Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

1 Kap 02 Kombinatorikk. 2 Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "1 Kap 02 Kombinatorikk. 2 Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige."— Utskrift av presentasjonen:

1 1 Kap 02 Kombinatorikk

2 2 Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m1m1 m2m2 m 1 ·m 2 ABC m 1 =4m 2 =2 m 1 ·m 2 = 4 ·2 = 8

3 3 Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk Av n grupper på henholdsvis m 1, m 2, m 3, …, m n enheter kan det dannes m 1 ·m 2 ·m 3 · · · · m n forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe. m1m1 m2m2 m 1 ·m 2 ·m 3 · · · m n ABC m 1 =4m 2 =2 m 1 ·m 2 ·m 3 = 4 ·2 ·3 = 24 mnmn... D m 3 =3

4 4 Multiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøk A B C D a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 b1b1 b2b2 b1b1 b2b2 b1b1 b2b2 b1b1 b2b2 c1c1 c2c2 c3c3 c1c1 c1c1 c1c1 c1c1 c1c1 c1c1 c1c1 c2c2 c2c2 c2c2 c2c2 c2c2 c2c2 c2c2 c3c3 c3c3 c3c3 c3c3 c3c3 c3c3 c3c3 1 a 1 b 1 c 1 2 a 1 b 1 c 2 3 a 1 b 1 c 3 4 a 1 b 2 c 1 5 a 1 b 2 c 2 6 a 1 b 2 c 3 7 a 2 b 1 c 1 8 a 2 b 1 c 2 9 a 2 b 1 c 3 10 a 2 b 2 c 1 11 a 2 b 2 c 2 12 a 2 b 2 c 3 13 a 3 b 1 c 1 14 a 3 b 1 c 2 15 a 3 b 1 c 3 16 a 3 b 2 c 1 17 a 3 b 2 c 2 18 a 3 b 2 c 3 19 a 4 b 1 c 1 20 a 4 b 1 c 2 21 a 4 b 1 c 3 22 a 4 b 2 c 1 23 a 4 b 2 c 2 24 a 4 b 2 c 3

5 5 Multiplikasjonsformel - Eksempel Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C. Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt. Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog. Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C? Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er:Fra A til BFra B til C BilBil 2BilTog 3TogBil 4TogTog 5FlyBil 6FlyTog 7BåtBil 8BåtTog

6 6 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet

7 7 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet Følger av multiplikasjonssetningen. Første element kan velges på n måter, andre element kan velges på n-1 måter, osv. Følger deretter av multiplikasjonssetningen. Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging, men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kan ordnes på nå skal betraktes som like. Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger (r 1, r 2, …, r n ) hvert element er valgt ut.  r i = s Resultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementer kan velges mellom s+n-1 posisjoner.

8 8 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges høyst en gang - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges høyst en gang

9 9 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet  = {aaabacad babbbcbd cacbcccd dadbdcdd }  = {abacad babcbd cacbcd dadbdc }  = {aaabacad bbbcbd cccd dd }  = {abacad bcbd cd }

10 10 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks II: Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet - Tipperekke - Nummerskilt - Verv - Permutasjon - Stafettlag - Måltid - Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon - Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter - Lottorekke

11 11 Ordnet med tilbakelegging - Bit Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1. Hvor mange 0-1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? 0 1 n = 2:Populasjonen består 2 tegn 0 og 1. s = 3:En 0-1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn. Ordnet utvalg: Rekkefølgen av tegnene har betydning (001 er ulik 010). Med tilbakelegging:Et bit kan velges mer enn en gang (flere av bit’ene kan være like)

12 12 Ordnet med tilbakelegging - Tipperekke Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping? H U B n = 3:Populasjonen består 3 tegn H,U og B. s = 12:En tipperekke består av 12 tegn. Ordnet utvalg: Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning (Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…). Med tilbakelegging:Et tippetegn kan velges mer enn en gang, (flere kamper kan ha samme tippetegn).

13 13 Ordnet med tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = 3:Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 2:2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Med tilbakelegging:En person kan delta i mer enn en øvelse. aaca abcb accc ba bb bc

14 14 Ordnet uten tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = 3:Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 2:2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Uten tilbakelegging:En person skal ikke delta i mer enn en øvelse. ab ac ba bc ca cb

15 15 Ordnet uten tilbakelegging - Verv En forening består av 10 personer. 3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær. På hvor mange måter kan dette gjøres? n = 10:Populasjonen består 10 elementer (personer). s = 3:Et styre på 3 skal velges. Ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har betydning (ulike verv). Uten tilbakelegging:En person kan ikke velges mer enn en gang til det samme styret. a b c d e f g h i j

16 16 Ordnet uten tilbakelegging - Permutasjon En gruppe består av 3 personer. På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø? a b c n = 3:Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 3:Alle personene skal velges for å plasseres i køen. Ordnet utvalg: Rekkefølgen av personene har betydning. Uten tilbakelegging:En person kan ikke være plassert mer enn ett sted ad gangen i køen. abc acb bac bca cab cba

17 17 Ikke-ordnet med tilbakelegging - Mat En familie på 3 medlemmer går ut for å spise og kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips. Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene (eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)? Pølse p chips c n = 2:Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips). s = 3:3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem). Ikke-ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning. Med tilbakelegging:En rett kan velges av flere personer. pppdvs 3 pølser ppcdvs 2 pølser og 1 chips pccdvs 1 pølse og 2 chips cccdvs 3 chips

18 18 Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Delegasjon Inndeling i 2 grupper En forening består av 10 personer. En delegasjon på 3 personer skal velges. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c d e f g h i j n = 10:Populasjonen består 10 elementer (personer). s = 3:En delegasjon på 3 skal velges. Ikke-ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har ingen betydning. Uten tilbakelegging:En person kan ikke velges mer enn en gang til den samme delegasjonen.

19 19 Ikke-ordnet uten tilbakelegging Rekkefølge av 2 typer objekter I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite. Røde og hvite kuler er innbyrdes like. På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke? r h h h h h r r h h n = 10:Populasjonen består 10 elementer (kuler). s = 3:En delegasjon på 3 skal velges (eller 7). Ikke-ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler har ingen betydning. Uten tilbakelegging:En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted ad gangen i rekken. Eks:r-h-h-h-h-h-r-r-h-h Dette er en av rekkefølge-mulighetene og svarer til en av muligheten for å trekke 3 elementer fra en populasjon på 10 elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene).

20 20 Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke En lottokupong består av tallene 1,2,3,…,34. En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene. Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto? … … 34 n = 34:Populasjonen består 34 elementer (tall). s = 7:En lottorekke består av 7 tall. Ikke-ordnet utvalg: Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning ( = ). Uten tilbakelegging:Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke.

21 21 Grupperinger-2 grupper Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging) på s elementer fra en populasjon på n elementer kan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper: Gruppe nr 1: s 1 = s elementer Gruppe nr 2: s 2 = n-selementer Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på:

22 22 Grupperinger-3 grupper En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s 1 elementer Gruppe nr 2: s 2 elementer Gruppe nr 3:s 3 = n-s 1 -s 2 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

23 23 Grupperinger-r grupper En populasjon på n elementer skal deles i r grupper: Gruppe nr 1: s 1 elementer Gruppe nr 2:s 2 elementer ….. Gruppe nr r:s r = n-s 1 -s 2 -….. -s r-1 elementer Antall måter å sette sammen de r gruppene på:

24 24 Grupperinger-Eksempel En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s 1 = 5 elementer Gruppe nr 2:s 2 = 2elementer Gruppe nr 3:s 3 = n-s 1 -s 2 = 3 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

25 25 Binomialkoeffisient - Definisjon n Binomialkoeffisienten ( ) er definert som: k Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging) som vi kan ta ut av en n-mengde.

26 26 Binomialkoeffisient - Egenskaper n Binomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s

27 27 Binomialkoeffisient - Pascals trekant Benytter relasjonen: =

28 28 Binomialformel

29 29 Binomialformel - Bevis

30 30 ENDEND

31 31 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging. Vi har n elementer. Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger. ….. r1r1 r2r2 rnrn Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r 1, r 2, …, r n ) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha:  r i = s. Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at  r i = s. Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r 1 + r 2 + … + r n ) = n-1+s = n+s-1 antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner. Svaret på dette er: Med egenskapene til binomialkoeffisienter kan det vises at dette også er lik:

32 32 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis I

33 33 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis II

34 34 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis III

35 35 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis IV

36 36 Binomialkoeffisient - Formelutledning


Laste ned ppt "1 Kap 02 Kombinatorikk. 2 Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google