XXX 交流电路的功率

一、正弦交流电路功率的基本概念 设正弦交流电路的总电压 u 与总电流 i 的相位差 ( 即阻 抗角 ) 为  ，则电压与电流的瞬时值表达式为 u = U m sin(  t   ) ， i = I m sin(  t) 瞬时功率为 p = ui = U m I m sin(  t   )sin(  t) 瞬时功率 p

式中 为电压有效值， 为电流有效值。 sin (  t   ) = sin (  t ) cos   cos (  t ) sin  可得

有功功率 P 与功率因数 在瞬时功率 P = UIcos  [1  cos(2  t)]  UIsin  sin(2  t) 中，第 一项与电压和电流相位差  的余弦值 cos  有关，在一个周期内的 平均值为 UI cos  ；第二项与电压和电流相位差  的正弦值 sin  有关，在一个周期内的平均值为零。则瞬时功率在一个周期内的平 均值 ( 即有功功率 ) P = UI cos  = UI 其中 = cos  称为正弦交流电路的功率因数。 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，它 反映了交流电路中实际消耗的功率，所以又称为有功功 率，用 P 表示，单位是 W ( 瓦 ) 。

定义：在交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的乘积 (UI) 称为视在功率，用 S 表示，即 S =UI ，单位是 V  A ( 伏安 ) 。 S 代表了交流电源可以向电路提供的最大功率，又称为电源的功率容 量。于是交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值，即 所以电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量的 百分比。 视在功率 S

Q = UI sin  把它称为交流电路的无功功率，用 Q 表示，单位是 乏尔，简称乏 (var) 。 在瞬时功率 p = UIcos  [1  cos(2  t)]  UI sin  sin(2  t) 中，第 二项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率， |UIsin  | 是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实际消耗的功率。 无功功率 Q

功率三角形 显然，有功功率 P 、无功功率 Q 和视在功率 S 三 者之间成三角形关系，即 这一关系称为 功率三角形， 如图 所示。 当  > 0 时， Q > 0 ，电路呈感性 当  < 0 时， Q < 0 ，电路呈容性 当  = 0 时， Q = 0 ，电路呈电阻性

二、电阻、电感、电容电路的功率 P R = UI cos  = UI = I 2 R = Q R = UI sin  = 0 即纯电阻 电路消耗 功率 ( 能 量 ) 。 纯电阻电路的功率 在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差  = 0 ，则瞬时 功率 p R = UIcos  [1  cos ( 2  t ) ]  UI sin  sin ( 2  t ) = UIcos  [1  cos ( 2  t ) ] 有功 功率 无功 功率 视在 功率

即纯电感电路 不消耗功率 ( 能量 ) ，电感 与电源之间进 行着可逆的能 量转换。 纯电感电路的功率 在纯电感电路中，由于电压比电流超前 90  ，即电压与电流的 相位差  = 90  ，则瞬时功率 p L = UIcos  [1  cos ( 2  t ) ]  UI sin  sin ( 2  t ) = UI sin ( 2  t ) 有功 功率 无功 功率 视在 功率 P L = UI cos  = 0 Q L = UI = I 2 X L =

纯电容电路的功率 在纯电容电路中，由于电压比电流滞后 90  ，即电压与电 流的相位差  =  90  ，则瞬时功率 p C = UIcos  [1  cos ( 2  t ) ]  UI sin  sin ( 2  t ) =  UI sin ( 2  t ) 即纯电容电路也 不消耗功率 ( 能 量 ) ，电容与电 源之间进行着可 逆的能量转换。 有功 功率 无功 功率 视在 功率 P c = UI cos  = 0 Q c = UI = I 2 X c =

在 RLC 串联电路中，只有电阻是消耗功率的，而电感和电容都不消 耗功率，因而在 RLC 串联电路中的有功功率就是电阻上消耗的功率， 即： P=URI ，又因为 UR=U cos  ，所以 P=URI=UI cos  。它表示 电路消耗的功率。 RLC 串联电路的功率 电感和电容虽然不 消耗功率，但与电 源之间进行着周期 性的能量交换，它 们的无功功率分别 为 QL = ULI ， QC = UCI 。 由于电感和电容两 端的电压在任何时 刻都是反相的，所 以 QL 和 QC 的符号 相反。当磁场能量 增加时，电场能量 却减少； 反之，磁场能量 减少时，电场能 量却在增加。

在 RLC 串联电路中，只有电阻是消耗功率的，而电感和电容都不消 耗功率，因而在 RLC 串联电路中的有功功率就是电阻上消耗的功率， 即： P=URI ，又因为 UR=U cos  ，所以 P=URI=UI cos  。它表示 电路消耗的功率。 RLC 串联电路的功率 因此，在 RLC 串联电路 中，当感抗大于容抗时， 磁场能量减少所放出的 能量，一部分储存在电 容器的电场中，剩下来 的能量送返电源或消耗 在电阻上； 而磁场能量增加 所需要的能量， 一部分由电容器 的电场能量转换 而来，不足部分 由电源补充。

RLC 串联电路的视在功率 S=UI 或 它表示电源提供 的功率 当感抗小于容抗时，情况与上述相似。 它表示电路与电源交换的功率。 由此得到电路的无功功率为电感线圈和电容器上的无功功率 之差，即 Q = QL- QC = （ UL – UC ） I = U I sin  。

三、功率因数的提高 在交流电路中，负载从电源接受的有功功率 P = UIcos  ，显然与功率因数有关。 功率因数低会引起下列不良后果。 提高功率因数的意义 在交流电力系统中，负载多为感性负载。例如常用的感应电动 机，接上电源时要建立磁场，所以它除了需要从电源取得有功功率 外，还要从电源取得磁场的能量，并与电源作周期性的能量交换。

负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利 用。因为电源设备 ( 发电机、变压器等 ) 是依照它的 额定电压与额定电流设计的。 例如一台容量 S = 100 kV  A 的变压器，若负载的功率 因数 = １时，则此变压器就能输出 100 kW 的有功功率； 若 = 0.6 时，则此变压器只能输出 60 kW 的有功功率了， 也就是说变压器的容量未能充分利用。

在一定的电压 U 下，向负载输送一定的有功功率 P 时， 负载的功率因数越低，输电线路的电压降和功率损失越大。 这是因为输电线路电流 I = P/(Ucos  ) ，当 = cos  较小 时， I 必然较大。 从而输电线路上的 电压降也要增加， 因电源电压一定， 所以负载的端电压 将减少，这要影响 负载的正常工作。 从另一方面看，电流 I 增加，输电线路中的功 率损耗也要增加。因此， 提高负载的功率因数对 合理科学地使用电能以 及国民经济都有着重要 的意义。 常用的感应电动机在空载 时的功率因数约为 0.2 ~ 0.3 ，而在额定负载时约为 0.83 ~ 0.85 ，不装电容器 的日光灯，功率因数为 0.45 ~ 0.6 ，应设法提高 这类感性负载的功率因数， 以降低输电线路电压降和 功率损耗。

功率因数的提高方法 提高功率因数的方法 提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适当容量 的电容器与感性负载并联，如图 所示。

这样就可以使电感中的磁场能量与电容器的电场能量进行交 换，从而减少电源与负载间能量的互换。在感性负载两端并联 一个适当的电容后，对提高电路的功率因数十分有效。 借助矢量图分析方法容易证明：对于额定电压为 U ，额定功 率为 P ，工作频率为 f 的感性负载 R-L 来说，将功率因数从 1 = cos  1 提高到 2 = cos  2 ，所需并联的电容 其中  1 = arccos 1 ，  2 = arccos 2 ，且  1 >  2 ， 1 < 2 。