Managerial Decision Modeling A Practical Introduction to Management Science, 5ed by Cliff Ragsdale

Network Flow Models LOG350 Operasjonsanalyse2 Rasmus Rasmussen Chapter 5

Introduksjon  Mange forretningsproblemer kan representeres grafisk som nettverksproblemer.  Dette kapittelet fokuserer på flere typer nettverksproblemer: Omlastingsproblemer (Transittproblemer) Omlastingsproblemer (Transittproblemer) Korteste vei problemer Korteste vei problemer Maksimal gjennomstrømmingsproblemer Maksimal gjennomstrømmingsproblemer Transport og Tildelingsproblemer Transport og Tildelingsproblemer ”Generalized Network Flow” problemer ”Generalized Network Flow” problemer  Vi skal også se på en annen type nettverksmodell kalt ”Minimum Spanning Tree Problem” LOG350 Operasjonsanalyse3 Rasmus Rasmussen

Karakteristika ved Nettverksproblemer  Nettverksproblemer kan representeres som en samling noder sammenbundet med greiner.  Det finnes tre typer noder: Tilbud Tilbud Etterspørsel Etterspørsel Mellomlager (transitt eller omlasting) Mellomlager (transitt eller omlasting)  Vi vil bruke negative tall for å angi tilbud og positive tall til å angi etterspørsel. LOG350 Operasjonsanalyse4 Rasmus Rasmussen

Et Mellomlagringsproblem: The Bavarian Motor Company LOG350 Operasjonsanalyse5 Rasmus Rasmussen Newark 1 Boston 2 Columbus 3 Atlanta 5 Richmond 4 J'ville 7 Mobile 6 $30 $40 $50 $35 $40 $30 $35 $25 $50 $45 $

Definere beslutningsvariablene For hver grein i en nettverksmodell defineres en beslutningsvariabel lik: X ij = mengde sendt (eller ”strøm”) fra node i til node j LOG350 Operasjonsanalyse6 Rasmus Rasmussen For eksempel, X 12 = antall biler sendt fra node 1 (Newark) til node 2 (Boston) X 56 = antall biler sendt fra node 5 (Atlanta) til node 6 (Mobile) Merk: Antall greiner bestemmer antall variabler i et nettverksproblem!

Definere målfunksjonen  Minimer totale transportkostnader:  MIN: 30X X X X X X X X X X X X X X X 76 LOG350 Operasjonsanalyse7 Rasmus Rasmussen

Restriksjoner i nettverks problemer: Transportbalanse regler For Minimum kost nettverks- Bruk denne transportbalanse- problemer hvor:regelen for hver node: Totalt Tilbud > Total Etterspørsel Inn-utstrøm >= Tilbud eller etterspørsel Totalt Tilbud < Total Etterspørsel Inn-utstrøm <= Tilbud eller etterspørsel Total Tilbud = Total Etterspørsel Inn-utstrøm = Tilbud eller etterspørsel LOG350 Operasjonsanalyse8 Rasmus Rasmussen Merk: Antall noder bestemmer antall restriksjoner i et nettverksproblem!

Transportbalansereglene vil ikke alltid fungere LOG350 Operasjonsanalyse9 Rasmus Rasmussen  Ved svinn eller kapasitetsbegrensinger på transporten, kan en ikke alltid på forhånd avgjøre om total kapasitet er tilstrekkelig til å dekke all etterspørsel.  Lag heller 3 typer restriksjoner: Tilbudsnoder: Levere ut ≤ Kapasitet Tilbudsnoder: Levere ut ≤ Kapasitet Transittnoder: Netto inn = Netto behov Transittnoder: Netto inn = Netto behov Behovsnoder: Mottatt = Behov Behovsnoder: Mottatt = Behov  Hvis maksimering: Bytt = med ≤ for behovsnoder. Underkapasitet vil da aldri være noe problem.  Hvis underkapasitet og minimering: Må først minimere restordrer, før en minimerer kostnadene. (Altså løse problemet i 2 trinn.)

Definere restriksjonene  I BMC problemet: Totalt Tilbud = 500 biler Total Etterspørsel = 480 biler  På hver node trenger vi en restriksjon på formen: Innstrøm - Utstrøm >= Tilbud eller etterspørsel  Restriksjon for node 1: –X 12 – X 14 >= -200 (Det er ingen innstrømming i node 1!) –X 12 – X 14 >= -200 (Det er ingen innstrømming i node 1!)  Dette er ekvivalent med: +X 12 + X 14 <= 200 LOG350 Operasjonsanalyse10 Rasmus Rasmussen

Definering av restriksjonene  Balanse-restriksjoner: –X 12 – X 14 >= –200} node 1 +X 12 – X 23 >= +100} node 2 +X 23 + X 53 – X 35 >= +60} node 3 + X 14 + X 54 + X 74 >= +80} node 4 + X 35 + X 65 + X 75 – X 53 – X 54 – X 56 >= +170} node 5 + X 56 + X 76 – X 65 >= +70} node 6 –X 74 – X 75 – X 76 >= –300} node 7  Ikke-negativitets-restriksjonene X ij >= 0 for alle ij LOG350 Operasjonsanalyse11 Rasmus Rasmussen

Standard LP-formulering LOG350 Operasjonsanalyse12 Rasmus Rasmussen VariabelX 12 X 14 X 23 X 35 X 53 X 54 X 56 X 65 X 74 X 75 X 76 TypeGrense Kostnad Min. Node 111≤200 Node 21≥100 Node 311≥60 Node 4111≥80 Node 51 11≥170 Node 611≥70 Node 7111≤300 En variabel for hver grein i nettverket. En restriksjon for hver node i nettverket: Tilbudsnoder kan ikke sende mer enn de har kapasitet til. Behovsnoder må få dekket sin etterspørsel. (Transittnoder : nettobehov) Bruk gjerne ” ≤” ved maksimering, og ”=” ved minimering.

Implementering i regneark LOG350 Operasjonsanalyse13 Rasmus Rasmussen

Transportmodell i regneark LOG350 Operasjonsanalyse14 Rasmus Rasmussen En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene) En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

Optimal løsning for BMC Problemet LOG350 Operasjonsanalyse15 Rasmus Rasmussen Newark 1 Boston 2 Columbus 3 Atlanta 5 Richmond 4 J'ville 7 Mobile 6 $30 $40 $50 $40 $50 $

Kortest vei problemet  Mange beslutningsproblem koker ned til å bestemme den korteste (eller billigste) ruten gjennom et nettverk. Eks. Rute for utrykningskjøretøy Eks. Rute for utrykningskjøretøy  Dette er et spesialtilfelle av omlastings- problemet hvor: Det er en tilbudsnode med tilbud lik -1 Det er en tilbudsnode med tilbud lik -1 Det er en etterspørselsnode med etterspørsel +1 Det er en etterspørselsnode med etterspørsel +1 Alle andre noder har tilbud/etterspørsel lik +0 Alle andre noder har tilbud/etterspørsel lik +0 LOG350 Operasjonsanalyse16 Rasmus Rasmussen

The American Car Association The American Car Association 17 B'ham Atlanta G'ville Va Bch Charl. L'burg K'ville A'ville G'boro Raliegh Chatt hrs 3 pts 3.0 hrs 4 pts 1.7 hrs 4 pts 2.5 hrs 3 pts 1.7 hrs 5 pts 2.8 hrs 7 pts 2.0 hrs 8 pts 1.5 hrs 2 pts 2.0 hrs 9 pts 5.0 hrs 9 pts 3.0 hrs 4 pts 4.7 hrs 9 pts 1.5 hrs 3 pts 2.3 hrs 3 pts 1.1 hrs 3 pts 2.0 hrs 4 pts 2.7 hrs 4 pts 3.3 hrs 5 pts +1 +0

Løse problemet  Det kan tenkes to mulige målsettinger for dette problemet: Finne den raskeste ruten (minimere reisetiden) Finne den raskeste ruten (minimere reisetiden) Finne den mest severdige ruten (maksimere ruten med størst rangering) Finne den mest severdige ruten (maksimere ruten med størst rangering) LOG350 Operasjonsanalyse18 Rasmus Rasmussen

Kortest reiserute LOG350 Operasjonsanalyse 19 Rasmus Rasmussen

Utskiftingsproblem  Å bestemme når utstyr skal erstattes er et annet vanlig økonomisk problem.  Det kan også modelleres som et korteste vei problem. LOG350 Operasjonsanalyse20 Rasmus Rasmussen

The Compu-Train Company  Compu-Train tilbyr innføringskurs i EDB programmer.  Datamaskinene må byttes ut minst annet hvert år.  To leasing-kontrakter vurderes: Hver krever $62,000 som startbeløp: Hver krever $62,000 som startbeløp: Kontrakt 1: Kontrakt 1: Prisene øker 6% per årPrisene øker 6% per år 60% innbytte for 1 år gammelt utstyr60% innbytte for 1 år gammelt utstyr 15% innbytte for 2 år gammelt utstyr15% innbytte for 2 år gammelt utstyr Kontrakt 2: Kontrakt 2: Prisene øker 2% per årPrisene øker 2% per år 30% innbytte for 1 år gammelt utstyr30% innbytte for 1 år gammelt utstyr 10% innbytte for 2 år gammelt utstyr10% innbytte for 2 år gammelt utstyr  Tidshorisonten er 5 år LOG350 Operasjonsanalyse21 Rasmus Rasmussen

Nettverk for Kontrakt 1 LOG350 Operasjonsanalyse22 Rasmus Rasmussen $28,520 $60,363 $30,231 $63,985 $32,045 $67,824 $33,968 Kostnad ved innbytte etter 1 år: 1.06*$62, *$62,000 = $28,520 Kostnad ved innbytte etter 2 år: *$62, *$62,000 = $60,363 etc, etc….

Løse utskiftingsproblemet LOG350 Operasjonsanalyse23 Rasmus Rasmussen En tabell for nodene En tabell for greinene En tabell for nodene En tabell for greinene

Transport- og tilordnings -problemer  Noen nettverksproblemer har ikke transittnoder; bare tilbud og etterspørselsnoder. 24 Mt. Dora 1 Eustis 2 Clermont 3 Ocala 4 Orlando 5 Leesburg 6 Avstander (i km) Kapasitet Tilbud 275, , , , , ,000 Plantasje Foredlings bedrift u Slike problemer løses enklest på samme måte som introdusert i kapittel 3. (Se f.eks. Opg )

Generalisert Nettverksproblem  I enkelte problemer skjer det svinn eller økning ved transporten gjennom en grein. Eksempler: Eksempler: Olje eller gass som sendes gjennom en ikke helt tett rørledningOlje eller gass som sendes gjennom en ikke helt tett rørledning Svakheter i råmaterialer som inngår i en produksjonsprosessSvakheter i råmaterialer som inngår i en produksjonsprosess Svinn av matvarer under mellomlagringSvinn av matvarer under mellomlagring Tyveri under transittlagringTyveri under transittlagring Renter eller dividender på investeringerRenter eller dividender på investeringer  Slike problemer krever noen modellendringer. LOG350 Operasjonsanalyse25 Rasmus Rasmussen

Coal Bank Hollow Resirkulering MaterialKostnad UtnyttelseKostnad UtnyttelseTilbud Avispapir$1390%$1285%70 tonn Blandet papir$1180%$1385%50 tonn Hvitt kontorpapir$995%$1090%30 tonn Papp$1375%$1485%40 tonn LOG350 Operasjonsanalyse26 Rasmus Rasmussen Resirkuleringsprosess 1 Resirkuleringsprosess 2 RåmaterialkildeKost Utnyttelse Kost Utnyttelse Kost Utnyttelse Resirkuleringsprosess 1$595%$690%$890% Resirkuleringsprosess 2$690%$895%$795% Avispapir Innpakningspapir Trykkeripapir Etterspørsel60 tonn40 tonn50 tonn Disse returproduktene skal bearbeides videre:

Nettverk for resirkuleringsproblemet LOG350 Operasjonsanalyse27 Rasmus Rasmussen Avispapir 1 Blandet papir 2 3 Papp 4 Resirkulerings prosess Avispapir cellulose 7 Innpaknings papir cellulose 8 Trykkeri papir cellulose Hvitt kontor papir Resirkulerings prosess 2 $13 $12 $11 $13 $9 $10 $14 $13 90% 80% 95% 75% 85% 90% 85% $5 $6 $8 $6 $7 $8 95% 90% 95% +0

Definere totalkostnaden  Minimere totale kostnader.  MIN: 13X X 16 (Avispapir) + 11X X 26 (Blandet papir) + 9X X 36 (Hvitt kontorpapir) + 13X X 46 (Papp) + 5X X 67 (Avispapir) + 6X X 68 (Innpakningspapir) + 8X X 69 (Trykkeripapir) LOG350 Operasjonsanalyse28 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Råmaterial -X 15 -X 16 >= -70 } node 1 (Avispapir) -X 25 -X 26 >= -50 } node 2 (Blandet papir) -X 35 -X 36 >= -30 } node 3 (Hvitt kontorpapir) -X 45 -X 46 >= -40 } node 4 (Papp)  Resirkuleringsprosesser +0.9X X X X 45 -X 57 -X 58 -X 59 >= 0 } node X X X X 46 -X 67 -X 68 -X 69 >= 0 } node 6  Cellulose papir +0.95X X 67 >= 60 } node 7 (Avispapir) +0.90X X 68 >= 40 } node 8 (Innpakningspapir) +0.90X X 69 >= 50 } node 9 (Trykkeripapir) LOG350 Operasjonsanalyse29 Rasmus Rasmussen

Standard LP formulering LOG350 Operasjonsanalyse30 Rasmus Rasmussen VariabelX 15 X 25 X 35 X 45 X 16 X 26 X 36 X 46 X 57 X 58 X 59 X 67 X 68 X 69 TypeGrense Kostnad Min Node 111≤70 Node 211≤50 Node 311≤30 Node ≤40 Node 50,90,80,950,75 ≥0 Node 6 0,85 0,90,85 ≥0 Node 70,950,9≥60 Node 80,90,95≥40 Node 9 0,9 0,95≥50 4 tilbudsnoder (råmaterial): Sum ut ≤ kapasitet 2 transittnoder (resirkuleringsprosesser): Sum inn ≥ Sum ut 3 etterspørselsnoder (produsert papir): Sum inn ≥ behov

Standard LP i regneark LOG350 Operasjonsanalyse31 Rasmus Rasmussen 4 tilbudsnoder: Sum ut ≤ kapasitet 2 transittnoder: Sum inn ≥ Sum ut 3 etterspørselsnoder: Sum inn ≥ behov

Nettverk i regneark LOG350 Operasjonsanalyse32 Rasmus Rasmussen En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

Viktig modelleringspoeng  I generaliserte nettverksmodeller, med tap eller gevinst knyttet til transport langs greinene, vil tilgjengelige ressurser bli redusert eller økt.  Det vil da ofte bli umulig på forhånd å avgjøre om all etterspørsel kan dekkes.  I så fall må problemet løses i to trinn: Først minimeres sum restordrer. Først minimeres sum restordrer. Deretter minimeres transportkostnadene uten å øke restordrene. Deretter minimeres transportkostnadene uten å øke restordrene. LOG350 Operasjonsanalyse33 Rasmus Rasmussen

Kan ikke dekke etterspørsel LOG350 Operasjonsanalyse34 Rasmus Rasmussen Først minimere restordrer Nye variabler

Kan ikke dekke etterspørsel LOG350 Operasjonsanalyse35 Rasmus Rasmussen Så minimere kostnadene Ny restriksjon

Maksimum gjennomstrømningsproblem  For noen nettverksproblem er målsettingen å finne den største mulige gjennomstrømningen i nettverket.  Greinene i disse problemene har øvre og nedre gjennomstrømningsgrenser.  Eksempler: Hvor mye vann kan transporteres gjennom et rørsystem ? Hvor mye vann kan transporteres gjennom et rørsystem ? Hvor mange biler kan passere gjennom et nettverk av gater ? Hvor mange biler kan passere gjennom et nettverk av gater ? LOG350 Operasjonsanalyse36 Rasmus Rasmussen

The Northwest Petroleum Company LOG350 Operasjonsanalyse37 Rasmus Rasmussen Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Raffineri

The Northwest Petroleum Company 38 Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Raffineri

Formulering av maksimum gjennomstrømningsproblemet MAX: X 61 Slik at:+X 61 - X 12 - X 13 = 0 +X 12 - X 24 - X 25 = 0 +X 13 - X 34 - X 35 = 0 +X 24 + X 34 - X 46 = 0 +X 25 + X 35 - X 56 = 0 +X 46 + X 56 - X 61 = 0 Med følgende grenser på beslutningsvariablene: 0 <= X 12 <= 60 <= X 25 <= 20 <= X 46 <= 6 0 <= X 13 <= 40 <= X 34 <= 20 <= X 56 <= 4 0 <= X 24 <= 30 <= X 35 <= 50 <= X 61 <= ∞ LOG350 Operasjonsanalyse39 Rasmus Rasmussen

Implementere modellen LOG350 Operasjonsanalyse40 Rasmus Rasmussen

Optimal løsning LOG350 Operasjonsanalyse41 Rasmus Rasmussen Oljefelt Pumpe stasjon 1 Pumpe stasjon 2 Pumpe stasjon 3 Pumpe stasjon 4 Rafineri

Spesielle modelleringsknep LOG350 Operasjonsanalyse42 Rasmus Rasmussen $3 $4 $5 $3 $6 Anta at total strøm in i node 3 & 4 må være hhv. minst 50 og 60. En måte å oppnå dette uten bruk av siderestriksjoner (utenom balanserestriksjonene) er vist på neste slide.

Spesielle modelleringsknep LOG350 Operasjonsanalyse43 Rasmus Rasmussen $3 $4 $5 $3 $ L.B.=50 L.B.=60 Nodene 30 & 40 akkumulerer total innstrømming til henholdsvis nodene 3 & 4.

Spesielle modelleringsknep LOG350 Operasjonsanalyse44 Rasmus Rasmussen 1-75 $ To (eller flere) greiner kan ikke ha samme start og ende noder. Isteden, prøv... $ $0 $6 U.B. = 35 $8 U.B. = 35

Spesielle modelleringsknep : Kapasitetsrestriksjoner på greinene Tilbudet overstiger etterspørselen, men kapasitetsrestriksjoner på greinene forhindrer full tilfredsstillelse av all etterspørsel. LOG350 Operasjonsanalyse45 Rasmus Rasmussen $5, UB=40 $3, UB=35 $6, UB=35 $4, UB=30

Rikelig produksjonskapasitet – men transportbegrensinger gir restordrer LOG350 Operasjonsanalyse46 Rasmus Rasmussen Først minimeres sum restordrer

Rikelig produksjonskapasitet – men transportbegrensinger gir restordrer LOG350 Operasjonsanalyse47 Rasmus Rasmussen Så minimeres transportkostnadene

The Minimal Spanning Tree Problem  For et nettverk med n noder, er et spanning tree et sett av n-1 greiner som knytter alle nodene sammen, uten å returnere til en node.  The Minimal Spanning Tree Problem består i å finne det sett av greiner som knytter alle nodene sammen på billigste måte. LOG350 Operasjonsanalyse48 Rasmus Rasmussen

Eksempel på Minimal Spanning Tree: Windstar Aerospace Company LOG350 Operasjonsanalyse49 Rasmus Rasmussen $150 $100 $40 $85 $65 $50 $90 $80 $75 $85 Nodene representerer datamaskiner i et lokalt nettverk.

The Minimal Spanning Tree Algoritmen 1.Velg en hvilken som helst node. Kall dette for gjeldende subnettverk. 2.Legg til gjeldende subnettverk den billigste grein som knytter en hvilken som helst node innen gjeldende subnettverk til en hvilken som helst node utenfor gjeldende subnettverk. (Velg vilkårlig hvis flere alternativer er like billige.) Kall dette for gjeldende subnettverk. 3. Hvis alle nodene er med i gjeldende subnettverk, stopp; dette er optimal løsning. Hvis ikke, gå tilbake til trinn 2. LOG350 Operasjonsanalyse50 Rasmus Rasmussen

Løsning av eksempelproblemet - 1 LOG350 Operasjonsanalyse51 Rasmus Rasmussen $100 $85 $90 $80 $85

Løsning av eksempelproblemet - 2 LOG350 Operasjonsanalyse52 Rasmus Rasmussen $100 $85 $90 $80 $85 $75 $50

Løsning av eksempelproblemet - 3 LOG350 Operasjonsanalyse53 Rasmus Rasmussen $100 $85 $80 $85 $75 $50 $65

Løsning av eksempelproblemet - 4 LOG350 Operasjonsanalyse54 Rasmus Rasmussen $100 $80 $85 $75 $50 $65 $40

Løsning av eksempelproblemet - 5 LOG350 Operasjonsanalyse55 Rasmus Rasmussen $80 $85 $75 $50 $65 $40 $150

Løsning av eksempelproblemet - 6 LOG350 Operasjonsanalyse56 Rasmus Rasmussen $80 $75 $50 $65 $40

Minimal Span LOG350 Operasjonsanalyse57 Rasmus Rasmussen

Minimal Span LOG350 Operasjonsanalyse58 Rasmus Rasmussen

Minimal Span LOG350 Operasjonsanalyse59 Rasmus Rasmussen Optimale greiner

End of Chapter 5 LOG350 Operasjonsanalyse60 Rasmus Rasmussen