TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis continued

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Context of risk-return portfolio optimization risk performance Portfolio optimization Market data Statistical processing Implementation Dynamics New information

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Hovedpunkter Utvidelse av standard modellen Begrensninger for størrelse på handel, lån og transaksjonskostnader Formulere faktor-modeller

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri rente Lånebeløp:, Forventet utbytte: Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån til ulike rentesatser Kan låne til renten for beløp opp til Rente for beløp opp til Lånebeløp Restriksjoner: Forventet utbytte:  over null kun når

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader Mange små posisjoner uønsket fordi –Mange posisjoner  høyere transaksjons- kostnader når porteføljen reviseres –Mer omfattende overvåkning  høyere driftskostnader

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Max-grense for antall aktiva i porteføljen, min-grense på posisjonsstørrelser Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): Mean-variance-efficient portfolios with trading size limits: Min s.t. for alle i=1,…,n

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Transaksjonskostnader Effektivt forventet utbytte = Forventet utbytte – kostnader For små transaksjoner: skalafordel  konkav trans.kost.funksjon For store transaksjoner: innlikviditetskostnadene øker  konveks Tilnærminger: –Trans.kostnader prop. med trans.størrelse –Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde, deretter lineær

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Lineær kostnadsfunksjon C 0 Konstant kostnad for mengder opp til Forventet utbytte:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner C 0 : Konstant kostnad for størrelser opp til C 1 : Prop. kostnader for større transaksjoner transaksjoner opp til transaksjoner over hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C 0 ellers

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner (forts.) Forventet utbytte: Restriksjoner:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio with transaction costs Min s.t.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Portefølje revisjon Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av en eksisterende portefølje. Dette involverer både kjøp og salg, og transakjsonskostnader må taes med. Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x 0.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Portefølje rev., restriksjoner Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading eller så skjer den ved enten kjøp eller salg. Restriksjonsområdene er gitt ved og For å modellere disse restriksjonene introduserer vi to ikke-negative variabler y +1 og y -1 for kjøp og salg av aktiva i, slik at vi får x i = x 0i + y +i – y -i

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Introduserer også to binærvariabler som følger: Z si = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir redusert gjennom salg, 0 ellers Z pi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker gjennom kjøp, 0 ellers Ved revisjon blir det ofte også brukt en restriksjon på total endring i antall aktiva kalt portfolio turnover Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og ser slik ut:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio revision Minimize subject to }for alle i

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Liabilities Value of liabilities is subtracted from the value of asets at the end of the planning period. Suppose that at the start the value of assets equals the value of liabilities. –Return on liability –Return of the assets minus liabilities –Expected return of the surplus

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Liabilities, continued Variance of the assets minus liabilities return Covariance matrix Where Any of the mean-variance models can be used now

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.4 Factor models of return Implementasjon av mean-variance optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne for middelverdi og varians og kovariansmatrisen Krever ofte veldig mange parametere. Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem hos S&P500 krever estimering av 1000 forventede avkastninger og kovarianser.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Factor models, forts. Skal her se på både en-faktor og multi- faktor modeller En-faktor modellen kom først og er forløperen til CAPM Multi-faktor modellen førte etter hvert til Arbitrage Pricing Theory

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management En-faktor modellen Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert til den enkle faktoren gjennom den lineære relasjonen: Variansen er gitt ved σ 2 M og er normalfordelt med middelverdi 0 og varianse σ 2 εi r M er avkastningen fra en markedsindeks

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som kalles factor loading Følgende antagelser ligger til grunn: –Kovariansen mellom det security specific restuttrykket og faktoren er 0, dvs. for alle i. –Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. for alle i ≠ i’. Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå utlede parameterene som trengs i mean- variance modellen.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Forventet avkastning fra verdipapiret: Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved: –Setter inn r i fra faktor modellen og får:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved: Setter inn r i fra faktor modellen og får Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance optimization with single-factor models –Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning blir:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management –Porteføljevariansen blir: –Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians matrisen.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolios with single factor models Minimize subject to

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko Skriver variansen som: Snur om og får:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko Porteføljebetaen β p reflekterer sensitiviteten av avkastningen mot faktoren. Dette medfører at ved store antall investeringer i porteføljen vil den ikke- systematiske risikoen kunne diversifiseres bort.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management En-faktor modeller og CAPM Dersom vi skriver en-faktor modellen som en lineær relasjon mellom avkastningen som er større enn markedsfaktoren og overskuddet mellom markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og fjerner restleddet ε får vi: Noe som er identisk med CAPM bortsett fra α i som, ifølge CAPM, skal være lik 0.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Multi-faktor modellen Multi-faktor modeller forbedrer estimatene funnet ved en-faktor modellen. Spesielt ved store restledd etter en-faktor modellen er det nyttig med flere faktorer. Utvidelsen er ganske grei, men det fins ingen enkel måte å velge faktorene på. Kaller faktorene f j, for j = 1,2,…..,K

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Multi-faktor modellen Definisjon: Avkastningen for verdipapir i henger sammen med faktoren f J gjennom den lineære relasjonen Variansen til faktor j er gitt ved σ J 2 og det security-specified restuttrykket ε i er normaldistribuert med middelverdi 0 og varians σ εi 2

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Antar, som med en-faktor modellen, at avkastningene er korrelert kun gjennom reaksjonen på fellesfaktorene. Vi gjør derfor følgende antagelser: –Kovariansen mellom restleddet og faktorene er 0. Dvs. Cov(ε i,f J ) = 0, for alle i,j. –Kovariansen for risikofaktorene 0. Dvs. Cov(f J.f J’ ) = 0, for alle f J’ ≠ f J –Kovariansen til restleddene er 0. Dvs. Cov(ε i,ε i’ ) = 0, for alle i ≠ i’

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Forventet avkastning Varianse –Variansen blir kalkulert som en funksjon av β, variansen til faktorene og variansen av restleddet

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kovarians –Kovariansen til verdipapirene er en funksjon av betaene til verdipapirene og variansen til faktorene.

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance optimization with multi-factor models Kombinerer alt dette og lager en modell for å lage effektive porteføljer: Sensitivitet:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kan da skrive forventet avkastning for porteføljen som: Porteføljevariansen blir:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolios with multi-factor models Minimize subject to for alle j=1,2,….,K

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Now what? - Serious experiments with portfolios of interest to institutional investor -8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia -8 J.P. Morgan bond indices for the same markets -time range: January 1, 1999 – May 15, totally 829 daily price data -A nice set to test risk management ideas: 11 September 2001, Argentinian crisis July 2001, … -more than mean-VaR optimization problems solved We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risk-return tradeoff risk performance out of sample image of efficient frontier in-sample efficient frontier Past contains no information about the future

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management In sample mean-variance frontier and its out of sample image

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Out of sample drift of in sample mean-variance frontier

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Straighforward rebalancing

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: low risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: medium risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: high risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of US bonds in high risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of Argentinian bonds in high risk portfolio