Gottlob Frege (1848-1925) Ga den første aksiomatisering av utsagnslogikk. (Oppfant dessuten predikatlogikk og mye annet, og regnes som den moderne logikks.

Slides:



Advertisements
Liknende presentasjoner
Senterpartiet Vi tar hele Norge i bruk.
Advertisements

Visma Contracting/SuperOffice kontakt/kunde og prosjekt/anlegg integrasjon Denne presentasjonen vil vise noen skjermdumper og kort info om hvordan integrasjonen.
Visma Contracting/SuperOffice kontakt/kunde og prosjekt/anlegg integrasjon Denne presentasjonen vil vise noen skjermdumper og kort info om hvordan integrasjonen.
Bruke Gmail 3a Gmail er et e-postprogram.
Velkommen som spiller i aksjespillet.
The Travelling Salesperson. LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Et forsyningsskip skal starte fra VestBase for å betjene 10 forskjellig installasjoner.
Å skrive en sakpreget tekst
Skaperen, ordneren og danseren
Versjon 16 Nye klienter. Fra 10 til 4 ALEPH modulsammenslåing.
Oppstart Hoveddel Avslutning Hver elev taster et 7-sifret tall. Det skal ha fire tall før komma og tre sifre etter komma og det skal ikke inneholde.
”TALL-LINJEN” Positive og negative tall
Kap 01 Mengdelære Mengdelære er et eget område innen matematikk som etterhvert har fått et stort anvendelsesområde, bl.a. innen statistikk.
René Descartes (1596–1650) Innførte koordinatsystemet
Vi har lært å bestemme: - Nullpunkter (y=0)
Slutningsformer, bevis og sannsynlighet
Levanger kommune Rådmannen Regnskap 2008 – Ola Stene Regnskapsresultat 2008 Selv om regnskapsresultatet ble bedre enn budsjettert, er det svakere enn året.
Gjenfinningssystemer og verktøy II
Gjenfinningssystemer og verktøy II
Historiske funderinger.
Eksempel AOA (Activity On Arc)
Forside Motivasjon Analyse Forside Motivasjon Analyse  -notasjon O og  Relasjoner Klasser Fallgruver Spørsmål Kompleksitetsanalyse Åsmund Eldhuset asmunde.
Innskriving av data (1) 1. Slik ser dataeditoren ut fra start.Vi
Del- operator Egenskaper. Del-operator Definisjon Notasjon Del-operator.
Komplekse tall Naturlige tall
Elektroniske verktøy Diakonhjemmet august Verktøyene Disse verktøyene blir brukt på ditt studium Epost Studentweb Its learning.
Noen valg er viktigere Arbeidslivet etter Stortingsvalget 2013.
Sjøveis transport i Nord Norge sett fra LTLs ståsted.
Dynamiske nettsider PHP Del 2 – Kontrollstrukturer.
Guds Apotek.
NÅ SKAL VI LÆRE OM LIKNINGER.
Oppgave 1. Automaten aksepterer språket over alfabetet {a,b} bestående av strenger med et like antall forekomster av a og et like antall forekomster av.
Disjunktiv normalform, oppsummering Et litteral… er en utsagnsvariabel eller negasjonen av en utsagnsvariabel. P  P Q S  R En fundamental konjunksjon.
Disjunktiv normalform, oppsummering Et litteral… er en utsagnsvariabel eller negasjonen av en utsagnsvariabel. P  P Q S  R En fundamental konjunksjon.
HUMIT 1750 Høsten 2005 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer til Obligatorisk oppgave 1 Vi hadde gitt de tre setningene A: Regntøyet er hjemme eller.
En formel er i prenex normalform hvis den kan skrives som en streng av kvantorer etterfulgt av en kvantorfri del. Disse to delene omtales henholdsvis som.
Politikkens medierammer Av Aslak Bonde Frittstående politisk analytiker Erfaring fra NRK Dagsnytt og Aftenpostens politiske redaksjon.
Laplace Invers transformasjon Residue
Høyrelineær grammatikk A  Λ A  cA A  caa S  A S  abS S  baS dvs. en kontekstfri grammatikk der hver produksjon - har høyst en ikketerminal på høyresiden,
En repetisjon hrj – høst 2010
Induktivisme – det klassiske vitenskapssynet FYS2150LAP Februar 2006.
Forkastninger og deres kartbilde
SMP = +(F1*L1) = +(10N*2m) = +20Nm
28. juni 1919: Statsminister David Lloyd George Statsminister George Clemenceau President Woodrow B. Wilson.
Om det å skrive et dokument for en rådmann Økonomiplan, budsjett, årsmelding, eller tertialrapport.
En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger Utsagnslogikk Tolkning = linje i sannhetsverditabell Altså: En formel er gyldig hviss den har T i.
Deterministisk endelig automat (DFA) (over språk A) Består av - en ikke-tom mengde Q av tilstander - hvor nøyaktig en er utpekt som start-tilstand - og.
Om syntaks Herman Ruge Jervell
INF1800 Logikk og Beregnbarhet. Lærebok: Discrete Structures, Logic, and Computability Utdrag blir pensum. Obs: Første opplag inneholder mange feil, andre.
Vi sier at formlene A og B er ekvivalente og skriver A  B hviss (A  B)  (B  A) er gyldig dvs. A og B har samme sannhetsverdi i alle tolkninger. Logisk.
Kermit kysser Askepott. Kysser(kermit,askepott) Første ordens predikatlogikk relasjonssymbol individkonstanter.
Kompletthetsteoremet
Et bevis 1 Q → R P 2 P → Q P 3 P P 4 Q 3,2,MP 5 R 4,1,MP 6 P → R 3,5,CP 7 (P → Q) → (P → R) 2,6,CP 8 (Q → R) → ((P → Q) → (P → R)) 1,7,CP Vi oppsummerer.
En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger Utsagnslogikk Tolkning = linje i sannhetsverditabell Altså: En formel er gyldig hviss den har T i.
Vi sier at formlene A og B er ekvivalente og skriver A  B hviss (A  B)  (B  A) er gyldig dvs. A og B har samme sannhetsverdi i alle tolkninger. Logisk.
INF1400 – Kap4rest Kombinatorisk Logikk.
Mer om predikatlogikk Formalisering av norske setninger i første ordens predikatlogikk Funksjonssymboler Syntaks Gyldighet Noen gyldige formler Tillukninger.
WFF – Well formed formula Streng av utsagnsvariabler (P,Q,R…), sannhetssymboler, konnektiver og parenteser, bygd opp etter følgende induktive regler: 
§4. Irrasjonale og komplekse tall
Matematikk/literacy LUB Elise Klaveness
Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard for Vitenfabrikken i Sandnes Induksjonsbevis.
HUMIT1750 Logikk og Beregninger.
Lokallagsledermøte Om økonomi – om felles forståelse og forutsigbare løsninger Johannes Rindal.
Fjerde kolonne… … i bevisene holder rede på hvilke premisser de enkelte utsagnene avhenger av. Reglene for slik ”bokføring”er som følger: Et premiss avhenger.
Kompletthetsteoremet
Sammenlign funnet i meteoritten med celler.
Bruk av skjermer Allan Livgård 5. Januar 2018
Hva er funksjoner og når bruker vi det?
Hvordan IKKE kommunisere
Makroøkonomi for økonomer BI Trondheim Johannes Mauritzen K9.2 Steigum
MÅLING AV SOLHØYDE Grublespørsmål
Utskrift av presentasjonen:

Gottlob Frege ( ) Ga den første aksiomatisering av utsagnslogikk. (Oppfant dessuten predikatlogikk og mye annet, og regnes som den moderne logikks far.) George Boole ( ) “Oppfant” utsagnslogikk

Freges aksiomer (for implikasjon og negasjon) A → (B → A) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) (A → (B → C)) → (B → (A → C)) (A → B) → (¬B → ¬A) ¬¬A → A A → ¬¬A Pluss én slutningsregel: Modus Ponens.

Frege/Łukasiewicz- aksiomene A → (B → A) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) (A → (B → C)) → (B → (A → C)) (A → B) → (¬B → ¬A) ¬¬A → A A → ¬¬A (¬A → ¬B) → (B →A) A1 A2 A3

Bevis-eksempel 1(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B →A)) → (A → A))A2 2A → ((B → A) → A)A1 3(A → (B →A)) → (A → A)1,2,MP 4A → (B →A)A1 5A → A3,4,MP Frege/Łukasiewicz

Bevis fra premiss(er) 1 Q → RP 2 (Q → R) → (P → (Q → R))A1 3 P → (Q → R)1,2,MP 4 (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))A2 5 (P → Q) → (P → R)3,4,MP Vi oppsummerer dette ved å skrive Q → R  (P → Q) → (P → R) Frege/Łukasiewicz

Deduksjonsteoremet Hvis A  B, så  A → B Altså: Siden Q → R  (P → Q) → (P → R) gjelder også  (Q → R) → ((P → Q) → (P → R))

Bevis for B fra A omgjøres til bevis for A → B ved å legge til “ A → ” til venstre på hver linje i opprinnelig bevis, og så legge til nye linjer: 1 (Q → R) → (Q → R)PT 2--(Q → R) → (P → (Q → R)) A1 2-((Q → R) → (P → (Q → R))) → ((Q → R) → ((Q → R) → (P → (Q → R)))) A1 2((Q → R) → ((Q → R) → (P → (Q → R)))A12--,2-,MP 3--(Q → R) → ((Q → R) → (P → (Q → R)))) → (((Q → R) → (Q → R)) → ((Q → R) → (P → (Q → R)))) A2 3-((Q → R) → (Q → R)) → ((Q → R) → (P → (Q → R)))2,3--,MP 3(Q → R) → (P → (Q → R))1,2,MP1,3-,MP 4-- (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))A2 4-((P→ (Q→ R))→ ((P→ Q)→ (P→ R))) → ((Q → R) → ((P→ (Q→ R))→ ((P→ Q)→ (P→ R)))) A1 4(Q → R) → ((P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)))A24--,4-,MP 5--((Q → R) → ((P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)))) → (((Q → R) → (P → (Q → R))) → ((Q →P) → ((P → Q) → (P → R)))) A2 5- ((Q → R) → (P → (Q → R))) → ((Q → P) → ((P → Q) → (P → R))) 4,5--,MP 5 (Q → R) → ((P → Q) → (P → R)) 3,4,MP3,5-,MP

Deduksjonsteoremet, generell form Hvis A , A2, …, An  B, så A , A2, …An-1  An → B