Pendeltegning En utdøende kunstart? Av Nils Kr. Rossing Vitensenteret/Skolelaboratoriet ved NTNU

Frihetens dilemma Som barn har man tid, man har lyst, men ikke råd til å gjør det man vil Som voksen har man lyst og ofte god råd, men ikke tid til å gjøre det man vil Som pensjonist har man tid og råd, men har ikke lenger lyst Så derfor …

… det var en gang en liten gutt … … men la oss begynne med begynnelsen

Astronomen som ”observerte” jorda fra månen James Dean professor i matematikk og naturfilosofi ved universitetet i Burlington (USA)

Jordens bevegelse sett fra månen Jorda Månen

Månens bevegelse sett fra jorda James Dean funderte på hvordan han skulle illustrere denne bevegelsen. I 1815 publiserte han en artikkel med følgende illustrerende eksperiment:

James Dean’s illustrerende pendelforsøk

Fysikeren som skulle stemme gafler Jules-Antoines Lissajous eksperiment I årene 1857-58 utførte den franske matematikker og fysiker Jules-Antoine Lissajous et grundig matematisk og eksperimentelt arbeide med å utforske sammensatte svingninger av den typen som vi nå har studert. I 1857 leverte han en artikkel på over 80 sider, som diskuterte både de eksperimentelle og teoretiske sidene ved disse svigningene. Lissajous eksperiment (1857-58) for demonstrasjon av sammensatte svingninger. Tegninger av den typen som Lissajous fikk på skjermen kalles av denne grunn Lissajous-figurer.

0 ˚ 45 ˚ 90 ˚ 135 ˚ 180 ˚ Lissajousfigurer 1:1 1:2 Venstre kolonne viser Lissajous-figurer for svinger hvor de innbyrdes svingefrekvensene har heltalls-forhold: 1:1, 1:2, 1:3, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 og 5:6 for fase-forskjellene: 0˚, 45˚, 90˚, 135˚ og 180˚. 1:3 2:3 3:4 3:5 4:5 5:6

Lissajous eksperiment utført med svingende fjærer

Airy’s oppdagelse og den svingende akasie-greina

Den svingende akasiegreina En vårdag i mars i 1870 gikk engelskmannen Hubert Airy rundt i hagen sin i utkanten av London og nøt det fine vårværet. Gartneren hadde forskriftsmessig vært ute å beskåret busker og trær i hagen og etterlatt seg hvite snittflater på greiene. Han lot i et øyeblikk av distraksjon, fingeren gli over en av disse stakkars greinene som straks satte seg i bevegelse. Herr Airy var en mann som lett lot seg fascinere, for han ble stående å betrakte bevegelsene til kvisten som var lett å se på grunn av den hvite snittflaten. Først beveget den seg i en rettlinjet bane som stadig buet mer og mer ut til bevegelsen dannet en ellipse. Ellipsen ble så etterhvert til en sirkel som så i neste omgang igjen ble ellipseformet, denne gangen med en retning omtrent normalt på den første. Ellipsen ble til en rettlinjet bevegelse før den på nytt utvidet seg til en ellipse osv. Etterhvert ble svingningene dempet og kvisten falt til ro. Hubert oppdaget også at dersom han satte igang bevegelsen i to bestemte retninger, så forble bevegelsen uforandret og rettlinjet gjennom hele forløpet. Dersom han avvek det minste fra denne retningen, endret bevegelsen seg og ble, etter kort tid, en ellipse. Han funderer mye over årsakene til denne underlige og regelmessige bevegelsen. Det er først når han legger saken fram for sin gamle far at de sammen finner svaret. Faren antyder at bevegelsen kan være satt sammen av to forskjellige bevegelser med litt forskjellig frekvens. Han antyder også at årsaken til at frekvensene er noe forskjellige, kan skyldes kvistens form eller ovale tverrsnitt. Aksie Lissajous-figurer tegnet med en hasselgrein

Om å gjenskape Airy’s eksperiment

Wheatstone’s svingende staver Sir Charles Wheatstone (1802 - 1875) var en engelsk fysiker og oppfinner. Han var ansatt som professor i eksperimentalfysikk ved Kings College i London . Han gjorde også en rekke eksperimenter med mekaniske svingninger, knyttet til bl.a. musikkinstrumenter. Innen dette feltet utforsket han også egenskaper knyttet til svingende staver . Han fikk laget staver av metall som han spente fast i en treplate. Stavene hadde et rektangulært tverrsnitt som vist på lysarket. Wheatstones staver var rektangulære. Staven til venstre på figuren til høyre vil bli stivere for svingninger i retning A enn i retning B. En stivere stav vil svinge raskere enn en mer bøyelig, dermed vil svingefrekvensen være forskjellig i de to retningene A og B. Enden av staven vil da beskrive en beveg-else gitt av stavens dimensjoner i A- og B-retning. Ulike svingefigurer er antydet på . For staven til høyre på vil svingefrekvensen være lik i begge retninger og stavens endepunkt vil beskrive en ellipse eller en sirkel når staven settes i svingninger. Wheatstone festet blanke kuler eller speil på stavene for at det skulle være lettere å se svingebevegelsene.

Huberts Airy’s demonstrasjon

Hubert Airy’s pendeltegninger Eksempler på Airy’s pendeltegninger som er tegnet på en sotet glassplate.

Pendeltegning og taumatter

Pendeltegning fy = 5 fx = 3 y x I also have for several years worked with pendulum drawing. By suspending a pendulum from two points, and adjust the point of connection, it is possible to make very handsome drawings like this. The frequency of the oscillation is determined by the length of the pendulum. The longer, the lower freq. The oscillation frequency in the x-direction is determined by the total length of the pendulum, the oscillation frequency in the y-direction is however only determined by the length from the connection point. The osc. freq. in the y-direction will therefore be higher than the frequency in the x-direction. As the amplitude of the pendulum will decease with pattern will be filled. A ideal pendulum will oscillate for ever will, for example generate a pattern like this, a Lissiajous pattern. A pattern which is easy to generate mathematically. x

Pendeltegning og taumatter fy = 3 fx = 2 fy = 5 fx = 4 It is now quite easy to see the similarity between the synthesized pendulum drawing and the rectangular rope mat. We have also found the mathematical representation of this type of mats.

Når to svingninger settes sammen til en. By using sinus and cosine functions we can make two periodic functions vs. time like this. Letting the y-function control the movement in the y-direction, and the x-function control the movement in the x-direction, we got the shown Lissajous curve. Counting the bends along the x- and y-edge we find that the x-function makes 4 periods while the y-function makes 5 periods. fx = 4 t1 fy = 5

Dobbel topunkts pendel

Dobbel topunkts pendel

Oppheng av pennen

Eksempler på tegninger

Eksempler på tegninger

Oppheng av pennen(e)

Eksempler på tegninger

Dobbel elliptisk pendel Norges ”Grand old man” innen pendeltegning

Dobbel eliptisk pendel

Hans Stendahl (1896 – 1986) ”Norgesmester” i pendeltegning Hans Stendahl ble født i Namsos i 1896 og fattet tidlig interesse for pendeltegning. Alt som 10-åring kom han over en artikkel i et ukeblad og ble straks fascinert av temaet. Artikkelen viste bilder av en pendeltegner samt ga en beskrivelse av denne. Videre var avbildet en rekke tegninger som trollbandt 10-åringen. I 15 års alderen forsøkte han å lage sin egen pendeltegner, men resultatet ble så som så og pendeltegning ble lagt bort for en periode. Etter at han i en alder av 30 hadde fått seg fast stilling som bokholder i Namsos fikk han en snekker til å lage en ny pendeltegner for seg som han monterte på hybelen sin. I begynnelsen hadde han problemer med at pennen slapp papiret når tegningen ble større enn 6 - 8 cm. Senere rafinerte han tegneren slik at han ble i stand til å lage tegninger med en størrelse opp til 30 x 50cm. Straks utslagene på pendelsvigningene ble større, økte kravene til nøyaktighet og presisjon. Derfor ble utstyret stadig forbedret. Selv om apperturen var relativt enkel å lage, var det langt vanskeligere å perfeksjonere selve tegnemetoden. Dette brukte han mye tid på og det var først som pensjonist at han kunne si seg fornøyd med tegningene sine. Han oppdaget etterhvert at en pendellengde på ca. 2m ga gode resultater. Pendelen ble skrudd fast på mørkeloftet. For å få pendelen ned i arbeidsrommet måtte han sage et lite hull i taket. I enden av pendelen festet han så tegnebordet, bygd opp rundt et kasse-skjellett. Ved siden av pendelen og tegnebordet var det nød-vendig med en spesiallaget penneholder. Han oppdaget at det var særdeles viktig at pennen hvilte på tegnearket med samme trykk og i samme vinkel uansett hvordan pendelen svingte. Løsningen ble et stativ med en vektstang av tre. Vektstangen ble festet til sitt balansepunkt på samme måte som en vippehuske. I den ene enden laget han en penneholder, i den andre var det mulig å feste små lodd for å justere trykket på pennesplitten. De tidligste pennene laget han av glass som var trukket ut i en spiss over en gassflamme. Senere benyttet han pennesplitter med små blekkammer på baksiden. Det aller meste av utstyret laget han selv. Han brukte også mye tid på å oppsøke biblioteker og fagfolk for å perfeksjonere sine kunnskaper om faget. I sin søken etter innsikt var han innom både matematikk, fysikk og kunst. I en alder av 84 år kontaktet han kunsteksperter for å få vurdert resulatet av sitt arbeid. Mange ble imponert og i mai/juni i 1980 ble det ryddet plass til en utstilling på Høvikodden. Han hadde da brukt mye tid gjennom vinteren og ut over våren for å fremskaffe gode tegninger som skulle brukes under utstillingen. Også selve pendeltegneren var med til Høvikodden så de som besøkte utstillingen, fikk anledning til å se hvordan tegningene ble til. Han fikk også for første gang, solgt noen av tegningene sine til en pris som sto i forhold til arbeidsinnsatsen. Tidligere hadde han bare omsatt tegninger til en relativt beskjeden pris.

Linjespill av Hans Stendal

Moaré mønstere av Hans Stendahl

Benham’s elliptisk tvillingpendel

Simulerte utgaver av tvillingpendel

Spirografen Bare et leketøy for barn?

Spirograf Probably this is a known pattern for some of you who have played with a Spirograph. A common Spirograph consist of a toothed wheel which can be rolled along the inner rim of a circular hole, also equiped with teeth. By placing a pen in one of the holes of the wheel and role it along the rim, the shown pattern may be the result. It is not difficult to see that the drawn curve is the result of two rotating vectors with different lengths. One is “attached” to the center of the hole (yellow), the other to the center of the wheel (red), and the pen is placed at the tip of the second vector.

Ornamental dreing

Geometric chuck

Eksempler på ornamental dreing Henry Carey Baird, E. J. Woolsey, Specimens of Fancy Turning Executed... Illustrated by Thirty exquisite Photogra, 1869

Norges bank Guilloche maskinen

Guilloche mønster på penger

Guilloche mønster på penger

Taurosetter

Spirograf Probably this is a known pattern for some of you who have played with a Spirograph. A common Spirograph consist of a toothed wheel which can be rolled along the inner rim of a circular hole, also equiped with teeth. By placing a pen in one of the holes of the wheel and role it along the rim, the shown pattern may be the result. It is not difficult to see that the drawn curve is the result of two rotating vectors with different lengths. One is “attached” to the center of the hole (yellow), the other to the center of the wheel (red), and the pen is placed at the tip of the second vector.

Tyrkerrosetter (eksempler) So far we have found the equation for the rectangular mats. Now we will take a closer look at the Turk’s Head rosette. This type of rosettes have rotary symmetry as all rosettes. Turk’s Head rosettes may be varied in many ways. This variant have 6 bights along the rim, and the pure pattern is like this. This second one is a combination of two Turk’s Head rosettes. One inner with five bights and one outer with 23 bights. Lets take a closer look at this pattern.

Hva om vi benyttet tre roterende vektorer? La oss nå tenke oss at vi kobler tre roterende vektorer eller armer etter hverandre og lar dem rotere i forskjellig hastighet og ha forskjellig lengde. Finner vi de riktig verdiene kan vi få et mønster som dette. Nils Kr. Rossing

Kringlerosett (eksempler) 3 4 5 Kringlerosett (eksempler) When we comes to the Twisted rosette the mathematical representation is not obvious. This picture shows five Twisted rosettes. It is quite easy to see that the first four have respectively 3, 4, 5 and 6 twists each. The fifth is a variant of the Twisted rosette with overlap and a loop transfer of two. 6 5

Speil harmonograph

Speil harmonograf

Eksperiment med svingende membraner

Svingende membraner

Oppsummering En guttedrøm blir oppfylt Jordens bevegelse sett fra månen Stemming av stemmegafler Svingende greiner og staver Kunst utstilt på Høvikodden Guiloche-mønster og pengeproduksjon Ornamental dreining Spirografen ikke bare lekefor barn Tauverkskunst Pendeltegning en sport for kyllinger av Lars Kristian Gylver (St. Haugen i Oslo)