GIS for mineralutvinning 22.09.2005 Gis forelesning 5

Innhold i faget Definisjon av GIS til bruk i mineralutvinning Geomatikk – Kartfremstilling - GIS Basiskart Kart i Norge Referanserammer Tematiske kart og modeller Innsamling av geodata Typer geodata i mineralutvinning Datafangst og dataoverføring Lagring av geodata Metadata, modeller av virkeligheten, Prosedyrer for behandling av geodata Evaluering av geodata Datakvalitet / verifisering Romlig analyse (form og variasjon) Presentasjon av geodata Visuelle variable Oppsummering 22.09.2005 Gis forelesning 5

Innhold i faget Definisjon av GIS til bruk i mineralutvinning Geomatikk – Kartfremstilling - GIS Basiskart Kart i Norge Referanserammer Tematiske kart og modeller Innsamling av geodata Typer geodata i mineralutvinning Datafangst og dataoverføring Lagring av geodata Metadata, modeller av virkeligheten, Prosedyrer for behandling av geodata Evaluering av geodata Datakvalitet / verifisering Romlig analyse (form og variasjon) Presentasjon av geodata Visuelle variable Oppsummering 22.09.2005 Gis forelesning 5

Geostatistikk Geostatistikk omfatter tre hovedområder - Strukturell analyse (modellering) Estimering Simulering 22.09.2005 Gis forelesning 5

Geostatistikk – Sentrale begreper Regionalisert variabel – random function Variogram (verktøy for å finne den romlige strukturen i datasettet) - Eksperimentelt variogram - Teoretisk variogram (modell) Kriging (estimering av ukjente verdier) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram - definisjon Variogrammet angir den forventede kvadrerte forskjellen mellom to punkter i en avstand h Dette benyttes til å finne det beste estimatet for de ukjente verdiene 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram - definisjon Forventet form på variogrammet 22.09.2005 Gis forelesning 5

Forstå hvordan vi ved hjelp av et variogram kan uttrykke den romlige variasjonen til en regionalisert variabel. 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Beregning av variogram Kjenner til variogrammmets funksjon og egenskaper Hvordan beregnes variogrammet - Bruker et estimat for variogrammet kalt det eksperimentelle variogram 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram - Formel for å estimere/beregne variogrammet N(h) = Antall par i en gitt avstand h Z(x) = Verdien av variabelen Z i punktet x Z(x+h) = Verdien av variabelen Z i punktet x+h, dvs i en avstand h fra punkt x Sammenlign med definisjonen på variogrammet 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 1D 8 6 4 3 6 5 7 2 8 9 5 6 3 h=1m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 1D 8 6 4 3 6 5 7 2 8 9 5 6 3 h=1m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 1D 8 6 4 3 6 5 7 2 8 9 5 6 3 h=5 m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 1D 8 6 4 3 6 5 7 2 8 9 5 6 3 h=5m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 2D 26 22 19 14 16 23 20 17 21 18 25 15 13 10 11 Antall par, N(h) ? Vest-Øst: - N(1) = 7*8 = 56 - N(2) = 6*8 = 48 - N(3) = 5*8 = 40 - N(4) = 4*8 = 32 Diagonaler (SW-NE): - N(rot(2)) = 49 - N(2rot(2)) = 36 - N(3rot(2)) = 25 - N(4rot(2)) = 16 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram Regneeksempel – 2D Hva når vi mangler data i noen punkter 22.09.2005 Gis forelesning 5

35 35 33 33 34 31 35 37 41 41 35 35 35 35 33 41 37 35 37 35 37 37 39 39 41 37 40 42 34 36 41 34 41 33 35 42 33 39 31 30 22.09.2005 Gis forelesning 5

Antall par når h=5m (dvs 1 lengde) Eksperimentelt variogram Antall par når h=5m (dvs 1 lengde) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Hva når prøvepunktene ikke ligger i et regulært mønster Eksperimentelt variogram Hva når prøvepunktene ikke ligger i et regulært mønster h Åpningsvinkel Søke retning 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram  teoretisk modell Eksperimentelle variogram kan ikke benyttes direkte i videre beregninger (kriging) Beregner et eksperimentelt variogram  Tilpasser et lovlig teoretisk variogram til det teoretiske variogrammet 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram  teoretisk modell På den samme måten som histogrammet gir sannsynlighetstettheten, gir det eksperimentelle variogrammet variogramfunksjonen x f(x) Histogram m s 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Egenskaper Egenskaper ved variogrammet Terskel (sill) og influensavstand (range) Opptreden nær 0 Anisotropi 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Egenskaper Terskel (sill) og influensavstand (range) Influensavstanden angir det området (avstanden) hvor det er en sammenheng (korrelasjon) mellom prøvene. - Ved influensavstanden når eller tangerer variogrammet sin terskelverdi (sill) = variansen (σ2) - Hvor fort variogrammet stiger mot terskelen angir hvor raskt sammenhengen mellom punktene avtar. Sill (terskel) Hvis variogrammet har en terskel Men, variogrammet har ikke alltid en definert terskel Range (influensavstand) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Egenskaper Opptreden nær null Variogrammets form nær h=0 er avgjørende for den romlige kontinuiteten og regulariteten for variabelen. Sill (terskel) Svært kontinuerlig på korte avstander Mindre kontinuerlig på korte avstander Range (influensavstand) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Egenskaper Opptreden nær null – Nugget effekt Når variogrammet er diskontinuerlig nær 0. - Funnet for gullforekomster i Sør-Afrika, derfor kalt ”nugget” effekt. Gjelder de fleste geologiske variable i større eller mindre grad (inkluderer også målefeil) Ved full nugget effekt  Ingen korrelasjon mellom nabopunkter  Antagelsene for tradisjonell statistikk er oppfylt Sill (terskel) Diskontinuerlig nær h=0 (Dvs svært irregulær på korte avstander) Flat = Full nugget effekt  De regionaliserte variablene Z(x+h) og Z(x) er ukorrelerte for alle h Range (influensavstand) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Egenskaper Anisotropi Når variogrammet er forskjellig i ulike retninger har en anisotropi. Hvis variogrammet har samme form i alle retninger er det isotropt. Sill (terskel) Nord - Sør Øst - Vest Range (influensavstand) 22.09.2005 Gis forelesning 5

35 35 33 33 34 31 35 37 41 41 35 35 35 35 33 41 37 35 37 35 37 37 39 39 41 37 40 42 34 36 41 34 41 33 35 42 33 39 31 30 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram  teoretisk modell Finnes flere lovlige teoretiske variogram modeller som kan tilpasses det eksperimentelle variogrammet. Eks - Nugget Effekt - Sfærisk modell - Eksponentiell modell - Potens funksjoner, inkludert lineær modell - Gaussisk modell 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Ren nugget effekt Terskel: C Influensavstand: 0 Tradisjonell statistikk like bra - Ingen samvariasjon mellom prøver http://www.gstat.org/screenshots.html 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Ren nugget effekt 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Sfærisk modell Terskel: C Influensavstand: a Det mest benyttede variogrammet. 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Sfærisk modell – tilpasning (bestemme C og a) Tangenten ved origo skjærer terskelverdien (sill) ved 2a/3 22.09.2005 Gis forelesning 5

Eksperimentelt variogram  teoretisk modell Sfærisk modell – tilpasning (bestemme C og a) 2/3 1/3 a C C0 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Sfærisk variogram modell – Eksempel på ”sfærisk” mønster 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Sfærisk modell uten nugget effekt 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Sfærisk modell med nugget effekt 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Anisotrop sfærisk modell 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Eksponentiell modell Terskel: Asymptotisk mot C Influensavstand: - Praktisk (95% av C): for 3a 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Eksponentiell modell – tilpasning (bestemme C og a) Tangenten ved origo skjærer terskelverdien (sill) ved a. 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Eksponentiell variogram modell – eksempel på ”eksponentielt” mønster 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Gaussisk modell Terskel: Asymptotisk mot C Influensavstand: - Praktisk (95% av C): for 1.73a For ekstremt kontinuerlige fenomen 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram Gaussisk variogram modell – eksempel på ”gaussisk” mønster 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – Lovlige teoretiske modeller Potens funksjoner, inkludert lineær modell Terskel: Ingen Modellen har ingen terskel  Oppfyller ikke kravet om stasjonæritet 22.09.2005 Gis forelesning 5

Variogram – sammenligning av 3 modeller Sfærisk Eksponentiell Gaussisk Alle modellene har C=1 og a=1.5 Merk sammenhengen mellom variogrammets form mot terskelen og variasjonen i mønsteret 22.09.2005 Gis forelesning 5

Bruk av variogrammet Variogrammet - Beskriver sammenhengen mellom punkter i en gitt avstand h. Benyttes til: - Strukturell analyse - Estimering - I hvilke tilfeller passer de konvensjonelle estimeringsmetodene best - Kriging 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse - Arbeidsgang Sjekk data Elementær statistikk - Gjøre seg kjent med prøvetaking og problemstilling Beregn eksperimentelt variogram Tilpasse en teoretisk variogram modell til det eksperimentelle variogrammet 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Sjekk data Hvordan er de foreliggende analyser framskaffet (prøvetakingsopplegg) ? - Mulige feilkilder - Er noen områder overrepresentert ? (Prøver i klynger) Har det hvert noen forandringer i prøvetakingsopplegget ? Er det noen form for sonering i området ? Er analysedataene pålitelige - Analysefeil - Innvirkning av evnt. uteliggere (outliers) Tar en ikke vare på forhold som kan være knyttet til dette allerede fra starten av, så er det fare for at hele analysen må gjøres på nytt. 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Avgjørelser Først må det avgjøres hvilke variabler det skal arbeides med, og om området må deles opp i ulike soner.  Hvilke spørsmål er det som skal besvares. Så må en bestemme : - Er variablene stasjonære/intrinsiske (kan geostatistikk benyttes) - Hvilke support har variablene - Er variablene additive - Skal en arbeide med variablene selv, eller med for eksempel akkumulasjonen 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Stasjonæritet Invariant overfor translasjoner E[Z(x)]=m i hele forekomsten Cov[Z(x), Z(x+h)] eksisterer for alle par Z(x), Z(x+h) i hele forekomsten 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Support Support er et begrep i geostatistikk som benyttes om: - Størrelse og form på volumet som utgjør prøven - Hvor stor er prøven Variogram basert på prøver, fra det samme området, men med forskjellig support (prøvestørrelse) vil ha forskjellig Variogram (de vil ha forskjellig varians). - Eks - Håndstykker - Borehullslengder 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Kriges sammenheng - Sammenhengen mellom volum (support) og varians σ2(0,V) = σ2(0,v) + σ2(v,V) Der σ2(0,V) er variansen til enkeltprøver i et område/volum σ2(0,v) er variansen til enkeltprøver i et delområde/delvolum, feks en blokk σ2(v,V) er variansen til blokkene i det store området/volumet Ser at σ2(0,V) ≥ både σ2(0,v) og σ2(v,V) I geostatistikk gir varians bare mening når det knyttes til en prøvestørrelse 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Kriges sammenheng Siden m er kjent i dette eksempelet benyttes Kriges sammenheng: Eksempel σ2(0,V) = σ2(0,v) + σ2(v,V) Prøver i felt blokker i felt prøver i blokker Middel: 2 Middel: 2 Middel: 2 Varians: 2.25 Varians: 0.5 Varians: 1.75  σ2(0,V) = σ2(0,v) + σ2(v,V)  2.25 = 0.5 + 1.75 2 4 1 5 3 1 2 3 2 2 4 1 4 3 5 2 3 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Gjennomsnittet for en sone må være gjennomsnittet til verdiene inne i sonen Eks - Mektigheten er additiv - Gullgehaltene er ikke additive (Slik de er angitt her) 3m 10g/tonn 2m 5g/tonn 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Gjennomsnittlig gullgehalt, gitt som g/tonn, kan beregnes som: Gjennomsnittlig gullgehalt = (vekt gull i borkjerne 1 + vekt gull i borkjerne 2) / total vekt borkjerner Dette kan skrives som: der er vekt gull i borkjerne 1 og 2 er vekten av borkjerne 1 og 2 er gullgehaltene i borkjerne 1 og 2. Dvs. at de korrekte korreksjonene å benytte for å få et riktig gjennomsnitt for gullgehalten er , massen av borkjerne 1 delt på den totale massen av borkjernene , massen av borkjerne 2 delt på den totale massen av borkjernene 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Massen av borkjernene kan skrives som: der er mektighetene (malmlengdene) i borkjerne 1 og 2. er tverrsnittsarealene av borkjerne 1 og 2. er tettheten til borkjerne 1 og 2 Dvs at de generelle korreksjonene kan skrives som: 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Spesialtilfelle 1: Hvis mektigheten, tverrsnittsarealet og tettheten er like i de to borkjernene. G= 5g/tonn L= 2m ρ= 5.2 A=0.03 m G= 10g/tonn L= 2m ρ= 5.2 A=0.03 m Dvs i dette tilfellet er gehaltene additive 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Spesialtilfelle 2: Hvis tverrsnittsarealet og tettheten er lik i de to borkjernene, men borkjernene viser forskjellig mektighet av den mineraliserte sonen (gullsonen). G= 5g/tonn L= 2m ρ= 5.2 A=0.03 m G= 10g/tonn L= 3m ρ= 5.2 A=0.03 m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Spesialtilfelle 3: Hvis tverrsnittsarealet er likt i de to borkjernene, men borkjernene viser forskjellig mektighet av den mineraliserte sonen (gullsonen) og har forskjellig tetthet (gullsonen har forskjellig tetthet). G= 5g/tonn L= 2m ρ= 5.2 A=0.03 m G= 10g/tonn L= 3m ρ= 5.7 A=0.03 m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Strukturell analyse – Additive variabler Spesialtilfelle 4: Hvis verken mektigheten, tettheten eller tverrsnittsarealet er likt i de to borkjernene G= 5g/tonn L= 2m ρ= 5.2 A=0.03 m G= 10g/tonn L= 3m ρ= 5.7 A=0.06 m 22.09.2005 Gis forelesning 5

Estimering – valg av konvensjonell metode Kan variogrammet benyttes til å velge blant de konvensjonelle metodene for estimering av en forekomst mengde og verdi (malmberegning) ? Metode l1 l2 l3 l4 Sl Estimate Middelverdi 1/4 1/4 1/4 1/4 1 10.25 ISD .394 .285 .225 .096 1 7.32 Nærmeste punkt .442 .434 .128 1 6.08 Polynomer 1 7.38 22.09.2005 Gis forelesning 5

Estimering – valg av konvensjonell metode Hvilken konvensjonell metode for malmberegning er best ? For eksempel Polygonmetoden (nærmeste punkt) 22.09.2005 Gis forelesning 5

Estimering – valg av konvensjonell metode Hvilken konvensjonell metode for malmberegning er best ? For eksempel Distanseveiing, ISD 22.09.2005 Gis forelesning 5

Estimering – valg av konvensjonell metode Hvilken konvensjonell metode for malmberegning er best ? For eksempel Tradisjonell statistikk - middelverdi 22.09.2005 Gis forelesning 5