Corporate Finance Kap 11 Portfolio theory

Flere uavhengige usikre alternativer Vi har hittil brukt standardavvik som mål på usikkerhet. Dette kan være relevant som mål på usikkerhetene totalt sett, men gir et ufullstendig bilde av den usikkerhet et enkelt prosjekt totalt sett bidrar med. Når vi skal vurdere usikkerheten til en investering må vi forsøke å få en oversikt over hvordan usikkerheten for foretaket som helhet vil endre seg dersom prosjektet gjennomføres.

Regntøyproduksjon Regntøy Paraply Iskrem Tilstand sj Sanns Pj Overskudd Xj X2 Pent vær 0,5 -200000 4,00E+10 400000 1,60E+11 Stygt vær Forventning 100000 1E+11 Standardavvik 300000 Skal bedriften i tillegg til regntøy starte med paraply- eller iskrem -produksjon? Eller skal den satse på et sikkert prosjekt som gir 100000 i overskudd uansett vær? Regntøy + Paraply Regntøy + Iskrem Regntøy + Sikkert Tilstand sj Sanns Pj Overskudd Xj X2 Pent vær 0,5 -400000 1,60E+11 200000 4,00E+10 -100000 1,00E+10 Stygt vær 800000 6,40E+11 500000 2,50E+11 Forventning 4E+11 4E+10 1,3E+11 Standardavvik 600000 300000 Vi ser at forventet verdi er den samme for de tre alternativene. Men risikoen er svært ulik. Det sikre alternativet medfører uendret standardavvik. Paraplyproduksjon i tillegg til regntøy dobler standardavviket. Iskremproduksjonen har fjernet risikoen totalt.

Porteføljeteori Aktivum 1 Aktivum 2 Portefølje Avkastning 𝑅 1 𝑅 2 𝑅 𝑃 𝑅 𝑃 =𝑤∙ 𝑅 1 + 1−𝑤 ∙ 𝑅 2 Forventning 𝜇 1 =𝐸 𝑅 1 𝜇 2 =𝐸 𝑅 2 𝜇 𝑃 =𝐸 𝑅 𝑃 𝜇 𝑃 =𝑤∙ 𝜇 1 + 1−𝑤 ∙ 𝜇 2 Varians 𝜎 1 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 1 𝜎 2 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 2 𝜎 𝑃 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 𝑃 𝜎 𝑃 2 = 𝑤 2 ∙𝜎 1 2 + 1−𝑤 2 ∙𝜎 2 2 +2∙𝑤∙ 1−𝑤 ∙ 𝑟 1,2 ∙𝜎 1 ∙𝜎 2 Kovarians 𝜎 1,2 = 𝐶𝑂𝑉 𝑅 1 ,𝑅 2 =𝑟∙𝜎 1 ∙𝜎 2 Vektandel 𝑤 1−𝑤 1 Kovariansen beregnes generelt som følger: (Varians er kovarians med seg selv) Korrelasjonskoeffisienten beregnes slik: Korrelasjonskoeffisienten vil ha en verdi mellom -1 og +1. Verdien 0 angir ingen korrelasjon, mens +1 angir perfekt korrelasjon og -1 er perfekt negativ korrelasjon. w angir %-vis andel investert i aktivum 1, sett i forhold til totalinvesteringen i porteføljen.

Analyse via et eksempel Vi vurderer å investere i to aktiva, men kjenner kun forventet avkastning og varians: Aktivum 1 Aktivum 2 E(Ri) 0,06 0,1 VAR(Ri) 0,02 0,08 Anta r = -1: Anta r = +1: Alt i aktivum 2 Alt i aktivum 1

Korrelasjonskoeffisienten Korrelasjonskoeffisienten har den egenskapen at: −1≤𝑟≤+1. Vi har følgende sammenheng mellom forventning og standardavvik til porteføljen: 𝜇 𝑃 𝑤 Andel w som gir minst varians for porteføljen: 𝜇 2 Finnes ved å sette den deriverte av porteføljens varians m.h.p. w lik 0. 1 𝜇 1 𝜎 𝑃 𝜎 1 𝜎 2 Hvis 𝑟< 𝜎 1 𝜎 2 = 0,02 0,08 =0,5 vil vi altså her kunne redusere usikkerheten for porteføljen som helhet til å bli mindre enn usikkerheten til det minst usikre aktivum.

Risikofritt aktivum Aktivum 1 Aktivum 2 Risikofritt Portefølje Avkastning 𝑅 1 𝑅 2 𝑅 𝐹 𝑅 𝑃 Forventning 𝜇 1 =𝐸 𝑅 1 𝜇 2 =𝐸 𝑅 2 𝜇 𝑃 =𝐸 𝑅 𝑃 Varians 𝜎 1 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 1 𝜎 2 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 2 𝜎 𝑃 2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 𝑃 Kovarians 𝜎 1,2 = 𝐶𝑂𝑉 𝑅 1 ,𝑅 2 =𝑟∙𝜎 1 ∙𝜎 2 Vektandel 𝑤 1 𝑤 2 1− 𝑤 1 − 𝑤 2 1 Merk at kovariansen til porteføljen ikke er påvirket av det risikofrie aktivum, siden kovariansen mellom en konstant (det risikofrie aktivum) og en stokastisk variabel er lik null.

Investering bare i risikable aktiva 𝜇 𝑃 𝜇 2 2 Formen på kurven avhenger av størrelsen på korrelasjonskoeffisienten r. 𝑎 𝜇 1 1 𝜎 𝑃 𝜎 1 𝜎 2 Om investor foretrekker mer framfor mindre avkastning (positive preferanser), og har risikoaversjon (ønsker minst mulig risiko), så vil han aldri velge å tilpasse seg langs linjestykket mellom punktene 1 – a. Det finnes nemlig punkter på linjestykket 2 – a som har samme risiko men større avkastning.

Investerer delvis i risikofritt aktivum 𝜇 𝑃 Porteføljer som består av forskjellige blandinger av en risikabel portefølje og en risikofri investering er perfekt positivt korrelerte. Alle slike blandinger må derfor ligge på en rett linje. 𝜇 2 𝑀 𝑅 𝐹 𝑎 𝜇 1 𝜎 𝑃 𝜎 1 𝜎 2 Hvis en del investeres risikofritt, så vil tilpasningen for de risikable aktivaene uansett være i tangeringspunktet M. Vi ser for eksempel at vi ikke vil tilpasse oss i punktet som minimerer variansen om porteføljen bare består av de usikre aktivaene, dvs. punkt a. Det finnes nemlig et punkt på linjestykket RF – M som gir større avkastning til samme risiko som punkt a.

Tar opp lån for å investere i usikre aktiva 𝜇 𝑃 𝑋 𝜇 2 2 𝑀 𝑅 𝐹 𝜇 1 𝜎 𝑃 𝜎 1 𝜎 2 Hvis en del lånes risikofritt, så vil tilpasningen for de risikable aktivaene uansett være i tangeringspunktet M. Merk at totalinvesteringen i punktet M nå er mer enn 100%. Vi ser for eksempel at vi ikke vil tilpasse oss i punktet 2 som maksimerer avkastningen om porteføljen bare består av de usikre aktivaene. Det finnes nemlig et punkt på linjestykket M– X som gir større avkastning til samme risiko som punkt 2.

Kapitalmarkedslinjen 𝜇 𝑃 Hvis lånerenten er den samme som sparerenten, vil tangeringspunktet M være det samme for låntakere som for sparere. 𝑀 Delvis låne 𝑅 𝐹 Delvis spare 𝜎 𝑃 Alle investorer vil nå velge porteføljen M. Sparere vil i tillegg sette av en del til sparing. Låntakere vil investere alt i M, også det de låner. For at markedet av risikable aktiva skal være i likevekt, må porteføljen M bestå av samtlige usikre aktiva. Separasjonsteoremet: Vi kan nå bestemme investeringen i risikable aktiva uavhengig av personlige preferanser – alle vil velge portefølje M. Personlige preferanser avgjør bare graden av sparing/låning.

Markedsporteføljen Alle investorer ønsker å tilpasse seg markedsporteføljen. Siden hvert usikkert aktivum eies av noen, må følgelig alle eie litt av hvert. Markedsporteføljen må altså bestå av samtlige risikofylte verdipapirer som er tilgjengelig. Enkeltinvestorer vil investere i et aktivum proporsjonalt med aktivumets verdi i forhold til totalverdien av alle aktiva. Prisene må være i likevekt, dvs. avkastningen må gi akkurat kompensasjon for den risikoen verdipapiret medfører.

Diversifisering Markedsporteføljen består av en investering i absolutt alle usikre aktiva. Det er altså ikke mulig å spre risikoen ytterligere (diversifisering). All diversifiserbar risiko er altså fjernet i markedsporteføljen. I praksis er det umulig å sitte med alle aktiva i riktige proporsjoner til enhver tid. Men om man sitter med en portefølje med 15-20 usikre aktiva fra ulike bransjer, så er nær 90% av diversifiserbar risiko fjernet. Det er derfor overkommelig å sitte med en portefølje som ligger nær opp til egenskapene til markedsporteføljen mhp. avkastning og risiko (sporingsportefølje).

Ikke alle egg i samme kurv? Risiko Diversifiserbar Risiko Ikke all risiko kan dermed diversifiseres bort. Ikke Diversifiserbar Risiko Antall papir Ca. 20-25 verdi papir Diversifisering i aksjeporteføljer gjøres av aksjonærene. Men bør selskapene benytte samme strategi, dvs. spre risikoen? Det spiller ingen rolle, for aksjonærene vil uansett investere i markedsporteføljen. Ettersom det ikke er noe poeng for selskapene å drive diversifisering, er nok det mest fornuftige at de satser på det de er gode til: Skomaker – bli ved din lest.

Eksempel - kovarians Tilstand Sannsynlighet Avkastning C Avkastning D C*D Vekst 0,2 24 % 5 % 0,0576 0,0025 0,012 Stabilt 0,6 12 % 30 % 0,0144 0,09 0,036 Depresjon 0 % -5 % Forventning 0,12 0,18 0,02016 0,055 0,024 Kovarians 0,0024 0,00576 0,0226 Korrelasjon 0,210351

Eksempel - Porteføljesammensetning W D 1 C Beregn porteføljens forventning og standardavvik når w = 0, w = 1 og w = w*. Disse tre punktene er nok til å tegne kurven rimelig nøyaktig.