Managerial Decision Modeling A Practical Introduction to Management Science, 5ed by Cliff Ragsdale

LOG350 Operasjonsanalyse2 Rasmus Rasmussen Sensitivity Analysis Chapter 4

LOG350 Operasjonsanalyse3 Rasmus Rasmussen Introduksjon  Når vi løser en LP modell antar vi at alle relevante faktorer er kjent med sikkerhet.  Slik sikkerhet eksisterer sjelden.  Sensitivitetsanalysen hjelper med å besvare hvor følsom den optimale løsningen er for endringer i forskjellige koeffisienter i LP modellen.

LOG350 Operasjonsanalyse4 Rasmus Rasmussen Generell form på et lineært programmerings (LP) problem MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at: a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1n X n <= b 1 : a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n >= b k : a m1 X 1 + a m2 X 2 + … + a mn X n = b m Hvor følsom er løsningen overfor endringer i c i, a ij, og b i ?

LOG350 Operasjonsanalyse5 Rasmus Rasmussen Sensitivitetsanalyse  Endre dataene og løs modellen på nytt! Noen ganger er dette den eneste praktiske måten.  Solver lager også sensitivitetsrapporter som kan svare på spørsmål om: Hvor mye koeffisientene i målfunksjonen kan endres uten å endre den optimale løsningen. (endre c j ) Hvor mye målfunksjonen endres ved endringer i de begrensende ressursene. (endre b i ) Hvor mye målfunksjonen endres ved nye endringer i beslutningsvariablene. (endre x j ) Hvordan optimal løsning vil påvirkes av endringer i koeffisientene i restriksjonene. (endre a ij )

LOG350 Operasjonsanalyse6 Rasmus Rasmussen Ved bruk av Solver Velg lineær Solver hvis problemet er lineært. Da får du mulighet til å velge sensitivitetsanalyse senere.

Standard Solver LOG350 Operasjonsanalyse7 Rasmus Rasmussen Klikk på Options Kryss av Assume Lienar Model

Risk Solver Platform LOG350 Operasjonsanalyse8 Rasmus Rasmussen Aktiver Engine Tab i Task Pane Velg Lineær Solver Eller kryss av for Automatically Select Engine

LOG350 Operasjonsanalyse9 Rasmus Rasmussen Vi bruker igjen Blue Ridge Hot Tubs eksemplet... MAX: 350X X 2 } dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <= 200} pumper 9X 1 + 6X 2 <= 1566} arbeid 12X X 2 <= 2880} rør X 1, X 2 >= 0} ikke-negativitet Analyse av koeffisientene i målfunksjonen Analyse av koeffisientene i restriksjonene

Ribbon LOG350 Operasjonsanalyse10 Rasmus Rasmussen Du kan ”styre alt” i Solver fra Risk Solver Platform Ribbon (båndet). Du kan spesifisere problemet: Angi målfunksjonen - Objective (hvilken celle/adresse & max eller min) Angi beslutningsvariablene - Decisions Angi restriksjonene - Constraints Du kan løse problemet - Optimize Du kan lage rapporter - Reports

Solver på 3 måter LOG350 Operasjonsanalyse11 Rasmus Rasmussen 1.Du kan bruke menyene i ”Ribbon” 2.Du kan bruke Task Pane 3.Du kan bruke Add-In Premium Solver

Litt om Task Pane LOG350 Operasjonsanalyse12 Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse13 Rasmus Rasmussen Løst i regneark

Rapporter LOG350 Operasjonsanalyse14 Rasmus Rasmussen Etter å ha kjørt Solver og løst problemet, kan du be om rapporter. Merk: Rapportene er knyttet til det arket der modellen er, og er tilgjengelig helt til ny kjøring av Solver, eller til du avslutter Excel. Rapportene du velger blir skrevet ut på egne ark i Excel-filen.

LOG350 Operasjonsanalyse15 Rasmus Rasmussen Answer Report Målfunksjon Beslutnings- variabler Restriksjoner

LOG350 Operasjonsanalyse16 Rasmus Rasmussen Sensitivity Report Formatet i cellene er hentet fra formatet i modellen. Du kan fritt endre format. Beslutningsvariabler Restriksjoner

LOG350 Operasjonsanalyse17 Rasmus Rasmussen Endringer i koeffisientene i målfunksjonen endrer helningen på nivåkurven Ny optimal løsning X2X2 X1X opprinnelig nivå kurve Opprinnelig optimal løsning Ny nivåkurve

LOG350 Operasjonsanalyse18 Rasmus Rasmussen Endringer i koeffisientene i målfunksjonen I tabellen for beslutningsvariablene (”Adjustable Cells” eller ”Decision Variable Cells ”) angir verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease” hvor mye en koeffisient i målfunksjonen (”Objective Coefficient”) kan endres uten å endre den optimale løsningen (i kolonnen ”Final Value”), under forutsetning av at alle andre koeffisienter forblir uendret.

LOG350 Operasjonsanalyse19 Rasmus Rasmussen Endringer i ”Objective Coefficient” Disse koeffisientene kan endres : innenfor disse grensene, uten at disse verdiene endres. Men skyggeprisene og målfunksjonen endres!

LOG350 Operasjonsanalyse20 Rasmus Rasmussen Alternative Optimale Løsninger Verdier på null (0) i “Allowable Increase” eller “Allowable Decrease” kolonnene for tabellen ”Adjustable Cells” indikerer at en alternativ optimal løsning eksisterer. OBS! Da er sensitivitetsanalysen ufullstendig!!

LOG350 Operasjonsanalyse21 Rasmus Rasmussen Alternative optimale løsninger (forts.) Hvis noen av disse er lik 0, så finnes alternative verdier til disse.

LOG350 Operasjonsanalyse22 Rasmus Rasmussen Tillatt endring i målfunksjonen  Optimal løsning uendret inntil målfunksjonen blir parallell med de bindende restriksjonene (pumper eller arbeid). Parallell når de har samme stigningsforhold:  Mål: 350 x x 2  x 2 = – 350/300x 1  Pumper: 1 x x 2 = 200  x 2 = 200 – 1 x 1  Målfunksjonen har helning -1 hvis koeffisienten til x 1 (c 1 ) reduseres med 50 eller c 2 økes med 50.  Arbeid: 9x 1 + 6x 2 = 1566  x 2 = 1566/6 – 9/6x 1  Helningen -9/6 = -450/300; dvs. c 1 kan økse med 100, eller c 2 kan reduseres til -350/c 2 = -9/6  c 2 = 233,33 dvs. reduksjon ( ,33) = 66,67

LOG350 Operasjonsanalyse23 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X Restriksjonslinjen for bruk av rør 12X X 2 = 2880 Grafisk sensitivitetsanalyse Restriksjonslinjen for bruk av arbeid 9X 1 + 6X 2 = 1566 Restriksjonen for bruk av pumper X 1 + X 2 = X X 2 = 35000

LOG350 Operasjonsanalyse24 Rasmus Rasmussen Skyggepriser Disse angir endringen i målfunksjonen, ved én enhets økning i denne verdien, hvis endringen er innenfor disse verdiene.

LOG350 Operasjonsanalyse25 Rasmus Rasmussen Skyggepriser (forts.) Så lenge disse endres innenfor disse grensene, forblir disse konstante. Men optimale verdier på målfunksjonen og beslutningsvariablene endres !

LOG350 Operasjonsanalyse26 Rasmus Rasmussen Tillatt endring i restriksjonene  Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner.  Pumpe -restriksjonen kan økes inntil det bare er rør og arbeid som er bindende restriksjoner, eller den kan reduseres inntil bare pumpe er bindende restriksjon (arbeid ikke bindende).  Rør: 12x x 2 = 2880 Arbeid: 9x 1 + 6x 2 = 1566  x 1 = 108; x 2 = 99 Vi trenger = 207 pumper (7 ekstra)  Arbeid akkurat bindende  x 2 = 0 Arbeid: 9x 1 + 6x 2 = 1566  x 1 = 174  Vi trenger 174 pumper (reduksjon på 26)

LOG350 Operasjonsanalyse27 Rasmus Rasmussen Endringer i restriksjonsgrensene (RHS)  Skyggeprisen til en restriksjon indikerer hvor mye målfunksjonen endres som følge av en enhets økning i restriksjonens RHS verdi, hvis alle andre koeffisienter forblir konstante.  Skyggeprisene er kun gyldige ved endringer av restriksjonens RHS verdi innenfor verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease”.  Skyggepriser for ikke-bindende restriksjoner er alltid null.

LOG350 Operasjonsanalyse28 Rasmus Rasmussen Kommentarer omkring endringer i restriksjonens RHS verdi  Skyggeprisene viser kun endringen i mål- funksjonen ved endringer i restriksjonsgrensene.  Endringer av grensen for en bindende restriksjon endrer også mulighetsområdet og de optimale verdiene på beslutningsvariablene.  For å finne de nye optimale verdiene på beslutningsvariablene etter endring av en bindende restriksjonsgrense, må en løse problemet på nytt.

LOG350 Operasjonsanalyse29 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X Hvordan en endring i RHS verdien til en restriksjon kan endre mulighetsområdet og den optimale løsningen Tidligere optimal løsning Ny optimal løsning Tidligere arbeidstidsrestriksjon Ny arbeidstidsrestriksjon Anta at tilgjengelig arbeidstid økes fra 1,566 til 1,728 timer

LOG350 Operasjonsanalyse30 Rasmus Rasmussen Praktisk bruk av skyggepriser  Anta at en ny varmtvannsbereder (Typhoon- Lagoon) vurderes. Den har et dekningsbidrag på $320 pr. stk. og krever: 1 pumpe (skyggepris = $200) 8 timer arbeid (skyggepris = $16.67) 13 dm rør (skyggepris = $0)  Q: Er det lønnsomt å produsere noen ? A: $320 - $200*1 - $16.67*8 - $0*13 = -$13.33 = Nei!  Merk at vi nå har beregnet Reduced Cost.

LOG350 Operasjonsanalyse31 Rasmus Rasmussen Praktisk bruk av skyggepriser (forts.)  Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er lik $16,67. Den er gyldig for økninger i arbeidstiden på opp til 234 nye timer.  Hvis arbeid er en variabel kostnad, så er lønnskostnaden inkludert i db/stk., og skyggeprisen angir ekstraverdien av arbeid utover ordinær lønnskostnad. Vi er da villig til å betale en timepris som er $16,67 mer enn ordinær timepris.  Hvis arbeid er en fast kostnad som ikke er inkludert i målfunksjonen, så er vi kun villig til å betale $16,67 pr. ekstra time.

LOG350 Operasjonsanalyse32 Rasmus Rasmussen Reduced Costs i Solver  Reduced Cost for hvert produkt er lik profitten pr. enhet minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene). Optimal verdi på Type av problem beslutningsvariablene Reduced Cost lik enkel nedre grense<=0 Maksimeringmellom øvre og nedre grenser=0 lik enkel øvre grense>=0 lik enkle nedre grense>=0 Minimeringmellom nedre og øvre grense=0 lik enkel øvre grense<=0

LOG350 Operasjonsanalyse33 Rasmus Rasmussen Reduced Cost ved standard LP formulering  Reduced Cost til en beslutningsvariabel angir hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning.  For variabler som inngår i den optimale løsningen er følgelig Reduced Cost = 0.

LOG350 Operasjonsanalyse34 Rasmus Rasmussen Reduced Cost i Solver  For variabler som ikke inngår i den optimale løsningen angir Reduced Cost hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. (samme som ved standard LP).  For variabler som inngår i optimal løsning, og med verdi lik sin direkte nedre elle øvre grense, angir Reduced Cost skyggeprisen for denne bindende restriksjonen.  Øvrige variabler som inngår i optimal løsning har Reduced Cost lik 0.

LOG350 Operasjonsanalyse35 Rasmus Rasmussen Viktige poenger  Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen).  Ressurser som ikke brukes fullt ut har en skyggepris (marginalverdi) lik null.  Et produkts Reduced Cost er lik differansen mellom produktes fortjeneste og alternativkostnaden for de ressurser det forbruker.  Produkter med en fortjeneste som er mindre enn alternativkostnaden til de ressurser det forbruker vil ikke inngå i den optimale løsningen.

LOG350 Operasjonsanalyse36 Rasmus Rasmussen Analysere endringer i restriksjonskoeffisienter  Q: Anta at en Typhoon-Lagoon kun trenger 7 arbeidstimer isteden for 8. Er det nå lønnsomt å produsere noen? A: $320 - $200*1 - $16.67*7 - $0*13 = $3.31 = Ja!  Q: Hva er den største arbeidstiden Typhoon- Lagoons kan bruke og likevel være lønnsom? A: Da må $320 - $200*1 - $16.67*L 3 - $0*13 >=0 Det holder så lenge L 3 <= $120/$16.67 pr. time = 7.20 timer.

LOG350 Operasjonsanalyse37 Rasmus Rasmussen Simultane endringer i koeffisientene i målfunksjonen  100% Regelen kan brukes til å avgjøre om optimal løsning endres når mer enn én koeffisient i målfunksjonen endres.  Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Alle variablene med endret koeffisient har Reduced Cost forskjellig fra null. Tilfelle 2: Minst en variabel med endret koeffisient har en Reduced Cost lik null.  I Tilfelle 1 forblir optimal løsning uendret så lenge alle endringene ligger innenfor sine Allowable Increase eller Allowable Decrease.

LOG350 Operasjonsanalyse38 Rasmus Rasmussen Simultane endringer i koeffisienter i målfunksjonen (forts.)  I Tilfelle 2, beregn for hver variabel:  Hvis mer enn en koeffisient i målfunksjonen endres, vil optimal løsning forbli uendret sålenge alle r j summers til  1. (Merk at hvis alle r j summeres til > 1, kan løsningen også forbli uendret, men det er ikke garantert.) Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon. Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret. Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon. Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret.

LOG350 Operasjonsanalyse39 Rasmus Rasmussen Simultane endringer i restriksjonsgrensene.  100% regelen kan også brukes til å avgjøre om skyggeprisene og Reduced Cost endres når mer enn én høyreside av restriksjonene endres:  Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Ingen restriksjoner med endret høyreside er bindende. Tilfelle 2: Minst en restriksjon med endret høyreside er bindende.  I Tilfelle 1 forblir optimal verdien på målfunksjon, beslutningsvariabler og skyggepriser uforandret, sålenge hver høyreside forblir innenfor tillatte endringer.  I Tilfelle 2: Beregn %vis endring for hver restriksjon i forhold til tillatt reduksjon eller økning. Hvis sum %vis endring ≤ 100%, så forblir skyggeprisene og Reduced Cost uendret. (Men optimale verdier på beslutningsvariablene vil endres.)

LOG350 Operasjonsanalyse40 Rasmus Rasmussen Degenererte løsninger; Vær obs!  Løsningen til et LP problem er degenerert hvis Allowable Increase eller Decrease er lik null (0) for noen restriksjoner (tabellen ”Constraints”).  Når en løsning er degenerert: 1. Da kan vi ikke finne ut om det eksisterer alternative optimale løsninger på samme måte som vi beskrev tidligere. 2. Reduced Costs for beslutningsvariablene vil ikke lenger være unike. Koeffisientene i målfunksjonen må nå endres minst så mye som (sannsynligvis mye mer enn) Reduced Cost for at optimal løsning skal endres.

LOG350 Operasjonsanalyse41 Rasmus Rasmussen  Når en løsning er degenerert (forts.) 3) Kolonnene Allowable Increase og Allowable Decrease for koeffisientene i målfunksjonen vil som regel angi for små verdier. 4) Skyggeprisene er ikke lenger unike:  Ett sett skyggepriser gjelder for økninger i restriksjonsgrensene.  Et annen sett av skyggepriser gjelder for reduksjoner av restriksjonsgrensene.

LOG350 Operasjonsanalyse42 Rasmus Rasmussen Degenerert løsning Hvis noen av disse er lik 0 så er løsningen degenerert. villedende Sensitivitetsanalysen er da villedende !

LOG350 Operasjonsanalyse43 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X Nivåkurve Degenerert løsning fordi mer enn to restriksjoner bestemmer optimalpunktet. Degenerert problem grafisk

LOG350 Operasjonsanalyse44 Rasmus Rasmussen Et degenerert problem

LOG350 Operasjonsanalyse45 Rasmus Rasmussen Et degenerert problem i regneark Det er umulig å oppdage fra løsningen at problemet er degenerert.

LOG350 Operasjonsanalyse46 Rasmus Rasmussen Her ser vi at det er degenerert Når noen av disse er lik 0, så er problemet degenerert !!

LOG350 Operasjonsanalyse47 Rasmus Rasmussen Sensitivitetsanalysen er villedende ! Disse grensene er ofte for små. Og disse verdiene er feil. Reduced Cost for X1 = 0. Det skulle indikere at koeffisienten i målfunksjonen ikke kan endres uten at variabelen kommer med i optimal løsning. Likevel sier Allowable Increase at vi kan øke koeffisienten med 2,1 eller redusere den med 1,9 uten at løsningen endres !!!

LOG350 Operasjonsanalyse48 Rasmus Rasmussen Fullstendig sensitivitetsanalyse ikke Reduced cost ikke lik 0, men : ikke Skyggeprisene er ikke lik 1, og de er forskjellige ved økning og reduksjon.

LOG350 Operasjonsanalyse49 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X Nivåkurve Multiple optimale løsninger fordi målfunksjonen er parallell med en bindende restriksjon. Multiple løsninger grafisk

LOG350 Operasjonsanalyse50 Rasmus Rasmussen Et problem med alternative optimale løsninger

LOG350 Operasjonsanalyse51 Rasmus Rasmussen Multiple løsninger i regneark Vi kan se at problemet har alternative optimale løsninger : Koeffisientene i målfunksjonen (Inntekt) er 5 ganger koeffisientene i Avdeling B; dvs. den er parallell med en restriksjon som er bindende.

LOG350 Operasjonsanalyse52 Rasmus Rasmussen Sensitivitetsanalysen er villedende! Alternative løsninger hvis noen av disse er lik 0. Da finnes flere alternative løsninger. Og disse grensene er ofte for små.

LOG350 Operasjonsanalyse53 Rasmus Rasmussen Fullstendig sensitivitetsanalyse Mange optimale løsninger. Vi får en ny (og delvis ukjent) optimal løsning hvis disse avviker fra faktisk verdi.

LOG350 Operasjonsanalyse54 Rasmus Rasmussen Finne alternative løsninger  Løs problemet på vanlig måte. Hvis Allowable Increase/Decrease=0 for noen koeffisienter i målfunksjonen:  Kopier regnearket til et nytt ark, og reformuler Solver-oppsettet: Endre målfunksjonen: Maksimer eller minimer verdien på en av beslutningsvariablene. Ny restriksjon: Verdi gammel målfunksjon lik optimal verdi opprinnelig problem.  Løs den nye modellen.

LOG350 Operasjonsanalyse55 Rasmus Rasmussen Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene

LOG350 Operasjonsanalyse56 Rasmus Rasmussen Answer Report: Alle restriksjonene

LOG350 Operasjonsanalyse57 Rasmus Rasmussen Sensitivity Report: Restriksjoner utelatt Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene (Adjustable cells) er utelatt! Skyggeprisen angitt under Reduced Cost.

LOG350 Operasjonsanalyse58 Rasmus Rasmussen Omformuler: Flytt restriksjonene fra beslutningsvariablene Ny variabel : Numbers sold = Numbers to make: Restriksjonen er flyttet : Numbers sold >= Orders received Som tilsvarer: Numbers sold = Numbers to make >= Orders...

LOG350 Operasjonsanalyse59 Rasmus Rasmussen Sensitivity Report: Alle restriksjonene.

LOG350 Operasjonsanalyse60 Rasmus Rasmussen Reformulert på standard LP form

LOG350 Operasjonsanalyse61 Rasmus Rasmussen The Sensitivity Assistant  Et add-in som benytter Solver for å lage: Spider Tables & Plots Sammendrag av optimal verdi for én output celle ved individuelle endringer i flere input celler. Solver Tables Sammendrag av optimal verdi for flere output celler ved endringer i én input celle.

LOG350 Operasjonsanalyse62 Rasmus Rasmussen Spider Table

LOG350 Operasjonsanalyse63 Rasmus Rasmussen Solver Table

LOG350 Operasjonsanalyse64 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X Pumper Arbeid Rør Mulighetsområdet Grafisk analyse restriksjonene SolverTable flytter denne grensen i gitte trinn. Sensitivity Analysis sier hvor mye den kan flyttes.

LOG350 Operasjonsanalyse65 Rasmus Rasmussen Simplex metoden Eksempelvis: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n <= b k konverteres til: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n + S k = b k Og: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n >= b k konverteres til: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n - S k = b k u Ved simplex metoden må alle ulikheter konverteres til likheter ved å legge til slakk-variabler til = restriksjoner.

LOG350 Operasjonsanalyse66 Rasmus Rasmussen For vårt eksempel... MAX: 350X X 2 } dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 + S 1 = 200} pumper 9X 1 + 6X 2 + S 2 = 1566} arbeidstid 12X X 2 + S 3 = 2880} rør X 1, X 2, S 1, S 2, S 3 >= 0} ikkenegativitet  Hvis det er n variabler i en modell med m restriksjoner, (der n >= m ) kan vi velge vilkårlig m variabler og så løse ligningene (ved å sette de gjenværende n-m variablene lik 0.)

LOG350 Operasjonsanalyse67 Rasmus Rasmussen Ligningene for Simplex-metoden Ordne ligningene på tabell-form. (Simplex-tabell) 350X X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 Max 1X 1 + 1X 2 + 1S 1 + 0S 2 + 0S 3 = 200 9X 1 + 6X 2 + 0S 1 + 1S 2 + 0S 3 = X 1 +16X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 1S 3 = 2880 Velg som basisvariabler de som har koeffisienten 1 i en kolonne og øvrige koeffisienter i kolonnen lik 0. Sett alle andre variabler lik 0. Ligningsystemet er løst ! Velg som ny basisvariabel den som har størst koeffisient i målfunksjonen. Utgående variabel bestemmes slik at ny løsning forblir mulig, samtidig som ny variabel får størst mulig verdi.

LOG350 Operasjonsanalyse68 Rasmus Rasmussen Forskjellige basisløsninger Basis Ikkebasis Verdi VariablerVariabler LøsningMålfunksjon 1S 1, S 2, S 3 X 1, X 2 X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 = X 1, S 1, S 3 X 2, S 2 X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =79260,900 3X 1, X 2, S 3 S 1, S 2 X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =16866,100 4X 1, X 2, S 2 S 1, S 3 X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =064,000 5X 2, S 1, S 2 X 1, S 3 X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 =054,000 6*X 1, X 2, S 1 S 2, S 3 X 1 =108, X 2 =99, S 1 =-7, S 2 =0, S 3 =067,500 7*X 1, S 1, S 2 X 2, S 3 X 1 =240, X 2 =0, S 1 =-40, S 2 =-594, S 3 =084,000 8*X 1, S 2, S 3 X 2, S 1 X 1 =200, X2=0, S 1 =0, S 2 =-234, S 3 =48070,000 9*X 2, S 2, S 3 X 1, S 1 X 1 =0, X 2 =200, S 1 =0, S 2 =366, S 3 =-32060,000 10*X 2, S 1, S 3 X 1, S 2 X 1 =0, X 2 =261, S 1 =-61, S 2 =0, S 3 = ,300 * angir umulig løsning

LOG350 Operasjonsanalyse69 Rasmus Rasmussen X2X2 X1X X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 =2880 2X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =792 3X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =168 4X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =0 5X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 =0 Mulige basisløsninger Mulige basisløsninger & ekstremalpunkter

LOG350 Operasjonsanalyse70 Rasmus Rasmussen Sammendrag Simplex-metoden u Simplex metoden starter med å finne en mulig basisløsning til LP problemet, og beveger seg så til et tilgrensende ekstremalpunkt, såfremt dette forbedrer målfunksjonen. u Når ingen tilgrensende hjørneløsninger har en bedre verdi på målfunksjonen er den eksisterende basisløsningen optimal, og simplex-metoden stanser.  Bevegelsen fra en hjørneløsning til en tilgrensende utføres ved å bytte en av basisvariablene med en ikke- basisvariabel, for å skape en ny basisløsning som tilsvarer den tilgrensende hjørneløsningen.

LOG350 Operasjonsanalyse71 Rasmus Rasmussen End of Chapter 4