annet kallenavn som kunne bety både ”en som har reist mye” og ”ikke spesielt nyttig”. Men man er ikke helt sikker på hva som passet best på Fibonacci...

Fibonaccis kaniner Kaniner blir kjønnsmodne etter en måned Hvert kjønnsmodent par får et nytt par kaniner hver måned Vi starter med ett par, men kaniner lever evig Hvordan utvikler dette seg?

Fibonaccis kaniner Vi har vel en mistanke om hvordan det kommer til å gå med disse kaninene...

Matematisk modell Vi gjør først undersøkelser Stiller så opp en hypotese Vi gjør flere undersøkelser for å se om hypotesen ser ut til å holde Og prøver til slutt å gi en matematisk forklaring - Her kan delelighet til tall med tverrsum som kan deles på 3 brukes - Eller Fibonacci

1 1 2 3 5 8 13 21

Fibonaccitallene 1 1 2 3 5 8 Vi ser at vi kommer fram til et tall i Fibonaccifølgen ved å legge sammen de to foregående 13 21

Generell formel Vi finner som nevnt et tall ved å legge sammen de to forrige:

Formel for Fibonacci Det fins en formel for å finne et Fibonacci-tall langt ute i rekken:

Litt mer oversiktlig?

Blomster og bier Bier har spesielle familietrær. Det er ikke slik som hos oss, der vi har 2 foreldre, 4 besteforeldre, 8 oldeforeldre, 16 tippoldeforeldre osv. Det er fordi en Drone (hannbie) har bare en mor, mens en Arbeider (hunnbie) har både en mor og en far. Hvis vi tegner slektstreet til en drone, blir det slik: Dronen har 1 mor, 2 besteforeldre, 3 oldeforeldre, 5 tippoldeforeldre, osv. Lag en figur over denne utviklingen, og se på det totale antall bier i kolonien, når du starter med en hannbie.

13 8 5 3 2 1 1

Undersøkelse med kalkulator Forholdet mellom to etterfølgende ledd Fibonaccitall Tall nummer

Lucasfølgen Det var Lucas som ga Fibonaccifølgen det navnet Vi kan jo begynne med et annet tall enn 1 og 1. La oss si vi begynner med 1 og 3. Følgen fortsetter da slik: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322

Et hjertesukk fra Coxeter It should be frankly admitted that in some plants the numbers do not belong to the sequence of Fibonacci numbers but to the sequence of Lucas numbers or even to the still more anomalous sequences 3,1,4,5,9,... or 5,2,7,9,16,... Thus we must face the fact that phyllotaxis is really not a universal law but only a fascinatingly prevalent tendency. Phyllotaxis: Læren om hvordan kronbladene på planter fordeler seg

Vi kan også sette på kvadratene ved å begynne ytterst

3 5 1 2 1 8 Disse rektanglene blir mer og mer likt gylne rektangler. 13

3 5 1 2 1 8 13

Merk at dette ikke ER et helt nøyaktig gyllent rektangel Merk at dette ikke ER et helt nøyaktig gyllent rektangel. Men det blir mer og mer nøyaktig jo flere kvadrater vi putter på.

Dette lysbildet inneholder kun rektanglet

105/65=1.61

Dette lysbildet inneholder kun rektanglet

A word from our sponsor... Hvilke andre gjenstander kan tenkes å ha gylne forhold? spillkort? A4-ark? DVD-covere Tegneserier Konfektesker Sjokoladeplater?

Spiraler Vi finner spiraler i naturen og de dukker opp naturlig når vi arbeider med Fibonaccitallene også.

På http://mathworld. wolfram. com/GoldenRectangle På http://mathworld.wolfram.com/GoldenRectangle.html kan vi se at spiralen ikke tangerer krysningslinjene mellom kvadratene! 89 og 55 55 og 34 Vi finner nemlig det gylne forholdstall i forholdet mellom diagonelene og!

Ved å overdrive sidekanten legger vi faktisk merke til at det IKKE er helt perfekt uti kantene!

La oss regne ut forholdet mellom diagonalene... 55 På http://mathworld.wolfram.com/GoldenRectangle.html kan vi se at spiralen ikke tangerer krysningslinjene mellom kvadratene! La oss regne ut forholdet mellom diagonalene... Vi vet lengden av sidekantene (Fibonaccitall) og kan bruke Pytagoras til å finne diagonalene 55 34 Klikk her for generelt bevis

På http://mathworld. wolfram. com/GoldenRectangle På http://mathworld.wolfram.com/GoldenRectangle.html kan vi se at spiralen ikke tangerer krysningslinjene mellom kvadratene! 89 og 55 55 og 34 Vi finner nemlig det gylne forholdstall i forholdet mellom diagonelene og! Oppgave: Konstruer denne spiralen KUN ved å bruke passer og linjal (uten å bruke målestokken på linjalen)

Fibonaccispiral

Spiraler kan også brukes i estetisk hensikt Bilde fra filmen A nightmare before Christmas av Tim Burton Merk også at figurene på bildet er pent plassert langs gylne linjer Link til bilde: http://www.imdb.com/gallery/ss/0107688/Ss/0107688/2?path=gallery&path_key=0107688

Vi kan konstruere logaritmiske spiraler ved å dele inn en sirkel i like store vinkler, for så å trekke normaler til den neste strålen

Spiraler på kalkulatoren Arkimedes-spiral Logaritmisk spiral Logaritmisk har likningen r=2,5*e^(1/720)t Arkimedesk har likningen r=2 (t/180)

Noen er litt mer gyllen enn andre…

Det gylne snitt Hvis et linjestykke AC er delt i et punkt B slik at sies B å dele AC i det gylne snitt Husk at AB+BC er det samme som AC A B C

Eller – med litt enklere notasjon: Det gylne snitt Eller – med litt enklere notasjon: A B C x y

Løsning av andregradslikninga Dersom vi setter lengden på linjestykket b lik 1 inn i likningen over, får vi følgende likning: Vi multipliserer på begge sider med x, og får: Løser vi denne likningen og ser bort den negative løsningen, får vi:

Det gylne snitt

Det gylne snitt A B C x=1,62 y=1

Hvis hypotenusen i en likebeint trekant delt på grunnlinjen blir det gylne forholdstall, kaller vi det en gyllen trekant a På et innsamlet materiale med 281 kongler var det bare 5 som ikke tilhørte Fibonacci-tallene. b

En gyllen trekant: Hypotenus delt på grunnlinje er lik det gylne forhold

Konstruksjon av det gylne snitt C Rask versjon D A E B AB = 1

Konstruksjon av det gylne snitt C Versjon med konstruksjon av trekanten. Egentlig burde vi her satt AB= hva som helst og AC=(1/2)AB. Men vi kan uten tap av generalitet anta AB=2 D AC = 1 A E B AB = 2

Ønsker å finne ut forholdet AB/BE: Regner først ut BC Denne regningen kan utvides til også å gjelde dersom AB ikke er 1. Vi må bare passe på at AC uansett er halvparten av AB. Ønsker å finne ut forholdet AB/BE:

Konstruer et kvadrat ABCD Finn midtpunktet M på en av sidene Slå en sirkelbue om M med radius MB, og lag rektanglet som vist på figuren. Vis at AEFD er et gyllent rektangel, dvs. at AE/AD=1,62 Rektanglet BEFC er også et gyllent rektangel. (Vis dette!) Dette viser at et gyllent rektangel kan deles i et kvadrat og et nytt rektangel som også er gyllent.  For å vise at AEFD er gyllent; Pytagoras gir: AD2 + DM2 = AM2. Sett AD til å være 2. AM blir da roten av AD2+(1/2)AD2 som er roten av 4+1. Altså roten av 5. Dette blir den samme avstanden som fra M til F. M var jo utgangspunktet for sirkelen vi tegnet. Dermed er forholdet mellom sidene: DF/AD=(DM+MF)/AD = 1+sqrt(5) / 2. A B E

Å finne det gylne snitt fra et gyllent rektangel Lett! Bruk passeren!

Det gylne snitt

Vi har også andre måter å beregne det gylne forholdstall på, ved hjelp av kjedebrøk og radikander

Lenker Leonardo Fibonacci http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html Who was Fibonacci http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html Fibonacci num,bers and the golden ratio http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Mathworld http://mathworld.wolfram.com/ Oppgaver om spiraler, gylne snitt m.m. http://www.ebok.no/%5Cwww.ebok.no%5Cpdf%5Cmatematikk%5Coppg%5Ckapittel_11.pdf http://www.ebok.no/%5Cwww.ebok.no%5Cpdf%5Cmatematikk%5CKapittel11.pdf LærerIKT http://www.larerikt.no/oppgavesvar/pdf/99-0323M05.pdf Det gylne snitt fra Tangenten http://www.caspar.no/Tangenten/2004/det_gylne_snitt_komplett204.pdf