MET 2211 Statistikk og dataanalyse Forelesning 19.09.2002 Kapittel 6: Sannsynlighetsfordelinger
Ordnet utvalg med tilbakelegning n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på N n ulike måter hvis vi Observerer rekkefølgen Legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, N n = 25. Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 25 måter hvis vi legger den første tilbake og bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Viktige formler i kombinatorikk Fakultet: n! = n´(n-1)´(n-2)´..2´1 5! = 5´4´3´2´1 = 120 Excel: =FACT(5) Permutasjoner: PNn= N´(N-1)´(N-2)´.. i alt n ledd P52= 5´4 = 20 Excel: = PERMUT(5;2) Kombinasjoner: CNn= PNn /n! C52= 5´4 / 2! = 10 Excel: = COMBIN(5;2) 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Ordnet utvalg uten tilbakelegning n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på PnN ulike måter hvis vi Observerer rekkefølgen Ikke legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, PnN = 5´4 = 20 Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 20 måter hvis vi ikke legger den første tilbake, men bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Permutasjoner n personer kan stå i Pnn = n! rekkefølger n! = n ´(n-1) ´(n-2) ´ … ´ 2 ´ 1 Eksempel: 20 skolebarn kan komme inn i klasserommet i 20! ulike rekkefølger 20! = 20 ´ 19 ´ 18 ´ 17 ´ … ´ 1 = 2.432.902.008.176.640.000 = 2,432 trillioner 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Uordnet utvalg uten tilbakelegning n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på CnN ulike måter hvis vi: Ikke observerer rekkefølgen Ikke legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, CnN = 5´4/2! = 10 Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 10 måter hvis vi hverken legger den første tilbake eller bryr oss om rekkefølgen ŒŒ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Sannsynlighets- regning Vi har i alt m mulige utvalg Av de m mulige er g spesielle Alle m er like sannsynlige, og vi velger ett tilfeldig Sannsynligheten for et spesielt utvalg: P = g/m Eksempel: Hva er sannsynligheten for 12 rette i tipping når man bare gjetter? N = 3 (H U B) n = 12 (kamper) g = 1 (det riktige) m = 312 Svar: 1/312 = 0,0000019 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Oversikt over utvalgsmetodene Like sannsynlige utvalg Ordnet, med tilbakelegging Tipping Ordnet, uten tilbakelegging Velg leder og nestleder Uordnet, uten tilbakelegging Lotto Utvalg som ikke er like sannsynlige Uordnet, med tilbakelegging Uordnet utvalg med tilbakelegging Eksempel: Barnefødsler N = 2 kjønn (P G) n = 3 fødsler (trekninger) Mulige uordnete resultater: 3J, 2J1G, 1J2G, 3G m = 4 Er de like sannsynlige? 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Eksempel: Barnefødsler Vi kan finne sannsynlighetene ved å gå veien om ordnete utvalg En litt større barneflokk: Vi har N = 2 kjønn (P,G) og Vi trekker n = 5 ganger, ordnet og med tilbakelegging. Det gir m = 25 = 32 mulige utvalg La oss si at et spesielt utvalg har 3 jenter Spørsmål: Hvor mange er spesielle ? Hva er g ? 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
3 jenter i ordnete barneflokker på n = 5 PPPPP PGPPP GPGPP GGPPP PPPPG PGPPG GPPPG GGPPG PPPGP PGPGP GPPGP GGPGP PPPGG PGGPP GPPGG GGPGG PPGGP PGPGG GPPPP GGGPP PPGPG PGGPG GPGPG GGGPG PPGPP PGGGP GPGGP GGGGP PPGGG PGGGG GPGGG GGGGG 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
På vei mot binomialfordelingen Hvordan kunne vi funnet g uten å liste opp alle de ordnete utvalgene ? g er antall måter vi kunne ha valgt ut de 3 jenteplassene fra de 5 plassene på Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging n = 3 N = 5 g = C53 = 10 P(3J) = g/m = 10/25 = 10(½)5 = 10/32 = 0,3125 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Binomialfordelingen eksempel Jenter og gutter er ikke like sannsynlige P(jente) = p = 0,48 n = 5 forsøk a = antall vellykkete (jenter) P(a = 3) = C53pa(1-p)n-a = 10´0,483´0,522 = =BINOMDIST(3;5;0,48;0) = 0,2999 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Binomialfordelingen Sannsynligheten for å få nøyaktig a vellykkete utfall i en serie på n identiske og uavhengige forsøk der sannsynligheten for at et tilfeldig forsøk skal bli vellykket er p 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Den hypergeo- metriske fordeling n elementer trekkes uordnet og uten tilbakelegning fra en populasjon med N elementer hvorav A er Riktige og resten Gale. Sannsynligheten for å få nøyaktig a Riktige i utvalget er: 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp
Eksempel på hyper- geometrisk sannsynlighet Hva er sannsynligheten for å få 6 rette i Lotto n = 7, N=34, a = 6, A = 7 12.09.2003 MET 2211 - Fred Wenstøp