Operasjonsanalytiske emner Heltallsvariabler og binærvariabler Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 6 Integer Linear Programming

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Når en eller flere variabler i et LP problem må anta heltallsverdier har vi et heltallsproblem, Integer Linear Programming (ILP) problem. Det finnes ulike typer heltallsproblemer: Alle variablene må være heltall ILP – Integer Linear Programming. Ikke alle variablene må være heltall MIP – Mixed Integer Programming. Dvs. noen variabler kan være kontinuerlige. Det finnes to typer heltallsvariabler: Generelle heltallsvariabler {0, 1, 2, 3, …} Binærvariabler {0, 1} Introduksjon 2

Rasmus Rasmussen3 Mulighetsområdet og heltallsløsninger X1X1 X2X2 2,75 3,5 2,5·X 1 + 1·X 2 ≤ 8,75 1·X 1 + 3·X 2 ≤ 8,25 X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8, Mulighetsområdet til LP problemet De røde punktene angir mulige heltallsløsninger

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER4 Fem lønnsomme prosjekter krever investeringer de neste 3 årene, men tilgjengelig kapital er begrenset: Et prosjektvalgsproblem Investeringsbehov ProsjektÅr 1År 2År 3Nåverdi Tilgjengelig kapital25 Hvilke prosjekter skal velges for å få størst mulig nåverdi totalt, uten å overskride budsjettgrensene?

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER5 1.Forstå problemet. 2.Identifiser beslutningsvariablene. Merk at alle variablene er heltall, og binære: X j  {0, 1} 3.Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. Vi mottar bare nåverdiene til de prosjektene som velges, og får ingen ting fra de som ikke velges: Max Z = 20X X X X X 5 Merk at om for eksempel prosjekt 2 ikke velges så er X 2 = 0. Målfunksjonen summerer altså bare nåverdien til de prosjektene som velges (dvs. der X j = 1). 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER6 4.Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1. Totalt investert i år 1 kan ikke overstige 25. 5X 1 + 4X 2 + 3X 3 + 7X 4 + 8X 5  Totalt investert i år 2 kan ikke overstige 25. 1X 1 + 7X 2 + 9X 3 + 4X 4 + 6X 5  Totalt investert i år 3 kan ikke overstige 25. 8X X 2 + 2X 3 + 1X X 5  25 5.Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X i  {0, 1}for alle i = 1, 2,.., 5 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER7 LP Modellen for Prosjektvalg Max Z =20X X X X X 5 (0) Slik at:5X 1 + 4X 2 + 3X 3 + 7X 4 + 8X 5  25(1) 1X 1 + 7X 2 + 9X 3 + 4X 4 + 6X 5  25(2) 8X X 2 + 2X 3 + 1X X 5  25(3) X1X1 X 2 X 3 X 4 X 5  {0, 1}(4)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER8 Angi binærvariabler i Solver

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER9 ILP – Prosjektvalg i regneark CelleFormelKopieres til D8=SUMPRODUCT($C$3:$C$7;D3:D7)E8:F8

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER10 Prosjekt 4 må velges hvis enten prosjekt 1 eller 3 velges. X 4  X 1 X 4  X 3 Disse restriksjonene vil i sum sikre at hvis prosjekt 1 eller 3 velges, så må også prosjekt 4 velges. Prosjekt 2 og 4 er gjensidig utelukkende. X 2 + X 4  1 Denne restriksjonen sørger for at maksimalt ett av prosjektene 2 og 4 kan gjennomføres, ikke begge. Modellere logiske betingelser

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER11 Hvis prosjekt 1 og 2 velges samtidig, så må også prosjekt 5 velges. Og tilsvarende hvis prosjekt 5 velges, så må prosjekt 1 og 2 velges. X 1 + X 2 ≥ X X 5 ≤ X 1 X 5 ≤ X 2 Første restriksjon sikrer at hvis både prosjekt 1 og 2 velges, så må også prosjekt 5 velges. De to siste restriksjonene vil i sum sikre at både prosjekt 1 og 2 velges hvis prosjekt 5 velges. Modellere logiske betingelser

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER12 I Sudoku skal en 9 x 9 tabell underdelt i 9 ikke-over- lappende 3 x 3 tabeller fylles ut med heltallene 1 – 9. Betingelsene er: hver at de 9 radene skal inneholde alle tallene fra 1 – 9. Hver av de 9 kolonnene skal inneholde alle tallene fra 1 – 9. Hver av de 9 sub-tabellene skal inneholde alle tallene fra 1 – 9. Merk at i dette problemet er det ingen målfunksjon. Alldifferent Alldifferent restriksjonen i Solver kan benyttes her. Modellere Sudoku som ILP

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Restriksjonene i Sudoku

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER14 Vi trenger en Alldifferent restriksjon for hver av de 9 linjene. Vi trenger en Alldifferent restriksjon for hver av de 9 kolonnene. Vi trenger en Alldifferent restriksjon for hver av de 9 sub-matrisene. En Alldifferent restriksjon kan ikke overlappe en annen. Sudoku og Solver Vi lager da 3 tabeller: en for linjene, en for kolonnene og en for sub-matrisene. Alle cellene i Alldifferent restriksjonene må være beslutningsvariabler. Vi får da totalt 3 tabeller med (9x9) = 243 heltallsvariabler. Disse 3 tabellene må være like (vi lager 3 tabeller pga. logiske begrensinger til Alldifferent restriksjon), og de må tilfredsstille kravene til de oppgitte tallene.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER15 Løse Sudoku med Solver CelleFormelKopieres til B25=IF(ISNUMBER(B3);B3-B14;0))B25:J33

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER16 I dekningsproblemer skal en lokalisere et eller flere hjelpemiddel slik at det dekker behovet til brukerne. I dette eksemplet skal nødtelefoner utplasseres for å dekke 11 gater (navngitt A – K). Det er på forhånd utredet 8 mulige lokaliseringer, som dekker en eller flere av disse gatene. Kostnadene ved å utplassere en nødtelefon er den samme uansett hvor den lokaliseres. Dekningsproblemer (Set Covering)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER17 I hvilke punkter (1-8) bør det utplasseres nødtelefoner, slik at alle gater (A-K) dekkes på billigste måte? Dekningsdata A ED C B FG H I J K

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER18 LokaliseringKostABCDEFGHIJK Punkt 1111 Punkt Punkt 3111 Punkt Punkt Punkt Punkt Punkt 8111 Dekningskoeffisienter Tabellen med dekningskoeffisientene gir samme informasjon som dekningsgrafen, og kan også inneholde kostnadsdata.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER19 1.Forstå problemet. 2.Identifiser beslutningsvariablene. 3.Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. Vi minimerer kostnadene ved å utplassere minst mulig hjelpemiddel. Min Z = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 Merk at i dette tilfellet er kostnadene for hver hjelpemiddel satt lik 1. Ofte vil disse kostnadskoeffisientene variere for de ulike hjelpemidlene, eller variere med lokaliseringene. 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER20 4.Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1. Hvert behov (gate) må dekkes av minst ett hjelpemiddel (nødtelefon). 5.Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X j  {0, 1}for alle j = 1, 2,.., 8 5 trinn i formulering av LP modeller: A X1X1 + X 2 ≥ 1 B X2X2 + X 3 ≥ 1 C X4X4 + X 5 ≥ 1 D X7X7 + X 8 ≥ 1 E X6X6 + X 7 ≥ 1 F X2X2 + X 6 ≥ 1 G X1X1 ≥ 1 H X4X4 + X 7 ≥ 1 I X2X2 + X 4 ≥ 1 J X5X5 + X 8 ≥ 1 K X3X3 + X 5 ≥ 1

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER21 LP modellen for dekningsproblemet Min Z =X1X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 (0) Slik at: X1X1 + X 2 ≥ 1 (1) X2X2 + X 3 ≥ 1 (2) X4X4 + X 5 ≥ 1 (3) X7X7 + X 8 ≥ 1 (4) X6X6 + X 7 ≥ 1 (5) X2X2 + X 6 ≥ 1 (6) X1X1 + X 6 ≥ 1 (7) X4X4 + X 7 ≥ 1 (8) X2X2 + X 4 ≥ 1 (9) X5X5 + X 8 ≥ 1 (10) X3X3 + X 5 ≥ 1 (11) X1X1 X 2 X 3 X 4 X5X5 X 6 X 7 X 8  0(12)

BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER22 Symboler Beslutningsvariabler: Vi skal bestemme hvor vi skal plassere nødtelefonene. Merk at vi kan etablere så mange nødtelefoner vi ønsker (men ikke mer enn én i hvert potensielt område). nantall potensielle lokaliseringsområder Nmengden av områderN = {1, 2,..., n} kantall kunder som skal betjenes/behov som skal dekkes Kmengden av kunderK = {1, 2,..., k} Gmengden av greiner, dvs. celler i dekningskoeffisientmatrisen G = {(N×M)} cjcj Fast kostnad ved å etablere en fasilitet i område j j  N a jk dekningskoeffisient a jk = 1 hvis behov k kan dekkes fra område j a jk  {0; 1}; (j,k)  G UjUj U j = 1 hvis et hjelpemiddel lokaliseres i område j, ellers 0 U j  {0; 1} ; j  N Rasmus Rasmussen

BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER23 Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totale faste kostnader. Denne målfunksjonen summerer kun faste kostnader for de nødtelefonene som opprettes.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER24 Matematisk formulering Restriksjoner: Sum nødtelefoner som dekker gaten/behovet må være minst 1. Denne summen vil telle opp alle nødtelefoner som dekker en bestemt gate k, forutsatt at nødtelefonen er installert. Restriksjonen må gjelde for alle gater (K).

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER25 Dekningsproblem løst i regneark CelleFormelKopieres til C11=SUMPRODUCT(C3:C10;$D$3:$D$10)E11:O11

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER26 For kontinuerlige variabler kan målfunksjonen inneholde proporsjonale variable kostnader eller inntekter (konstant enhetskostnad eller pris). Ofte inngår det også faste kostnader, kostnader som påløper om en aktivitet utføres, men som ikke påløper hvis aktiviteten ikke utføres. Eksempler på slike faste kostnader kan være kostnader som påløper for å klargjøre produksjonsutstyret. Faste kostnader

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER27 En bedrift har to produksjonslinjer som kan brukes til å produsere tre ulike produkter. Produksjonen skal planlegges for de neste 6 måneder. Udekket etterspørsel er tapt (ingen restordrer). Klargjøre produksjon Problem 9.1C-6 Etterspørsel ProduktLagerkost/mndIB LagerMnd 1Mnd 2Mnd 3Mnd 4Mnd 5Mnd 6 10, , ,

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER28 Det påløper omstillingskostnader hver gang en produksjonslinje omstilles til et annet produkt. Klargjøre produksjon Problem 9.1C-6 Produksjonskapasitet pr. mnd.Enhetskostnader Produkt 1Produkt 2Produkt 3Produkt 1Produkt 2Produkt 3 Linje ,-8,-15,- Linje ,-6,-10,- Omstillingskostnader Produkt 1Produkt 2Produkt 3 Linje 1200,-180,-300,- Linje 2250,-200,-174,-

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER29 Enkelt tall-eksempel for ett produkt

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER30 1.Forstå problemet. Noen ganger er det lettere å forstå problemet ved å prøve å lage et enkelt regneark først. 2.Identifiser beslutningsvariablene. 1. Vi må selvsagt bestemme størrelsen på produksjonen for hvert av de tre produktene i hver av de 6 periodene. Men vi må også bestemme på hvilken produksjonslinje produksjonen skal foregå. X ptl = Mengde produsert av produkt p = 1, 2, 3 i periode t = 1, 2,…,6 på linje l = 1, Produksjonslinjene må imidlertid klargjøres for de ulike produktene: Y ptl = 1 hvis det er klargjort for produkt p i periode t på linje l; ellers er Y ptl = Å endre setup til et annet produkt medfører en ekstra kostnad. Vi trenger en ny variabel V ptl = 1 hvis setup endres for produkt p i periode t = 2,…,6 på linje l; ellers er V ptl = Vi må også beregne UB lager for hvert produkt i hver periode, for å beregne lagerkost: UB pt = UB lager av produkt p i periode t = 0, 1, 2,…, 6. 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER31 3.Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. 1. La enhetskostnaden for å produsere produkt p på linje l være c pl. Totale produksjonskostnader blir da: 5 trinn i formulering av LP modeller Totale produksjonskostnader for produkt 1..3 på linje 1 og 2 i periode 1 – La kostnaden for å endre setup for produkt p på linje l være s pl. Total setupkostnad blir: Totale setupkostnader for produkt 1..3 på linje 1 og 2 i periode 1 – 6.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER32 3. La månedlig lagerkostnad pr stk. for produkt p være h p. Totale lagerkostnader blir da: Målfunksjon (forts.) Totale lagerkostnader for produkt 1..3 i periode 1 – 6. Sum produksjonskostnader, setupkostnader og lagerkostnader for alle produktene på alle produksjonslinjene i alle periodene blir da:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER33 4.Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1. Når setup for produkt p på linje l i periode t endres, så må vi ha: 5 trinn i formulering av LP modeller: Hvis det er satt opp produksjon av produkt p på linje l i periode t, men ikke i forutgående periode, så er det en endring i setup. Ingen endring hvis differansen er 0 eller negativ. 2. Vi kan bare ha setup for ett produkt på en gitt produksjonslinje en gitt periode: Totalt antall setup på linje l i periode t kan maksimalt være lik 1. Merk: Totalt 2 x 6 = 12 restriksjoner.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER34 3. UB lager for produkt p i periode t er lik: IB lager (UB forrige periode) + produksjon – etterspørsel (E pt ): Restriksjoner (forts): Merk at denne restriksjonen er en definisjon, og derfor angitt som = (likhet). Vi kan dermed modellere lageret med formler i regnearket, istedenfor å legge inn restriksjoner i Solver. (Det er totalt 3 x 6 = 18 restriksjoner for lageret.) UB lager = IB lager + total produksjon - etterspørsel for alle produkt i alle perioder. 4. IB lager + produksjon må dekke etterspørselen, ellers vil lageret bli negativt. UB lager kan ikke være negativ.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER35 5. Vi kan ikke produsere produkt p på linje l i periode t hvis vi ikke har satt opp linjen til å produsere dette produktet da. La a pl være produksjonskapasiteten for produkt p på linje l: (lik i alle perioder) Restriksjoner (forts): Det er ikke kapasitet til å produsere produkt p på linje l i periode t hvis ikke produksjonslinje l er satt opp til å produsere produkt p i periode t. 5.Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. 1. Vi kan ikke ha negative produksjonskvanta: X p,l,t  0for alle p = 1, 2, 3; l = 1, 2; t = 1, 2,…,6 2. Vi kan ikke ha negative lagerbeholdninger (allerede nevnt): UB p,t  0for alle p = 1, 2, 3; t = 1, 2,…,6 3. Øvrige variabler er binærvariabler: Y p,l,t  {0, 1} for alle p = 1, 2, 3; l = 1, 2; t = 1, 2,…,6 V p,l,t  {0, 1} for alle p = 1, 2, 3; l = 1, 2; t = 2, 3,…,6

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER36 Omstillingskostnader CelleFormelKopieres til F7=F3-E3F7:J8; F22:J23; F37:J38 E9=$B9*E3E9:J10; E24:J25; E39:J40 E14=D14+SUM(E11:E12)-E13E14:J14; E29:J29; E44:J44 K5=SUM(E5:J5)*B5 K5:K6; K11:K12; K14; K20:K21; K26:K27; K29; K35:K36; K40:K41; K44 K15=SUM(K5:K14)K30; K45 K46=K15+K30+K45- E48=E3+E18+E33E48:J49

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER37 Optimal produksjonsplan Linje 1 P Linje 2 P P P 2 Svakheter ved problemformuleringen: Målfunksjonen minimerer kostnader, og ignorerer inntekter. Burde heller maksimert resultatet. UB lager siste periode vil bli 0, med mindre restriksjoner legges inn som sikrer et minimumsnivå på sluttlageret.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER38 Bedriften ikke kan selge mer enn etterspørselen. Salgsprisene er konstante over tid. Formulere mulighet for inntekter ProduktSalgspris Vi må legge til en ny beslutningsvariabel. La S pt = Mengde solgt av produkt p = 1, 2, 3 i periode t = 1, 2,…,6. I den forrige formuleringen antok vi at salget var lik etterspørselen. La b p = enhetspris for produkt p = 1, 2, 3.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER39 Vi må nå maksimere resultatet, dvs. inntektene minus kostnadene. Ny målfunksjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER40 Endret produksjon med inntekter

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER41 Krav om sluttlager

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER42 Restriksjoner som ikke er tilfredsstilt samtidig (Enten- Eller), eller restriksjoner som er avhengige (Hvis-Så) kan reformuleres til additive («og») restriksjoner. En bedrift har en maskin som skal utføre 3 jobber. Tidsforbruk, ferdigstillingsdato og dagmulkter er: Enten-Eller og Hvis-Så restriksjoner ProduktTidsforbruk (dager)FerdigstillingsdagDagmulkt , , ,- En ønsker å finne jobbsekvensen som minimerer sum dagmulkt.

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER43 1.Forstå problemet. Vi skal her bestemme rekkefølgen på jobbene, slik at dagmulktene blir minst mulig. 2.Identifiser beslutningsvariablene. Variabelen er egentlig heltall, og vil indikere rekkefølgen på jobbene. Her har vi et eksempel på at vi trenger ekstra variabler for å kunne formulere restriksjonene lineært. Vi trenger en kontroll på at jobbene ikke går samtidig, og i tillegg restriksjoner for ferdigstillingsdato. Ferdigstillingsdatoen kan avvikes, og ved overskridelser påløper dagmulkt. Vi trenger dermed også avviksvariabler. 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER44 To jobber i og j med produksjonstid p i og p j vil ikke foregå samtidig hvis: Jobb j starter først: Eller Jobb i starter først: Disse restriksjonene er enten eller, begge kan ikke tilfredsstilles samtidig. For å kunne lage additive restriksjoner trenger vi en ny variabel: For en tilstrekkelig stor M, kan vi gjøre restriksjonene additive: Jobb j starter først: Og Jobb i starter først: Begge disse restriksjonene kan oppfylles samtidig, og sikrer riktig sekvens. Beslutningsvariabler og restriksjoner

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER45 Merk at vi må sammenligne alle mulige kombinasjoner av par av jobber. For x antall objekter trukket fra en populasjon på n objekter, er antall mulig kombinasjoner lik: Vi har her en populasjon på n = 3 jobber, og skal trekke ut x = 2 jobber. Det gir i alt: Vi må derfor lage i alt 3 slike sett av doble restriksjoner for å sikre korrekt sekvens mellom jobbene. Beslutningsvariabler og restriksjoner

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER46 Om d j er ferdigstillingsdag for jobb j, så påløper det dagmulkt hvis: Vi kan bruke avviksvariabler (angitt med – hvis jobben er ferdig før tiden, og + angir at ferdigstilling skjer etter tidsfristen): Maksimalt en av avviksvariablene vil være positiv, begge vil ikke kunne være positiv samtidig. 3.Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. La dagmulkten for jobb j være lik m j. Målfunksjonen blir da: Beslutningsvariabler og målfunksjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER47 4.Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1. Vi har i alt 3 x 2 = 6 restriksjoner for kontroll av sekvensen mellom jobbene. 2. Vi har 3 restriksjoner (med avviksvariabler) for ferdigstilling av jobbene. 5.Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. 5 trinn i formulering av LP modeller:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER48 LP Modellen for sekvensvalg Min Z =19S S S 3 + (0) Slik at:X1X1  X 2 + MY 1,2  20(1)  X 1 + X 2  MY 1,2  5 – M(2) X1X1  X 3 + MY 1,3  15(3)  X1  X1 + X 3  MY 1,3  5 – M(4) X2X2  X 3 + MY 2,3  15(5)  X2 X2 + X 3  MY 2,3  20 – M(6) X1X1 + S 1   S 1 + =25 – 5(7) X2X2 + S 2   S 2 + =22 – 20(8) X3X3 + S 3   S 3 + =35 – 15(9) Y 1,2 Y 1,3 Y 2,3  {0, 1}(10) X1X1 X 2 X 3 S 1  S 1 + S 2  S 2 + S 3  S 3 +  0(11)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER49 Produksjonssekvens i regneark CelleFormelKopieres til K3 =IF($B3>=K$2;0; $C$6*I3 +INDEX($F$3:$F$5;$B3)-INDEX($F$3:$F$5;K$2) -INDEX($C$3:$C$5;K$2)) K3:L4 M3 =IF($B3>=K$2;0; $C$6*(1-I3) +INDEX($F$3:$F$5;M$2)-INDEX($F$3:$F$5;$B3) -INDEX($C$3:$C$5;$B3)) M3:N4 O3=F3+C3+G3-H3O4:O5 E6=SUMPRODUCT(E3:E5;H3:H5)-

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER50 Anta at en i forrige eksempel også hadde følgende betingelser: Hvis jobb i utføres før jobb j, så må jobb k utføres før jobb m. Matematisk vil det uttrykkes som: Hvis – Så restriksjoner For en ekstremt liten og strengt positiv verdi på  (>0) og en tilstrekkelig stor M, kan følgende to simultane restriksjoner erstatte «Hvis – Så» restriksjonene:

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER51 Slutt på kapittel 9