Numerical linear algebra

Presentasjon om: "Numerical linear algebra"— Utskrift av presentasjonen:

1 Numerical linear algebra
Iterative methods

2

3 Gauss–Seidel iterasjonsmetode, diagonaldominant

4 Fikspunktteoremet igjen!
Kontraksjon gir konvergens. Derivert mindre enn 1 gir konvergens. Newtons metode for minste kvadrat løsning gir et ikke-lineært flerdimensjonalt eksempel – men konvergens kan være vanskelig å avgjøre. Kontraksjon er bare tilstrekkelig. I praksis ofte prøving og feiling. Det som virker virker  GPS problem er et konkret eksempel – jf forelesning og øvinger. Løsning av lineære ligninger STORE GLISNE SYSTEM ved iterasjon gir flere eksempel: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, … Vektor-, matrise-norm og kondisjonstall for konvergens og robusthet.

5

6

7 Jacobi and Gauss-Seidel Iteration

8

9

10

11 Gauss-Seidel konvergerer dersom en av følgende tilstrekkelige kriterier er oppfylt
A er strikt diagonalt dominant (intuitivt via Jacobi konvergens). A er selvadjungert og positivt definit. Matrisen C fra forrige slides har norm mindre enn 1. Konvergens er sikret hvis og bare hvis absoluttverdien til største egenverdi til C er mindre enn 1: Spektralradius < 1.

12

13

14 Vector and Matrix Norms

15

16

17 Matrix Entries and right-hand side
Inaccurate equation Matrix Entries and right-hand side

18