Kap 02 Kombinatorikk Kombinatorikk er den delen av algebra som er tilknyttet nummerering og telling.Kombinatorikk/kombinasjonsanalyse er hensiktsmessig.

Presentasjon om: "Kap 02 Kombinatorikk Kombinatorikk er den delen av algebra som er tilknyttet nummerering og telling.Kombinatorikk/kombinasjonsanalyse er hensiktsmessig."— Utskrift av presentasjonen:

1 Kap 02 Kombinatorikk Kombinatorikk er den delen av algebra som er tilknyttet nummerering og telling.Kombinatorikk/kombinasjonsanalyse er hensiktsmessig når direkte telling blir praktisk ugjennomførbart. Kombinatorikk har mange anvendelsesområder innen sannsynlighetsregning, statistikk, kodeteori, algoritmeanalyse, ...

2 Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk
Av 2 grupper på henholdsvis m1 og m2 enheter kan det dannes m1·m2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m1 m2 m1·m2 Hvis en prosedyre kan brytes ned i et 1.trinn og et 2.trinn og der er m1 mulige utfall av 1.trinn og m2 mulige utfall av 2.trinn, så kan den totale prosedyren gjennomføres på m1 x m2 mulige måter Eksempel: Den nederste delen av figuren viser en slik situasjon hvor m1=4 og m2=2. Vi kan komme fra A til B via m1=4 forskjellige veier og vi kan komme fra B til C via 2 ulike veier. Vi kan da komme fra A til C via m1 x m2 = 4 x 2 = 8 ulike veier. Hvis vi betegner de 4 ulike veiene fra A til B som r1, r2, r3 og r4 og de 2 ulike veiene fra B til C som s1 og s2, så vil de totalt 8 ulike veiene fra A til C være: 1: r1-s1 2: r1-s2 3: r2-s1 4: r2-s2 5: r3-s1 6: r3-s2 7: r4-s1 8: r4-s2 Multiplikasjonsregelen vist her virker svært enkel. Problemer i praksis består som oftest i å kjenne igjen situasjoner hvor denne regelen kan benyttes. m1·m2 = 4 ·2 = 8 A B C m1=4 m2=2

3 Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk
Av n grupper på henholdsvis m1, m2, m3, …, mn enheter kan det dannes m1·m2 ·m3 · · · · mn forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe. ... m1 m2 mn m1·m2 ·m3 · · · mn Hvis en prosedyre kan brytes ned i et 1.trinn, et 2.trinn, ..., n.trinn (dvs i alt n trinn) og der er m1 mulige utfall av 1.trinn, m2 mulige utfall av 2.trinn, ..., mn mulige utfall av n.trinn, så kan den totale prosedyren gjennomføres på m1 x m2 x ... x mn mulige måter Eksempel: Den nederste delen av figuren viser en 3-trinns prosess hvor m1=4, m2=2 og m3=3 Vi kan komme fra A til B via m1=4 forskjellige veier, fra B til C via m2=2 ulike veier og fra C til D via m3=3 ulike veier. Vi kan da komme fra A til D via m1 x m2 x m3 = 4 x 2 x 3 = 24 ulike veier. Hvis vi betegner de 4 ulike veiene fra A til B som r1, r2, r3 og r4, de 2 ulike veiene fra B til C som s1 og s2 og de 3 ulike veiene fra C til D som t1, t2 og t3, så vil de totalt 24 ulike veiene fra A til D være: 1 : r1-s1-t1 2 : r1-s1-t2 3 : r1-s1-t3 4 : r1-s2-t : r2-s1-t : r4-s2-t3 A B C D m1·m2 ·m3 = 4 ·2 ·3 = 24 m1=4 m2=2 m3=3

4 Multiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøk
c1 D 1 a1 b1 c1 C 2 a1 b1 c2 c2 3 a1 b1 c3 b1 c3 B 4 a1 b2 c1 c1 b2 5 a1 b2 c2 c2 c3 6 a1 b2 c3 7 a2 b1 c1 c1 a1 8 a2 b1 c2 b1 c2 c3 9 a2 b1 c3 a2 10 a2 b2 c1 c1 A b2 11 a2 b2 c2 c2 c3 12 a2 b2 c3 13 a3 b1 c1 a3 c1 b1 14 a3 b1 c2 c2 c3 15 a3 b1 c3 Nederste del av figuren fra foregående slide (3-trinnsprosess med antall veier henholdsvis 4, 2 og 3) kan tegnes på en annen måte som i noen tilfeller kanskje er litt mer forståelig, nemlig som en trestruktur. Fra A tegnes 4 greiner (svarende til de 4 valgmulighetene fra A til B). Fra enden av hver av disse 4 greinene tegnes 2 nye greiner (svarende til de 2 valgmulighetene fra B til C). Fra enden av hver av disse 4 x 2 = 8 greinene tegnes 3 nye greiner (svarende til de 3 valgmulighetene fra C til D). Ytterste til høyre har vi nå 4 x 2 x 3 = 24 endepunkter som svarer til de 24 ulike mulighetene vi kan komme fra A til D på. 16 a3 b2 c1 c1 b2 17 a3 b2 c2 c2 a4 c3 18 a3 b2 c3 19 a4 b1 c1 c1 b1 20 a4 b1 c2 c2 c3 21 a4 b1 c3 c1 22 a4 b2 c1 b2 c2 23 a4 b2 c2 c3 24 a4 b2 c3

5 Multiplikasjonsformel - Eksempel
Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C. Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt. Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog. Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C? Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er: Fra A til B Fra B til C 1 Bil Bil 2 Bil Tog 3 Tog Bil 4 Tog Tog 5 Fly Bil 6 Fly Tog 7 Båt Bil 8 Båt Tog Et eksempel på en 3-trinns prosess hvor antall mulige valg fra A til B er m1=4 (bil, tog, fly, båt) og hvor antall mulige valg fra B til C er m2=2 (bil, tog) Det vil da være 4 x 2 = 8 mulige måter å reise fra A til C på.

6 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet La oss tenke oss at vi har en mengde A bestående av n antall elementer. Vi ønsker å trekke ut s antall av disse. Spørsmålet er nå: På hvor mange måter kan dette gjøres, dvs på hvor mange måter kan vi trekke ut s elementer fra n elementer Før vi kan svare på dette spørsmålet, må vi klargjøre litt nærmere på hvilken måte slike uttrekk skal foregå. Skal rekkefølgen ha noe å si? Skal et uttrukket element legges tilbake i A før neste trekk? Vi har her i alt 4 muligheter (bevis for formlene finnes på neste side): Ordnet med tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning. Et element skal legges tilbake før neste trekk Ordnet uten tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning. Et element skal ikke legges tilbake før neste trekk Uordnet med tilbakelegging: Rekkefølgen har ingen betydning. Et element skal legges tilbake før neste trekk Uordnet uten tilbakelegging: Rekkefølgen har ingen betydning. Et element skal ikke legges tilbake før neste trekk. Ikke- Ordnet

7 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Første element kan velges på n måter, andre element kan velges på n-1 måter, osv. Følger deretter av multiplikasjonssetningen. Ordnet Følger av multiplikasjonssetningen. Ordnet med tilbakelegging: Dette svarer til en s-trinns prosess hvor hvert trinn har n muligheter. Totalt antall muligheter vil derfor etter multiplikasjonsregelen være n opphøyd i s Ordnet uten tilbakelegging: Første element kan velges på n ulike måter. Siden trukket element ikke skal legges tilbake, vil neste element (element nr 2) kunne velges på n-1 ulike måter, element nr 3 på n-2 ulike måter, ..., element nr s på n-s+1 ulike måter. Totalt antall muligheter vil derfor etter multiplikasjonsregelen være n(n-1)(n- 2)...(n-s+1) og dette leses som n i s-faktoriell Uordnet med tilbakelegging: Benytter beviset fra uordnet uten tilbakelegging (se nedenfor). Klikk her for bevis Uordnet uten tilbakelegging: Samme som ordnet uten tilbakelegging, bortsett fra at vi nå må dele med s! = s(s-1)(s-2)...1 siden rekkefølgen ikke har noen betydning og s antall elementer kan ordnes i s! ulike rekkefølger (og alle disse s! ulike rekkefølgende skal nå betraktes som like). Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger (r1, r2, …, rn) hvert element er valgt ut.  ri = s Resultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementer kan velges mellom s+n-1 posisjoner. Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging, men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kan ordnes på nå skal betraktes som like. Ikke- Ordnet

8 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges høyst en gang Problemet med å bruke de 4 trekkformlene i praksis, består vanligvis i å gjenkjenne hvilke av de 4 trekkmetodene som virkelig benyttes i en gitt situasjon. Nedenfor nevnes noen enkle tips Ordnet med tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning. Et element kan velges mer enn en gang, dvs et uttrukket element kan velges om igjen Ordnet uten tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning. Et element kan ikke velges mer enn en gang Uordnet med tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning, dvs kun ombytting av rekkefølgen av uttrukne elementer gir ingen ny måte å trekke elementene på. Et element kan velges mer enn en gang, dvs et uttrukket element kan velges om igjen Uordnet uten tilbakelegging: Rekkefølgen har betydning, dvs kun ombytting av rekkefølgen av uttrukne elementer gir ingen ny måte å trekke elementene på. Et element kan ikke velges mer enn en gang. Ikke- Ordnet - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges høyst en gang

9 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d Med tilbakelegging Uten tilbakelegging  = { aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd }  = { ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc } Ordnet  = { aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd }  = { ab ac ad bc bd cd } Dette eksemplet med trekk av 2 elementer blant 4 elementer a, b, c og d vil forhåpentligvis klargjøre forståelsen av de 4 trekkmetodene. For hvert av de 4 tilfelle er utfallsrommet (mengden av alle enkeltutfall) omega skrevet opp. Vi kan raskt kontrollere at antall elementer i omega stemmer overens med beregnede verdier Ordnet med tilbakelegging: Merk at ab og ba er to ulike trekkmuligheter siden rekkefølgen har betydning. Merk at aa er en trekkmulighet siden et element kan velges mer enn en gang Ordnet uten tilbakelegging: Merk at ab og ba er to ulike trekkmuligheter siden rekkefølgen har betydning. Merk at aa har falt ut siden et element ikke kan velges mer enn en gang Uordnet med tilbakelegging: Merk at ba faller ut når ab er skrevet opp siden siden rekkefølgen ikke har betydning. Merk at aa er en trekkmulighet siden et element kan velges mer enn en gang Uordnet uten tilbakelegging: Merk at ba faller ut når ab er skrevet opp siden siden rekkefølgen ikke har betydning. Merk at aa har falt ut siden et element ikke kan velges mer enn en gang. Ikke- Ordnet

10 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks II:
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet - Tipperekke - Nummerskilt - Verv - Permutasjon - Stafettlag Her vises noen typiske eksempler på de 4 trekkmetodene som nå kan hjelpe oss til å beregne hvor mange tipperekker vi kan fylle ut, hvor mange bilnummerskilt vi kan lage osv Ordnet med tilbakelegging: Tipperekke: Rekkefølgen av tippetegnene har betydning og et tippetegn kan brukes flere ganger. Nummerskilt: I et bilnummer vil sifferrekkefølgen ha betydning Ordnet uten tilbakelegging: Verv: Rekkefølgen har betydning siden det f.eks. ikke er uvesentlig hvem som blir formann og hvem som blir nestformann. En person kan vanligvis ikke velges til mer enn ett verv. Permutasjon: Antall måter vi kan stille opp n elementer i rekkefølge. Rekkefølgen har opplagt betydning og et element er ikke plassert mer enn ett sted ad gangen. Stafettlag: Rekkefølgen har betydning og en deltaker kan ikke ha mer enn en etappe Uordnet med tilbakelegging: Måltid: Antall ulike måltidsammensetninger blant et gitt antall personer. Rekkefølgen (hvem som får maten først) har ingen betydning. Flere personer kan velge samme matrett. Uordnet uten tilbakelegging: Inndeling i 2 grupper / Delegasjon: Et gitt antall elementer skal deles inn i to grupper. Hvor mange måter kan dette gjøres på? Rekkefølgen har ingen betydning (vi kun registrerer hvorvidt et element blir med i en gitt gruppe eller ikke). Et element kan ikke være med mer enn en gang i en gruppe. Rekkefølge av 2 typer innbyrdes identiske elementer: La oss tenke oss at vi har 10 kuler hvorav 3 er røde og 7 er hvite. Hvor mange synbare ulike rekkefølger kan vi lage? Et eksempel på en slik rekkefølge er: rhhhhhrrhh. Oppgaven er identisk med antall måter vi kan velge en delegasjon på 3 elementer blant 10 (eller 7 blant 10) og derfor identisk med foregående oppgave. Lottorekke: Rekkefølgen av lottotallene har ingen betydning. I en gitt lottorekke kan et tall ikke velges mer enn en gang. - Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon - Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter - Lottorekke Ikke- Ordnet - Måltid

11 Ordnet med tilbakelegging - Bit
Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1. Hvor mange 0-1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? 1 n = : Populasjonen består 2 tegn 0 og 1. s = : En 0-1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tegnene har betydning (001 er ulik 010). Med tilbakelegging : Et bit kan velges mer enn en gang (flere av bit’ene kan være like). I eksemplene som følger benytter vi følgende fremgangsmåte: Bestem n og s. Avgjør hvorvidt utvalgene er ordnet/uordnet - med tilbakelegging/uten tilbakelegging Ved å lage alle mulige 0-1 kombinasjoner av tre bit, vil opplagt rekkefølgen ha betydning. Altså er det et ordnet utvalg. Et bit som er brukt kan selvfølgelig benyttes på nytt i samme trippel- kombinasjon. Altså er det et utvalg med tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg med tilbakelegging Siden vi har bit'ene 0 og 1 å velge mellom og skal lage en kombinasjon av tre bit, har vi da et ordnet utvalg med tilbakelegging hvor n=2 og s=3. s > n er mulig siden vi har tilbakelegging Antall trippel-kombinasjoner av 0 og 1 er derfor n^s = 2^3 = 8 (^ betyr opphøyd i). Disse 8 kombinasjonene er: 000 001 010 011 100 101 110 111

12 Ordnet med tilbakelegging - Tipperekke
Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping? B H U n = : Populasjonen består 3 tegn H,U og B. s = : En tipperekke består av 12 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning (Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…). Med tilbakelegging : Et tippetegn kan velges mer enn en gang, (flere kamper kan ha samme tippetegn). Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping? Vi har tre tegn å velge mellom H, U og B (Hjemme, Uavgjort og Borte). Altså er n=3. Vi skal trekke ut 12 tegn (12 fotballkamper). Altså er s= Rekkefølgen av tippetegnene er viktig (HUH... er ulik UHH...). Altså er det et ordnet utvalg. Et tippetegn kan brukes om igjen i samme tipperekke (f.eks. kan både kamp nr 3 og kamp nr 5 gi hjemmeseier, dvs begge blir H). Alstså har vi et utvalg med tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg med tilbakelegging Antall mulige tipperekker er derfor: n^s = 3^12 =

13 Ordnet med tilbakelegging - Idrett
En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Med tilbakelegging : En person kan delta i mer enn en øvelse. Vi har tre medlemmer å velge blant. Altså n=3. Vi skal velge personer til å dekke to øvelser (lengde og høyde). Altså s=2. Valget a til høyde og b til lengde er forskjellig fra valget b til høyde og a til lengde. Alstå har vi et ordnet utvalg. Siden samme person kan velges til både høyde og lengde, har vi et utvalg med tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg med tilbakelegging Antall måter vi kan velge ut personer på er da: n^s = 3^2 = 9. aa ca ab cb ac cc ba bb bc

14 Ordnet uten tilbakelegging - Idrett
En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Uten tilbakelegging : En person skal ikke delta i mer enn en øvelse. Samme som forrige side, men denne gang har ikke samme person lov til å delta i både lengde og høyde. Vi har derfor et utvalg uten tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg uten tilbakelegging Antall måter vi kan velge personer på er derfor n i s-faktoriell (her lik 6). ab ac ba bc ca cb

15 Ordnet uten tilbakelegging - Verv
En forening består av 10 personer. 3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c d e f g h i j n = : Populasjonen består 10 elementer (personer). s = : Et styre på 3 skal velges. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har betydning (ulike verv). Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang til det samme styret. Vi har 10 personer å velge blant. Altså n=10. Vi skal velge 3 personer til ulike verv (formann, nestformann og sekretær). Altså s=3. Rekkefølgen (hvem som blir formann, hvem som blir nestformann, ...) har betydning Alstå har vi et ordnet utvalg. Siden samme person ikke kan velges til mer enn ett verv, har vi et utvalg uten tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg uten tilbakelegging Antall måter vi kan velge styre på er da: n i s-faktoriell (her 720).

16 Ordnet uten tilbakelegging - Permutasjon
En gruppe består av 3 personer. På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø? a b c n = : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = : Alle personene skal velges for å plasseres i køen. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av personene har betydning. Uten tilbakelegging : En person kan ikke være plassert mer enn ett sted ad gangen i køen. Vi har 3 personer å velge blant når vi skal lage en ny rekkefølge. Altså n=10. Vi skal velge alle 3 personene til å lage en ny rekkefølge. Altså s=3. Rekkefølgen har betydning (det er jo nettopp rekkefølger vi er interessert i). Alstå har vi et ordnet utvalg. Siden samme person ikke kan velges til mer enn en posisjon ad gangen, har vi et utvalg uten tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg uten tilbakelegging Antall måter vi kan velge styre på er da: n i s-faktoriell. Siden s=n får vi her n i n-faktoriell, og dette kalles n-fakultet og skrives n!. Videre har vi: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x Med n=3 får vi: n! = 3! = 3 x 2 x 1 = personer a, b og c kan altså stille opp i 6 ulike rekkefølger. Disse rekkefølgene er: abc - acb - bac - bca - cab - cba Det å stille opp en mengde elementer i ulike rekkefølger, kalles å permutere elementene. abc acb bac bca cab cba

17 Ikke-ordnet med tilbakelegging - Mat
En familie på 3 medlemmer går ut for å spise og kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips. Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene (eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)? Pølse p chips c n = : Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips). s = : 3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning. Med tilbakelegging : En rett kan velges av flere personer. Vi har 2 retter (pølse og chips) å velge blant. Altså n=2. Vi skal dele ut 3 retter (siden vi har 3 personer). Altså s=3. Slik spørsmålet er stilt er rekkefølgen (hvem som får hva) uten betydning Alstå har vi et uordnet (ikke-ordnet) utvalg. Siden samme rett kan velges til mer enn en person, har vi et utvalg med tilbakelegging, noe annet ville jo her vært umulig siden s > n Konklusjon: Uordnet utvalg uten tilbakelegging Antall måter vi kan dele ut retter på er da n+s-1 over s = over 3 = 4 over 3 = 4. Disse 4 ulike fordelingene er: ppp (3 pølser) ppc (2 pølser og 1 chips) pcc (1 pølse og 2 chips) ccc (3 chips) ppp dvs 3 pølser ppc dvs 2 pølser og 1 chips pcc dvs 1 pølse og 2 chips ccc dvs 3 chips

18 Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Delegasjon Inndeling i 2 grupper
En forening består av 10 personer. En delegasjon på 3 personer skal velges. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c d e f g h i j n = : Populasjonen består 10 elementer (personer). s = : En delegasjon på 3 skal velges. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har ingen betydning. Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang til den samme delegasjonen. Delegasjon - Inndeling i 2 grupper Vi har 10 personer å velge blant. Altså n=10. Vi skal velge 3 personer til en delegasjon. Altså s=3. Rekkefølgen (hvem som velges som første, andre og tredje person) er uten betydning Alstå har vi et uordnet (ikke-ordnet) utvalg. Siden samme person ikke kan velges om igjen til samme delegasjon, har vi et utvalg uten tilbakelegging Konklusjon: Ordnet utvalg uten tilbakelegging Antall måter vi kan velge denne delegasjonen på er da: n over s = 10 over 3 = Merk at dette er det samme som å beregne antall måter vi kan dele 10 elementer inn i 2 grupper, hvorav den ene gruppen består av 3 elementer. Ikke overraskende vil vi derfor få samme resultat hvis vi skal dele 10 elementer inn i 2 grupper, hvorav den ene gruppen består av 7 elementer (siden den andre gruppen da må bestå av 3 elementer). Dette gjenspeiles også i binomialkoeffisientene hvor n over s = n over (n-s).

19 Ikke-ordnet uten tilbakelegging Rekkefølge av 2 typer objekter
I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite. Røde og hvite kuler er innbyrdes like. På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke? r h h h h h r r h h n = : Populasjonen består 10 elementer (kuler). s = : En delegasjon på 3 skal velges (eller 7). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler har ingen betydning. Uten tilbakelegging : En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted ad gangen i rekken. Rekkefølge av 2 typer elementer Vi har 10 kuler hvorav 3 er røde og 7 er hvite. Kuler med samme farge er innbyrdes like (vi kan ikke se forskjell på dem). En mulig rekkefølge av disse kan være: rhhhhhrrhh. Her er de røde kulene plassert i posisjonene 1, 7 og 8. Det å beregne hvor mange slike synlige ulike rekkefølger vi kan lage, er det samme som å beregne hvor mange måter vi kan trekke ut 3 kuler uordnet uten tilbakelegging fra ialt 10 kuler (trekk av kulene 1, 7 og 8 svarer til rekkefølgen ovenfor, trekk av kulene 2, 5 og 9 svarer til rekkefølgen hrhhrhhhrh osv) Vi har 10 kuler å velge blant. Altså n=10. Vi skal trekke ut 3 kuler. Altså s=3. Fra argumentene ovenfor har vi uordnet (ikke-ordnet) utvalg uten tilbakelegging. Antall måter vi kan trekke ut 3 kuler på er da: n over s = 10 over 3 = Merk at dette er det samme som å beregne antall måter vi kan dele 10 elementer inn i 2 grupper, hvorav den ene gruppen består av 3 elementer. Ikke overraskende vil vi derfor få samme resultat hvis vi skal dele 10 elementer inn i 2 grupper, hvorav den ene gruppen består av 7 elementer (siden den andre gruppen da må bestå av 3 elementer). Dette gjenspeiles også i binomialkoeffisientene hvor [n over s] = [n over (n- s)]. Eks: r-h-h-h-h-h-r-r-h-h Dette er en av rekkefølge-mulighetene og svarer til en av muligheten for å trekke 3 elementer fra en populasjon på 10 elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene).

20 Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke
En lottokupong består av tallene 1,2,3,…,34. En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene. Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto? … … 34 n = : Populasjonen består 34 elementer (tall). s = : En lottorekke består av 7 tall. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning ( = ). Uten tilbakelegging : Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke. I en lottorekke har vi 34 tall å velge blant. Altså n=34. Vi skal velge 7 tall til en enkelt lottorekke. Altså n=7. Rekkefølgen er uten betydning (lottorekken er det samme som lottorekken Alstå har vi et uordnet (ikke-ordnet) utvalg. Siden samme tall ikke kan velges mer enn en gang pr rekke, har vi et utvalg uten tilbakelegging Konklusjon: Uordnet utvalg uten tilbakelegging Antall mulige enkeltrekker i lotto er da: n over s = 34 over 7 =

21 Grupperinger - 2 grupper
Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging) på s elementer fra en populasjon på n elementer kan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper: Gruppe nr 1: s1 = s elementer Gruppe nr 2: s2 = n-s elementer Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på: Fra side 18 merket vi oss at antall ikke-ordnede utvalg uten tilbakelegging er det samme som antall måter vi kan dele inn et gitt antall elementer i to grupper. Antall slike grupper er n over s og det kan vises at dette er lik n!/[s!(n-s)!]. For å få full symmetri i formelen setter vi antall i gruppe nr 1 lik s1=s og antall i gruppe nr 2 lik s2=n-s. Dermed vil antall grupper kunne skrives som n!/[s1!s2!].

22 Grupperinger - 3 grupper
En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s elementer Gruppe nr 2: s elementer Gruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på: Vi skal dele n antall elementer inn i tre grupper. Antall elementer i hver gruppe skal være: Gruppe nr 1: s1 Gruppe nr 2: s2 Gruppe nr 3: s3 = n - s1 - s På hvor mange måter kan vi lage 3 slike grupper? Antall måter vi kan lage gruppe nr 1 på er n over s1. Til å lage gruppe nr 2 har vi nå n-s1 antall elementer å velge mellom. Antall måter vi kan lage gruppe nr 2 på er derfor n-s1 over s2. Gruppe nr 3 er nå automatisk laget (resterende elementer). I følge produktregelen (multiplikasjonsregelen) vil nå produktet av disse to antall måter gi oss svar på oppgaven. Igjen får vi full symmetri i formelen: n!/[s1!s2!s3!].

23 Grupperinger - r grupper
En populasjon på n elementer skal deles i r grupper: Gruppe nr 1: s elementer Gruppe nr 2: s elementer ….. Gruppe nr r: sr = n-s1-s2-….. -sr-1 elementer Antall måter å sette sammen de r gruppene på: Vi generaliserer fra forrige side og deler n antall elementer inn i r grupper. Antall elementer i hver gruppe skal være: Gruppe nr 1: s1 Gruppe nr 2: s2 Gruppe nr r: sr = n - s1 - s sr På hvor mange måter kan vi lage r slike grupper? I følge produktregelen (multiplikasjonsregelen) får vi: n!/[s1!s2!...sr!].

24 Grupperinger - Eksempel
En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s = 5 elementer Gruppe nr 2: s = 2 elementer Gruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 = 3 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på: Med resultatene fra forrige side kan vi nå løse følgende oppgave: elementer skal deles inn i tre grupper hvor hver gruppe skal bestå av: Gruppe nr 1: s1 = 5 elementer Gruppe nr 2: s2 = 2 elementer Gruppe nr 3: s3 = 3 elementer Hvor mange måter kan dette gjøres på? Svaret er: 10!/[5!2!3!] = 2520

25 Binomialkoeffisient - Definisjon
Binomialkoeffisienten ( ) er definert som: k Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging) som vi kan ta ut av en n-mengde. Ved trekking av et uordnet utvalg uten tilbakelegging har vi benyttet den såkalte binomialkoeffisienten n ( ) som leses n over k k Etter våre tidligere betraktninger er det nå rimelig med følgende definisjon: Binomialkoeffisienten n over k er definert som: Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging) som vi kan ta ut av en n-mengde Det kan vises at denne binomialkoeffisienten er lik n!/[k!(n-k)!].

26 Binomialkoeffisient - Egenskaper
Binomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s Det kan enkelt vises at binomialkoeffisienten definert på forrige side har egenskapene vist i figuren til venstre.

27 Binomialkoeffisient - Pascals trekant
Benytter relasjonen: = Ved å benytte en av egenskapene fra forrige side kan vi enkelt lage oss den såkalte Pascals trekant. Alle elementene i venstre kolonne er lik 1. Alle de øverste elementene i hver kolonne er lik 1. De øvrige elementene i trekanten beregnes som summen av to elementer fra raden ovenfor: Elementet rett ovenfor + Elementet rett til venstre for sistnevnte Denne Pascals trekant kan benyttes til enkelt å beregne koeffisientene i uttrykk av typen: (a+b)^n Eksempel: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^ Se neste side.

28 Binomialformel Her står den såkalte binomialformelen som vi benyttet på foregående side Videre vises et eksempel med beregning av (x+4)^2.

29 Binomialformel - Bevis
Bevis for binomialformelen fra forrige side.

30 END

31 Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging. Vi har n elementer. Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger. ….. r1 r2 rn Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r1, r2, …, rn) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha:  ri = s . Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at  ri = s . Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r1+ r2 + … + rn) = n-1+s = n+s-1 antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner. Svaret på dette er: Med egenskapene til binomialkoeffisienter kan det vises at dette også er lik:

32 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis I

33 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis II

34 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis III

35 Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis IV

36 Binomialkoeffisient - Formelutledning