Kap 12 The capital asset pricing model CAPM Corporate Finance Kap 12 The capital asset pricing model CAPM

Kapitalverdimodellen Vi bygger videre på porteføljeteori. I praksis er det et stort antall usikre aktiva som kan settes sammen til en portefølje: 𝜇 𝑃 𝑁 Alle punkter i det skraverte området er teoretiske mulige sammensetninger av porteføljer. Men bare punkter på det heltrukne linjestykket a-M-D er effisiente. For alle andre punkter er slik at det finnes punkter på a-M-D som har samme risiko men større forventet avkastning. 𝐷 𝑀 𝑅 𝐹 𝑎 𝜎 𝑃 Om det også finnes et risikofritt aktivum vil en oppnå størst mulig forventning hvis en kombinerer det risikofrie aktivum med porteføljen av risikable aktiva som utgjør tangeringspunktet M. Om en investerer i det risikofrie aktivum skjer tilpassingen langs RF – M. Skjer tilpassingen langs M-N tar en opp risikofritt lån for delvis å finansiere investeringen. Alle vil følgelig velge å investere i markedsporteføljen M.

Separasjon Alle som investerer i risikable aktiva vil velge den samme sammensetningen av porteføljen (av risikable aktiva), nemlig porteføljen som utgjør punktet M. Preferansene avgjør kun om en vil låne eller investere i det risikofrie aktivum. Vi har altså SEPARASJON: Investeringene i usikre aktiva kan bestemmes uten hensyn til personlige preferanser. Dette tilsvarer situasjonen under sikkerhet: Investeringene bestemmes uavhengig av personlige preferanser – kun beslutninger om sparing eller låneopptak avhenger av preferansene. Porteføljen M vil altså holdes av alle investorer, og består av de samme risikable aktiva, med de samme relative vektandeler, uansett investors preferanser. Eneste forskjell mellom investorene vil være det absolutte kronebeløp investert i M. Hvis et aktivum ikke er med i M, så vil ingen ønske å kjøpe det. Følgelig må prisen synke. Dermed vil den relative avkastningen øke, helt til det blir attraktivt nok til å inngå i M, markedsporteføljen. Følgelig, i markedslikevekt må alle risikable aktiva være inneholdt i M. Dermed må også andelen av hvert aktivum i en hvilken som helst portefølje tilsvare aktivumets markedsverdi i forhold til markedsverdien av alle aktiva.

Porteføljeteori Standardavviket til porteføljen er altså lik: M Risikofritt Ny portefølje Avkastning 𝑅 𝑀 𝑅 𝐹 𝑅 𝑃 𝑅 𝑃 =𝑤∙ 𝑅 𝐹 + 1−𝑤 ∙ 𝑅 𝑀 Forventning 𝜇 𝑀 =𝐸 𝑅 𝑀 𝜇 𝐹 =𝐸 𝑅 𝐹 𝜇 𝑃 =𝐸 𝑅 𝑃 𝜇 𝑃 =𝑤∙ 𝜇 𝐹 + 1−𝑤 ∙ 𝜇 𝑀 Varians 𝜎 𝑀 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 𝑀 𝜎 𝑃 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 𝑃 𝜎 𝑃 2 = 1−𝑤 2 ∙𝜎 𝑀 2 Kovarians 𝜎 𝑀,𝐹 = 𝐶𝑂𝑉 𝑅 𝑀 ,𝑅 𝐹 =0 𝜎 𝑃 = 𝜎 𝑀 2 = 1−𝑤 ∙𝜎 𝑀 Vektandel 1−𝑤 𝑤 1 Standardavviket til porteføljen er altså lik: Omformulering gir oss: Dermed kan vi skrive porteføljens forventning som: Avkastningen til en portefølje er altså lik den risikofrie avkastningen pluss en kompensasjon for risiko, som er lik prisen på risiko; 𝜇 𝑀 − 𝑅 𝐹 𝜎 𝑀 , multiplisert med mengden av risiko: 𝜎 𝑃 . Risikoen til en portefølje måles altså med porteføljens standardavvik.

Kapitalmarkedslinjen Avkastningen til effisiente porteføljer kan altså beskrives slik: 𝜇 𝑃 Porteføljer som plotter under linjen er ikke effisiente. Risikoaverse investorer krever kompensasjon for å påta seg risiko. Kapitalmarkedslinjen angir markedsprisen på risiko. Den angir også at for porteføljer så er standardavviket det relevante risikomålet. 𝑀 𝜇 𝑀 Enhetspris på risiko 𝑅 𝐹 𝜎 𝑃 𝜎 𝑀 Porteføljen angir totale investeringer, både i risikable og risikofrie investeringer. Dermed er det også total risiko, dvs. standardavviket til summen av alle investeringene, som er relevant risikomål. Vi har tidligere vist at for enkeltinvesteringer er samvariasjon mer relevant enn total variasjon.

Enkeltprosjekter Tilsvarende uttrykk for ett enkelt aktivum (utledningen vist i læreboken) er: Dermed får vi nesten identisk sammenheng som for porteføljer: Avkastningen til et aktivum er altså lik den risikofrie avkastningen, pluss en kompensasjon for risiko; akkurat som i tilfellet for en portefølje. Og prisen på risiko er også den samme; 𝜇 𝑀 − 𝑅 𝐹 𝜎 𝑀 . Men relevant risiko for et enkelt aktivum er ikke standardavviket for aktivumet, men standardavviket multiplisert med korrelasjonskoeffisienten mellom aktivumet og markedsporteføljen; 𝑟 𝑗,𝑀 ∙𝜎 𝑗 .

Kapitalverdimodellen (CAPM) Avkastningen til et enkeltaktivum kan illustreres ved verdipapirmarkedslinjen: 𝜇 𝑗 Enkeltprosjekter som plotter på eller over linjen gir en risikojustert avkastning som er minst like stor som markedet krever, og bør følgelig gjennomføres. Prosjekter som plotter under bør ikke gjennomføres, da avkastning og risiko ikke tilfredsstiller markedskravet. 𝑀 𝜇 𝑀 Enhetspris på risiko 𝑅 𝐹 𝑟 𝑗,𝑀 ∙𝜎 𝑗 𝜎 𝑀 Risikoen for et aktivum er isolert sett standardavviket, men i porteføljesammenheng er det bare den risikoen aktivumet tilfører porteføljen som er av interesse. Så lenge aktivumet ikke er perfekt positivt korrelert med porteføljens avkastning, vil en del risiko bli eliminert når aktivumet inkluderes i en portefølje hvor det inngår mange aktiva. Jo lavere korrelasjonskoeffisienten er, desto større del av risikoen forsvinner ved diversifikasjon.

Systematisk og usystematisk risiko Systematisk risiko, markedsrisikoen, er risiko som påvirker alle aktiva og gjenspeiler avhengigheten alle aktiva har til markedet. Denne systematiske risiko kan man altså ikke bli kvitt. Den usystematiske risikoen er den risikoen som er spesiell for det enkelte aktivum. Denne risikoen kan man kvitte seg med ved å inkludere mange aktiva i porteføljen. Følgelig vil heller ingen kompensasjon for denne risikoen bli gitt, siden en kan unngå den. Det er altså bare den systematiske risikoen: 𝑟 𝑗,𝑀 ∙𝜎 𝑗 man får kompensasjon for.

Risikofaktorer Risiko er variasjon i avkastningen, som er avhengig av framtidige kontantstrømmer. Hva påvirker framtidige kontantstrømmer? Bedriftsspesifikke faktorer Markedsspesifikke faktorer Ledelsens dyktighet Vekst i investeringer i økonomien Forhold i bedriftens organisering Forbruksnivå Markedsføring Rentenivå Forskning og utvikling Oljepriser Valutakursbevegelser I hovedsak to faktorer som bestemmer systematisk risiko for en bedrift. Sensitivitet i bedriftens inntekter i forhold til generell økonomisk aktivitet. Er utenfor bedriftens kontroll.(Matvarer – Feriereiser) Forhold mellom faste og variable kostnader (inklusiv finansiering). Dette kan bedriften kontrollere. For eksempel vil høye faste kostnader medføre lav fleksibilitet og stor variasjon i resultatet ved konjunktursvingninger.

Alternative varianter av CAPM En mye brukt variant benytter j , som er en indeks for prosjekt j sin systematiske risiko i forhold til markedsrisikoen. Merk at om vi bruker beta som risikomål, så endres også enhetsprisen for risiko, den blir nå differansen mellom avkastningen på den risikable markedsporteføljen og risikofri avkastning: 𝜇 𝑀 − 𝑅 𝐹 . Merk at CAPM er en enperiodisk modell: Disse modellene er på relativ form (%).

CAPM på absolutt form Xj = avkastning i kroner for aktivum j La: XM = avkastning i kroner for markedsporteføljen Pj = markedsverdi for aktivum j PM = markedsverdi for markedsporteføljen La: Vi har her uttrykt prisen på den usikre kontantstrømmen Xj i absolutte størrelser, dvs. Pj tilsvarer nåverdien av den usikre kontantstrømmen. Sammenlign med første formel – vi har tilsvarende enhetspris på risiko, og tilsvarende mengdemål på risiko.

Talleksempel Anta at risikofri rente er 6%. Hvis en investerer for 10 i markedsporteføljen, vil avkastningen i neste periode være 13 eller 9, begge utfall med lik sannsynlighet. Tilsvarende vil prosjekt X koste 100, og i neste periode gi enten 110 eller 130. t=0 t=1 Markedet Tilstand Sans XM Prosjekt   X1 PM 10 1 0,5 13 X0 -100 110 RF 0,06 2 9 130 Forventet 11 120 Vi har her beregnet prisen (på tidspunkt 0) av den usikre kontantstrømmen X1. Det usikre prosjektet X har altså en markedsbestemt nåverdi lik -100 +115,09 = 15,09. Denne nåverdiberegningen er gjort uten bruk av risikojustert rente.

Nåverdier er additive Vi kan splitte kontantstrømmen til det usikre prosjektet i en sikker og en usikker del. Max sikker Min usikker Tilstand Sans XM X1 XS1 XU1 1 0,5 13 110 2 9 130 20 Forventet 11 120 10 Kovariansen mellom markedsavkastningen og prosjektavkastningen er den samme, uansett oppsplitting av kontantstrømmen. Nåverdien er altså der den samme, uansett oppsplitting av kontantstrømmen.

Relative verdier Om vi skal bruke CAPM på relativ form, dvs. beregne %-vis avkastning (internrente), må internrenten baseres på markedsbestemte priser, ikke investeringsbeløpet. Markedet Prosjekt Tils Sans XM X1 RM RX RU PM 10 P(X0) 115,09 1 0,5 13 110 (13-10)/10 = 0,3 110/115,09-1 = - 0,04423 0/11,32 - 1 = - 1 RF 0,06 P(XU) 11,32 2 9 130 (9-10)/10 = - 0,1 130/115,09 -1 = 0,12955 20/11,32-1 = 0,76678 0,1 0,04266 -0,11661 Kovariansen mellom internrentene er ikke er uavhengig av oppsplittingen av kontantstrømmen. Risikojustert rentekrav:

Nåverdier basert på risikojustert rentekrav Risikojustert rentekrav til den totale usikre kontantstrømmen er 4,262%. Rentekravet er faktisk lavere enn den risikofrie renten. Det skyldes at prosjektet har negativ kovarians med markedsavkastningen (negativ korrelasjonskoeffisient). Den forventede avkastningen (internrenten) er 4,266%. Den forventede avkastningen er altså større enn det risikojusterte rentekravet, og prosjektet bør derfor aksepteres. Tilsvarende forhold har vi for den oppsplittede kontantstrømmen. (Sjekk tallene!) Vi kan beregne nåverdien basert på det risikojusterte rentekravet. Risikojustert rentekrav er avhengig av hvordan kontantstrømmen splittes opp. Forventet avkastning (internrente) må være markedsbestemt. Nåverdien kan da beregnes ut fra forventet kontantstrøm og risikojustert rente.

Forutsetninger bak CAPM En enperiodisk modell (kan utvides, men vanskelig). Investor maksimerer forventet nytte, men er kun interessert i forventning og varians i sluttformuen. (Symmetriske fordelinger?) Investor har risikoaversjon. Investorene har homogene forventinger, og samme oppfatning av sannsynligheter. Det eksisterer (minst) ett risikofritt aktivum. Innlåns- og utlåns -renten er den samme. Avkastningen er den samme for enhver. (ingen, eller like skatter). Alle aktiva er omsettelige i markedet (inklusive «human capital»). Perfekte (kapital-)markeder (lik og gratis informasjon, prisfast kvantumstilpassing). En del av forutsetningene er urealistiske. Men det er uvesentlig – det som betyr noe er: Virker modellen? Beskriver den virkeligheten bra?

Empiriske tester av CAPM Det er mange metodiske problemer med å teste CAPM. Må bruke historiske, ofte upresise data, og inkludere ALLE mulige aktiva, ikke bare aksjer. Resultatene er ikke entydig positive. Det ser ut til at konstantleddet (risikofri rente) er undervurdert, mens stigningen (prisen på risiko) er overvurdert. Modellen ser altså ut til å gi systematiske feil, men gir grovt sett et tilnærmet riktig bilde av virkeligheten. For øyeblikket er det uansett den beste modellen vi har. Selv om det er mange faktorer som påvirker avkastningen, så er beta den aller viktigste.

Security market line (SML) Om vi bruker  som risikomål, vil CAPM ha følgende form: 𝜇 𝑗 Enkeltprosjekter som plotter på eller over linjen gir en risikojustert avkastning som er minst like stor som markedet krever, og bør følgelig gjennomføres. Alternativt kan en bruke estimert risikojustert avkastningskrav j for å beregne nåverdien av forventet kontantstrøm. 𝑀 𝜇 𝑀 Enhetspris på risiko 𝑅 𝐹 𝛽 𝑗,𝑀 1 Estimering av beta gjøres av mange, og er tilgjengelig på internett. For et nytt prosjekt j brukes ofte historiske data som estimat. For eksempel selskapets historiske , hvis det nye prosjektet ligner på selskapets kjernevirksomhet. Om prosjektet heller ligner på noe fra andre bransjer, kan en benytte  fra selskap som en mener har samme type usikkerhet som det nye prosjektet j .

Egenskaper ved  Beta-verdien til en portefølje er lik et veid snitt av betaene til enkeltinvesteringene. Verdipapir Andel E(Rj) j A 0,6 14,4% 1,6 B 0,1 12,8% 1,2 C 0,3 10,8% 0,7 Forventning   13,16% 1,29 Priser på aksjer, avkastning og beta. Risikotillegg utover risikofri rente:

Nåverdiberegninger CAPM er en enperiodisk modell. De fleste prosjekt har en mye lengre tidshorisont. Om vi bruker den samme risikojusterte renten i hver periode ved neddiskontering av forventet kontantstrøm, forutsettes det at risikoen øker over tid etter et helt bestemt mønster. Teoretisk sett hadde det vært tryggere å la renten kun ta hensyn til tidsaspektet (risikofri rente), og bruke andre metoder for å ta hensyn til usikkerhetsdimensjonen. Men i praksis blir en teoretisk korrekt framgangsmåte for komplisert, og en tyr til tilnærmede metoder.