Operasjonsanalytiske emner Avviksvariabler og flere motstridende målsettinger Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 7 Goal Programming

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER2 De fleste optimeringsproblemene vi har sett på så langt har hatt kun én målsetting. Ofte kan det hende at et problem kan ha mer enn én målsetting. Maksimere avkastning eller minimere risiko Maksimere profitt eller minimere forurensing Disse målsettingene er ofte i konflikt med hverandre. Nå skal vi vise hvordan vi kan løse slike problemstillinger. Introduksjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER3 De fleste LP problemer har hard constraints (absolutte restriksjoner) som ikke kan fravikes... Det er bare arbeidstimer tilgjengelig. Det er $ tilgjengelige investeringsmidler. I noen tilfeller er absolutte restriksjoner for restriktive... Ved kjøp av bil har du satt deg en maksimum pris (dette er din ”goal” eller mål -pris). Hvis du ikke kan kjøpe bilen til denne prisen vil du sannsynligvis finne en måte å skaffe mere penger til bilen. Vi bruker soft constraints (dvs. avviksvariabler) til å representere slike mål vi ønsker å oppnå. Målprogrammering - Goal Programming (GP)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER4 TopAd er et reklamefirma med 10 ansatte, som har spesialisert seg på radio og tv reklame. Relevante data er som følger (pr. minutt reklame): Et målprogrammeringseksempel: RadioTV Dekning (millioner personer)48 Kostnad (tusen dollar)824 Behov antall ansatte12 Kontrakten forbyr å bruke mer enn 6 minutter radioreklame. Annonsene bør helst nå 45 millioner mennesker totalt. Budsjettet er på ca. $ ,- for hele prosjektet.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER5 X 1 X 1 = antall minutter radio-reklame daglig X 2 X 2 = antall minutter tv-reklame daglig Definere beslutningsvariablene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER6 Mål 1: Reklamekampanjen bør nå omtrent 45 millioner lyttere/seere totalt. Mål 2: Reklamekampanjen bør koste omtrent $ totalt. Definere målsettingene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER7 Dekning: Kostnad: Avviksvariabler: Merk: Avviksvariablene vil ikke begge være positive samtidig. Definere mål-restriksjonene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER8 Personalbeskranking: Beskrankning på bruk av radioreklame: Ikke-negativitetsbetingelsene: Definere øvrige restriksjoner

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER9 Det er en mengde målfunksjoner vi kan formulere til dette målprogrammerings-problemet. Minimere sum avvik: Problem: Avvikene måler forskjellige ting, så hva er det målfunksjonen representerer ? Her summerer vi personer og $, hvilken enhet skal vi angi for summen? Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER10 Minimere sum prosentvise avvik der t i representerer målsettingsverdien til mål i Problem: Anta at første målsetting mangler 9 mill. lyttere, mens andre målsetting har $2.000 ubrukte budsjettmidler. Vi får et negativt avvik for målsetting 1 med 9/45 = 20% Vi får et positivt avvik for målsetting 2 med 2.000/ = 2% Dette betyr at å overskride budsjettet med $ er like uønsket som å ha 9 mill. lyttere for lite. Er det slik? Bare beslutningstakeren kan svare på det. Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER11 Vekter kan brukes i de tidligere målsettingene slik at beslutningstaker kan vektlegge: Ønskelige kontra uønskede avvik Den relative viktigheten av forskjellige mål Minimere den veide sum av avvik Minimere den veide sum av %-vise avvik Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER12 Anta at: Det er uønsket å oppnå for lite av den første deknings- målsettingen. Det er uønsket både med under- og over-forbruk av den andre budsjettmålsettingen. I utgangspunktet vil vi anta at alle disse vektene er lik. (De øvrige = 0) Definere målsettingen

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER13 LP Modellen for målprogrammering Min Z =1/45d 1  + 0/45d /100d 2  + 1/100d 2 + (0) Slik at:4X 1 + 8X 2 + d1+ d1  d 1 + =45(1) 8X X 2 + d2+ d2  d 2 + =100(2) X1X1 + 2X 2  10(3) X1X1  6(4) X1X1 X2X2 d1d1 d1+d1+ d2d2 d2+d2+  0

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER14 Implementere målprogrammering Kopier til nytt ark, og prøv nye vekter. Vi når bare 40 mill. lyttere, og bruker hele budsjettet.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER15 Alternative vekter Nye vekter, ny løsning. Vi når fortsatt 40 mill. lyttere, men bruker ikke hele budsjettet. CelleFormelKopieres til C13=C12*C9D13 E13=SUM(C13:D13)E16:E17 C16=C$12*C7C16:D17 H16=E16+F16-G16H17 F20=F16/$I16F20:G21 I22=SUMPRODUCT(F20:G21;F24:G25)-

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER16 Målprogrammering innebærer avveininger mellom målsettingene inntil den mest tilfredsstillende løsningen er funnet. Målfunksjonens verdi i målprogrammering må ikke sammenlignes med andre løsninger hvis vektene er endret. Sammenlign løsningene (beslutnings-variablene)! En vilkårlig stor vekt vil endre en soft constraint til en absolutt restriksjon. Hard constraints (absolutte restriksjoner) kan plasseres på avviksvariablene. Merknader til Målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER17 Kan brukes til å minimere det største avviket fra alle målsettingene. MiniMax målfunksjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER18 1.Identifiser beslutningsvariablene i problemet. 2.Finn eventuelle absolutte restriksjoner i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3.Angi målsettingene sammen med målverdiene. 4.Lag restriksjoner ved bruk av beslutningsvariablene slik at målene nøyaktig oppfylles. 5.Transformer disse restriksjonene til mål-restriksjoner ved å føye til avviksvariabler. 6.Angi hvilke variabler som representerer uønskede avvik fra målsettingene. 7.Formuler en målfunksjon som straffer uønskede avvik. 8.Sett passende vekter for målfunksjonen. 9.Løs problemet. 10.Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, gå tilbake til punkt 8 og revurder vektene som trengs justeres. Sammendrag Målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER19 The Preemptive Method

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER20 Anta at reklamefirmaet har som første prioritet å nå størst mulig publikum, dvs. maksimere antall eksponeringer (dekning). Som andre (og siste) prioritet ønsker firmaet å minimere reklamekostnadene. Eksempel The Preemptive Method

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER21 The Preemptive Method - LP Modellen Maksimer4X 1 + 8X 2 (P 1 ) Minimer8X X 2 (P 2 ) Slik at:X1X1 + 2X 2  10(1) X1X1  6(2) X1X1 X2X2  0

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER22 Optimal løsning: X 1 = 0, X 2 = 5, P 1 = 40. Trinn 1 – Maksimere eksponeringer Maksimer4X 1 + 8X 2 (P 1 ) Slik at:X1X1 + 2X 2  10(1) X1X1  6(2) X1X1 X2X2  0

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER23 Trinn 2– Minimere kostnader Minimer8X X 2 (P 2 ) Slik at:X1X1 + 2X 2  10(1) X1X1  6(2) P1P1 4X 1 + 8X 2  40(3) X1X1 X2X2  0 Krever at første målsetting ikke skal forringes; P 1  40. Ny løsning: X 1 = 6, X 2 = 2, P 2 = 96.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER24 The Preemptive Method – Trinn 1 X1X1 X2X Max P 1 = 40

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER25 The Preemptive Method – Trinn 2 X1X1 X2X

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER26 Anta at bedriften heller ønsker å minimere kostnader (P 1 ) før maksimering av eksponeringer (P 2 ). Da gir optimal løsning i trinn 1: X 1 = X 2 = P 1 = P 2 = 0. Dvs. optimal løsning er å gjøre ingen ting. Å kunne vektlegge de ulike målsettingene fremfor at målsettinger skal prioriteres ubetinget gir større fleksibilitet. Målprogrammering er derfor mer fleksibel. Svakhet ved The Preemptive Method

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER27 Et MOLP problem er et LP problem med mer enn én målfunksjon. MOLP problemer kan ses på som spesielle typer av GP problemer der vi også må fastsette målverdier for hver målsetting. Effektiv analyse av slike problemer krever at vi også benytter MiniMax kriteriet. Multiple Objective Linear Programming (MOLP)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER28 En bedrift produserer produktene X og Y. Produksjonen foregår i 4 avdelinger, og tidsforbruk pr. tonn produsert samt total kapasitet pr. periode i hver avdeling er: Et MOLP eksempel: XYKapasitet Avdeling Avdeling Avdeling Avdeling Dekningsbidrag pr tonn60,-40,- Energiinnhold50110 Forurensing610 Bedriften har mottatt statlig investeringstilskudd, som medfører en forpliktelse til å produsere minst 100 tonn av X og Y totalt i hver periode. Miljøhensyn tilsier at energiinnholdet av produksjonen bør være størst mulig, og at forurensingen er minst mulig.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER29 X X = antall tonn produsert av produkt X pr periode Y Y = antall tonn produsert av produkt Y pr periode Definere beslutningsvariablene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER30 Det er tre målsettinger: Definere målsettingen Max60X+ 40YTotalt dekningsbidrag Max50X+ 110YEnergiinnhold Min6X+ 10YForurensing Dette er de totale konsekvensene av produksjonen hver periode. Vi kan ikke følge alle målsettingene samtidig. (Det mest lønnsomme produktet har minst energiinnhold.)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER31 Tidsforbruk avdeling 1: 10 X + 10 Y  1500 Tidsforbruk avdeling 2: 10 X + 5 Y  1300 Tidsforbruk avdeling 3: 7 X + 11 Y  1425 Tidsforbruk avdeling 4: 4 Y  480 Forpliktelse investeringstilskudd: X + Y  100 Ikke-negativitets-betingelsene: X, Y  0 Definere restriksjonene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER32 Hvis vi hadde målsettingsverdier for hvert mål, kunne vi behandlet dem som følgende mål: t 1 Mål 1:Totalt dekningsbidrag bør omtrent være lik t 1. t 2 Mål 2:Totalt energiinnhold bør være omtrent lik t 2. t 3 Mål 3:Total forurensing bør være omtrent lik t 3. Vi kan løse 3 separate LP problemer, og uavhengig optimere hver målsetting, for å finne verdier for t 1, t 2 og t 3. Håndtere multiple målsettinger

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER33 Sammendrag LP modell Max60X+ 40YDekningsbidrag Max50X+ 110YEnergiinnhold Min6X+ 10YForurensing 10X+ 10Y  1500Avdeling 1 10X+ 5Y  1300Avdeling 2 7X+ 11Y  1425Avdeling 3 4Y  480Avdeling 4 X+ Y  100Totalproduksjon X  0Ikke-negativitet Y  0

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER34 Implementere modellen

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER35 Ulike løsninger Hent frem de optimale verdiene på målfunksjonene fra hver av de tre modellene. Disse verdiene kan vi nå bruke som målverdier for t 1, t 2 og t 3. t 1 = 8200 = maks dekningsbidrag t 2 = = maksimalt energiinnhold t 3 = 600 = minimum forurensing

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER36 Max dekningsbidrag 130 Y X Produksjonskrav: 1X+ 1Y ≥ Avdeling 4: 4Y ≤ 480 A Avdeling 1: 10X+10Y ≤ Avdeling 3: 7X+11Y ≤ 1425 Avdeling 2: 10X+5Y ≤ 1300 Dekningsbidrag: 60X+ 40Y Punkt A X110 Y40 DB 8200 Energi9900 Forurensing1060

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER37 Max energiutbytte 130 Y X Produksjonskrav: 1X+ 1Y ≥ Avdeling 4: 4Y ≤ 480 A Avdeling 1: 10X+10Y ≤ Avdeling 3: 7X+11Y ≤ 1425 Avdeling 2: 10X+5Y ≤ 1300 Energiutbytte: 50X+ 110Y 110 B 40 PunktA B X11015 Y40120 DB Energi Forurensing

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER38 Minimum forurensing 130 Y X Produksjonskrav: 1X+ 1Y ≥ Avdeling 4: 4Y ≤ 480 A Avdeling 1: 10X+10Y ≤ Avdeling 3: 7X+11Y ≤ 1425 Avdeling 2: 10X+5Y ≤ 1300 Forurensing: 6X+ 10Y 110 B C 40 PunktAB C X Y DB Energi Forurensing

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER39 Mål 1: Totalt dekningsbidrag bør være nær $ Mål 2: Totalt energiutbytte bør være rundt Mål 3: Total forurensing bør være omkring 600. Definere målene

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER40 Vi kan minimere sum % -vis avvik på følgende måte: Det kan vises at dette er en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. En slik målfunksjon vil bare gi optimale løsninger ved hjørnepunktene av mulighetsområdet (uansett hvilke vekter som brukes). Definere målfunksjonen

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER41 Definere en bedre målfunksjon Ny målfunksjon, og ny beslutningsvariabel Nye restriksjoner Veide avvik må være mindre eller lik Q. Når Q minimeres blir max avvik lik Q.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER42 Implementere modellen Minimerer største %-vise avvik. MERK: Ingen «virkelige» restriksjoner er bindende. Løsningen ligger ikke på randen av mulighetsområdet, men på «innsiden». CelleFormelKopieres til E6=SUMPRODUCT($C$3:$D$3;C6:D6)E7:E8; E11:E15 G6=(F6-E6)/F6G7 G8=(E8-F8)/F8- I6=G6*H6I7:I8

Rasmus Rasmussen43 Mulige Mini-Max løsninger BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER X =120,7; Y =14,67 w 1 = 10; w 2 = 1; w 3 = 1; X =120,7; Y =14,67 X =0; Y =115,15 w 1 = 1; w 2 = 10; w 3 = 1; X =0; Y =115,15 X =91; Y =9 w 1 = 1; w 2 = 1; w 3 = 10; X =91; Y =9 130 Y X Produksjonskrav: 1X+ 1Y ≥ Avdeling 4: 4Y ≤ 480 Avdeling 1: 10X+10Y ≤ Avdeling 3: 7X+11Y ≤ 1425 Avdeling 2: 10X+5Y ≤

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER44 Løsninger funnet ved MiniMax målsettingen er Pareto Optimal. Avviksvariabler og/eller MiniMax målsettingen er nyttige også i en mengde situasjoner som ikke involverer MOLP eller GP. For minimerings målsettinger er prosentvis avvik: (faktisk – målverdi)/målverdi For maximerings målsettinger er prosentvis avvik: (målverdi - faktisk)/målverdi Hvis målverdien er null, bruk veide avvik istedenfor % avvik. Kommentarer til MOLP

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER45 1.Finn beslutningsvariablene i problemet. 2.Identifiser målsettingene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3.Finn restriksjonene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 4.Løs problemet for hver av målsettingene i trinn 2, for å finne optimal verdi for hver målsetting. 5.Reformuler målsettingene til målprogrammering der de optimale verdiene fra trinn 4 benyttes som målverdier. 6.Lag en avviksvariabel som måler avviket mellom oppnådd verdi og målverdien (enten i % eller som absolutt avvik), for hver målsetting. 7.Tildel en vekt for hvert avvik beregnet i trinn 6, og lag en restriksjon som krever at det veide avviket skal være mindre enn MINIMAX variabelen Q. 8.Løs det nye problemet, der målsettingen er å minimere Q. 9.Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, juster vektene i trinn 7 og fortsett på trinn 8. Sammendrag av MOLP

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER46 Beslutningsproblemer har ofte to eller flere motstridende målsettinger: Investering: risiko kontra avkastning Velge blant jobb tilbud: lønn, lokalisering, karrieremuligheter, etc. Velge videokamera: pris, garanti, zoom, vekt, lysstyrke, etc. Velge blant jobbsøkere: utdanning, erfaring, personlighet, etc. Vi skal se på to teknikker for slike problemer: – The Multi Criteria Scoring Model – The Analytic Hierarchy Process (AHP) Beslutning basert på flere kriterier

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER47 Vurdere (rangere) hvert alternativ for hvert kriterium. Tildel hvert kriterium vekter i forhold til deres relative viktighet. Beregn gjennomsnittlig rang j, for hvert alternativ : The Multicriteria Scoring Model w i = vekt for kriterium i s ij = score for alternativ i ved kriterium j

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER48 Multikriterium modell

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER49 Gir en strukturert måte å bestemme verdier og vekter i en ”multicriteria scoring model”. Vi skal demonstrere AHP med et eksempel: Et selskap vurderer å kjøpe et nytt lønns- og personellsystem. Tre alternative systemer vurderes: X, Y og Z. Tre kriterier er aktuelle: Pris Brukerstøtte Brukervennlighet The Analytic Hierarchy Process (AHP)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER50 Parvise sammenligninger Første trinn i AHP er å lage parvise sammenligningsmatriser for hvert alternativ for alle kriterier, etter følgende skala: VerdiPreferanse 1Likt foretrukket 2Likt til moderat foretrukket 3Moderat foretrukket 4Moderat til sterkt foretrukket 5Sterkt foretrukket 6Sterkt til meget sterkt foretrukket 7Veldig sterkt foretrukket 8Veldig sterkt til ekstremt sterkt foretrukket 9Ekstremt foretrukket  P ij = hvor sterkt vi foretrekker alternativ i mot j for et gitt kriterium.  Vi antar at P ji = 1/P ij

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER51 Normalisere en parvis sammenligningsmatrise: 1) Beregn summen i hver kolonne. 2) Divider hver celle i matrisen med tilhørende kolonnesum. Rangeringen (score) (s j ) for hvert alternativ er gitt ved gjennomsnittet i hver linje i den normaliserte matrisen. Normalisering og rangering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER52 Normalisering og rangering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER53 Vi bør sjekke om beslutningstaker har vært konsistent ved rangeringen. Konsistent-målet for kriterium i er: Konsekvent ? der P ij = den parvise vurderingen av alternativ i mot j s j = score for alternativ j Hvis beslutningstaker er helt konsistent skulle hver C i være lik antall beslutningsalternativer.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER54 Vanligvis vil det være litt inkonsekvente vurderinger. Inkonsekvente vurderinger gir ikke problemer hvis Consistency Ratio (CR) ikke er over 10%. Konsekvent ? (fortsettelse) RI = for n =

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER55 Denne prosessen gjentas for å finne scores for de øvrige kriteriene. Samme prosedyre brukes også for å finne kriterievektene. Så benyttes scores og vekter som input i en ”multi criteria scoring model” på vanlig måte. “The validity of the AHP is not universally accepted.” Merk: “The validity of the AHP is not universally accepted.” Øvrige Scores & vekter

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER56 Sluttrangering

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER57 Slutt på kapittel 7