Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard for Vitenfabrikken i Sandnes Induksjonsbevis

Summen av de naturlige tallene ……+ n = ??

Vi vil bruke induksjonsbevis til å bevise den generelle formelen:

Et induksjonsbevis har to trinn: 1) START-TRINN 2) INDUKSJONS-TRINN

Først må vi vise at formelen er riktig for n=1. Dette ser vi direkte, fordi venstre side er 1, og høyre side blir START-TRINNET:

INDUKSJONS-TRINNET: Deretter må vi vise at dersom vi antar at formelen er rett når siste tall er n, da er den også rett når siste tall er n+1.

Vi må altså vise at av følger

START-TRINNET: Formelen er rett for n=1 INDUKSJONSTRINNET: Når den er rett for n=1 er den også rett for n=2 INDUKSJONSTRINNET: Når den er rett for n=2 er den også rett for n=3 INDUKSJONSTRINNET: Når den er rett for n=3 er den også rett for n=4 INDUKSJONSTRINNET: Når den er rett for n=4 er den også rett for n=5 INDUKSJONSTRINNET: Når den er rett for n=5 er den også rett for n=6 osv Dermed er formelen rett for alle n-verdier.

Summen av kvadrat-tallene

Vi vil bruke induksjonsbevis til å bevise den generelle formelen:

Først må vi vise at formelen er riktig for n=1. Dette ser vi direkte, fordi venstre side er 1 2 =1, og høyre side blir

Deretter må vi vise at dersom vi antar at formelen er rett når siste tall er gitt ved n, da er den også rett når siste tall er gitt ved n+1.

Vi må altså vise at av følger

Alternativ utregning: _____________________________________________________

Summen av kubikk-tallene:

Først må vi vise at formelen er riktig for n=1. Dette ser vi direkte, fordi venstre side er 1 3 =1, og høyre side blir

Deretter må vi vise at dersom vi antar at formelen er rett når siste tall er gitt ved n, da er den også rett når siste tall er gitt ved n+1.

Vi må altså vise at av følger:

Ved å sammenligne summen av de naturlige tallene med summen av kubikk-tallene ser vi til slutt dette overraskende og flotte resultatet:

Oppgave 1: Vis at Oppgave 2: Vis at Oppgave 3: Vis at Oppgave 4: Vis at 4 n – 1 er delelig med 3 for alle hele tall n ≥1

Oppgave 1: Vis at Start-trinn: For n=1 er VS= 1+2=3 og HS= =4 -1=3

Oppgave 1: Vis at Induksjonstrinn: Vi må vise at formelen ovenfor medfører Vi adderer 2 n+1 på begge sider i oppgaven, og får på høyre side: 2 n+1 – n+1 =2·2 n+1 – 1 =2 (n+1)+1 - 1

Oppgave 2: Vis at Start-trinn: For n=1 er VS= 1+k HS=og

Oppgave 2: Vis at Induksjonstrinn: Vi må vise at formelen ovenfor medfører: Vi adderer k n+1 på begge sider i oppgaven, og får på høyre side:

Oppgave 3: Vis at Start-trinn: For n=1 er VS= og HS=

Oppgave 3: Vis at Induksjonstrinn: Vi må vise at formelen ovenfor medfører: Vi addererpå begge sider i oppgaven, og får på høyre side:

Oppgave 4: Vis at 4 n – 1 er delelig med 3 for alle hele tall n ≥1 Her må vi først konstruere den formelen som skal bevises. Ved polynomdivisjon ser vi: n=2 gir n=3 gir n=4 gir Vi gjetter derfor på at det finnes en formel som er slik: Vi vil bevise denne formelen med induksjonsbevis.

Oppgave 4: Vis at Start-trinn: For n=1 er VS= og HS= (4-1) : (4-1)=1 1

Oppgave 4: Vis at Induksjonstrinn: Vi må vise at formelen ovenfor medfører: Vi starter med oppgaven og legger til 4 n på begge sider. Høyresiden blir dermed den vi ønsker. På venstresiden får vi: som skulle bevises!

Oppgave 4: Vis at 4 n – 1 er delelig med 3 for alle hele tall n ≥1 Alternativ løsning på Oppgave 4. Påstanden er sann for n =1, ettersom 4 1 –1 = 3, som er delelig med 3. Start-trinn:

Oppgave 4: Vis at 4 n – 1 er delelig med 3 for alle hele tall n ≥1 Alternativ løsning på Oppgave 4. Da 4 n – 1 er delelig med 3, fins et naturlig tall k slik at 4 n – 1 = 3k. Induksjonstrinn: Vi må vise at tallet 4 n+1 – 1 er delelig med 3, forutsatt at 4 n – 1 er delelig med 3. Dette kan omformes til 4 n = 3k +1 Vi får da: 4 n+1 – 1 = 4 · 4 n – 1 =4 · (3k + 1) – 1 = 4 · 3k + 4 – 1 =4 · 3k + 3 =3 · (4k + 1) Svaret inneholder faktoren 3, og er dermed delelig med 3.