Repetisjon kap 6,7,8

Den inverse A er en n*n matrise, A  0 X er den inverse til A hvis XA = AX = In Den inverse til A skrives A-1 Betingelse for at en kvadratisk matrise A  0 har en invers er at | A |  0

Kontrapositivt bevis Anta AX = In  | A | = 0  | AX | = | A | · | X | = | In | = 1 Ligningen | A | · | X | = 1 har løsning  | A |  0

2D matriser A = a b c d |A| = a b = ad – bc c d A-1 = 1 d -b ad - bc -c a Matrise Determinant Den inverse Må huskes!

LØSE LIGNINGER VHA DEN INVERSE A X = B premultipliserer med A-1  A-1 A X = A-1 B  X = A-1 B

Fremgangsmåte til å finne den inverse 1. Danne «dobbelt»-matrisen [ A : In ]n*2n Vha elementære operasjoner overføre denne til [ In : B ] B = A-1 Eksempel 1 3 3 : 1 0 0 1 3 4 : 0 1 0 1 4 3 : 0 0 1 Svaret kan sjekkes ved å vise at AA-1 = I

Finne den inverse av en matrise vha kofaktormetoden Den inverse til A kan skrives som en transponert kofaktormatrise Den inverse kan altså se slik ut Hvor C11 er kofaktor til a11 osv

Generelt ligningsystem a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn = b2 …………………………… am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = bm Koeffisientmatrise a11 a12 ……. a1n A = a21 a22 ……. a2n ……………………. am1 am2 …….. amn   a11 a12 ……. a1n b1 A b = a21 a22 ……. a2n b2 …………………………… am1 am2 …….. amn bm Systemets utvidede matrise

GENERELT LIGNINGSYSTEM a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn = b2 ……………………………………… am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = bm Vektorform x1a1 + x2a2 + …….. + xnan = b a1i ai = a2i  i  1 … n . . . ami b1 b = b2 . bm

x1a1 + x2a2 + …….. + xnan = b a1 ……an Lineært uavhengig  en løsning Lineært avhengig  flere løsninger Lineært avhengig  minst en ai kan skrives som en lineærkombinasjon av de andre ai Lineært uavhengig  Det er ikke mulig å skrive noen ai som lineærkombinasjon av de andre ai

VEKTORENES KOLONNEMATRISE a1 .........an  Rn a11 a12 ……. a1n A = a21 a22 ……. a2n ……………………. an1 an2 …….. ann a1 .........an  Rn er lineært uavhengige  | A |  0

To vektorer er lineært avhengige  de er parallelle a1  a2  a1 = k a2 de definerer en rett linje To vektorer er lineært uavhengige  de er ikke parallelle a1  a2  a1  k a2  a1 og a2 definerer et plan alle vektorer i dette planet kan skrives som lineærkombinasjoner av a1 og a2 dvs alle vektorer i planet kan skrives slik a = c1 a1 + c2 a2

Enhetsvektorer i R3 1 0 0 e1 = 0 e2 = 1 e3 = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0  0 0 0 1 Enhetsvektorene er lineært uavhengige: Gjelder generelt i Rn

HOMOGENT LIGNINGSYSTEM a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn = b2 ……………………………………… am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = bm ALLE bi = 0 a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn = 0 ……………………………………… am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = 0

HOMOGENE LIGNINGSSYSTEM Matriseform AX = B  B = 0 Vektorform x1 a1 + x2 a2 + ...................... xn an = 0 Triviell løsning X = 0 dvs xi = 0  i  1 … n Et homogent ligningssystem har ikke - trivielle løsninger  | A | = 0

n vektorer i Rm er alltid lineært avhengige hvis n > m  Et homogent ligningssystem med flere ukjente enn ligninger har alltid uendelig mange løsninger. x1 + x2 – 2x3 + x4 + 3x5 = 0 2x1 – x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 0 3x1 + 5x2 - 10x3 - 3x4 - 9x5 = 0   Eksempel på system som har minst 2 parametre

Cramers formler xi = | Ai |  i | A | Homogent ligningssett  B = 0  | Ai | = 0  i Hvis | A |  0  xi = 0 = 0  i | A | Gjelder bare |A|  0

Underrom    En delmengde V av vektorer i Rm er et underrom av Rm  a1 + a2  V  a1 a2  V ca  V  a  V &  c  R1 Enhver lineærkombinasjon av to vektorer i V ligger også i V c1a1 + c2 a2  V  a1 a2  V &  c1 c2  R1

V = Sp [a1 .........an ]  V er rommet utspent/generert av vektorene a1 .........an dvs V inneholder alle lineærkombinasjoner av a1 .........an  v  V  v = c1a1 + …….. + cnan ( NB! alle vektorer i V kan skrives slik ) Ligningssystemet x1 a1 + x2 a2 ....................+ xn an = b har løsning  b  Sp [a1 .........an ]

Homogent ligningssystem x1a1 + x2 a2 + ………. + xnan = 0 a1 .........an  Rm Løsning: (x1 x2 ........xn)  Rn Løsningene danner et underrom av Rn En løsning er en slik vektor (x1 x2 ........xn) dvs et punkt   En lineærkombinasjon av en vektor er en rett linje gjennom origo Da har vi en parameter. En lineærkombinasjon av to vektorer som ikke er parallelle, danner et plan gjennom origo. Da har vi to parametre.

a1 a2 a3  R3  a1 a2 a3 er lineært uavhengige  Sp [a1 a2 a3 ] = R3 a1 a2 . …….. an  Rn  a1 a2 ……. an er lineært uavhengige  Sp [a1 a2 ….. an ] = Rn

BASIS V er et underrom av Rm & V = Sp [ a1 ……..an ] vektorene a1 .........an er en basis for V hvis de er er lineært uavhengige Enhver vektor i V kan da skrives som en lineærkombinasjon av a1 .........an Det kan finnes uendelig mange basiser til et underrom Basiser til samme underrom har like mange elementer

Dimensjon Underrommets dimensjon er lik antall elementer i basis Skrives dim V Anta dim V = n  enhver samling av n lineært uavhengige vektorer i V danner en basis for V. U  Rm  V  Rm  U  V  dim U = dim V  U = V

Eksempel U = Sp [ u , v , w ] u, v, w  Rn  alle vektorer i U kan skrives slik u = c1 u + c2 v + c3 w Hvis u , v og w er lineært uavhengige danner de en basis for V Fordi det er 3 elementer i basis, er dim V = 3

a11 a12 ……. a1n A = a21 a22 ……. a2n ……………………. am1 am2 …….. amn RANG A er en m*n matrise. A kan da oppfattes som bestående av n kolonnevektorer av dimensjon m. Definisjon av rang Rangen til A , skrives r (A) er det maksimale antall lineært uavhengige kolonnevektorer i matrisen A. Hvis A = 0  r(A) = 0

Max rang. En matrise av dimensjon mxn kan ikke ha Max rang En matrise av dimensjon mxn kan ikke ha større rang enn den minste av m og n Undermatrise av A Vi tar vekk noen linjer og kolonner   Underdeterminanter Determinanter av kvadratiske undermatriser   1 1 -2 1 3 2 -1 2 2 6 A = 3 5 -10 -3 -9 m = 4 , n = 5 3 2 -4 -3 -9

    1 1 1 2 –1 2 = 18 3 5 -3 Rangen til en matrise A r(A) er lik dimensjonen til den største underdeterminant som ikke er lik 0     Det kan være gunstig å utføre elementære operasjoner på matrisen for å finne rangen

Konsistens Betingelse for løsning Ligningssystemet har minst en løsning hvis og bare hvis rangen til koeffisientmatrisen er lik rangen til systemets utvidede matrise   Systemet er konsistent  r ( A ) = r ( Ab ) r ( A )  r ( Ab )  ingen løsning   a11 a12 ……. a1n b1 A b = a21 a22 ……. a2n b2 …………………………… am1 am2 …….. amn bm a11 a12 ……. a1n A = a21 a22 ……. a2n ……………………. am1 am2 …….. amn

Generelt er r ( Ab )  r ( A ) rangen kan maksimalt være lik den minste av m og n n  m  r ( A ) kan maksimalt bli lik m og da er r ( A ) = r ( Ab ) = m   hvis r ( A ) < max rang kan r ( Ab ) være maksimalt r( A )+ 1 fordi Ab har en kolonne mer enn A

Homogent ligningssystem a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn = 0 ……………………………………… am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = 0   x1 = x2 =................ = xn = 0 Triviell løsning Et homogent ligningssystem har ikke-trivielle løsninger hvis og bare hvis rangen til systemets matrise er mindre enn antall ukjente n > r( A ) dim V = n - r ( A )