TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Context of risk-return portfolio optimization risk performance Portfolio optimization Market data Statistical processing Implementation Dynamics New information

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Hovedpunkter Studere (performance) for porteføljer med hensyn på utbytte (forventet profitt) og risiko (varians) Formulere klassisk kvadratisk programmeringsmodell

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.2 Mean-Variance Optimering Markowitz 1952 Trade-off mellom porteføljens utbytte og risiko Basis for mange risk management verktøy brukt i dag Mean-Variance analyse som –positivt verktøy: Støtter hypotese om hvordan finansielle markeder eller inverstorer oppfører seg. Eksempel: CAPM –normativt verktøy: Beslutningsstøtte, konstruksjon av effektive porteføljer

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Effektiv portefølje Maximalt forventet utbytte gitt en øvre begrensning for risiko eller Minimal risiko for et gitt forventet utbytte

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kanonisk formulering Bestem optimal proporsjonal allokering xi for aktiva nr. i hvor slik at krav for effektiv portefølje er tilfredsstilt Forventet utbytte for portefølje: Varians: Matriseform:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Maksimer forventet utbytte Max s.t. ω: øvre grense for risiko Ikke-lineær restriksjon  vanskelig å løse

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians Min s.t. μ: nedre restriksjon for forventet utbytte Lineære restriksjoner

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians (forts.) Analytisk løsning ved kvadratisk programmering: Lagrange-multiplikator for restriksjon for forventet utbytte Lagrange-multiplikator for normaliseringsskranken Variering av μ tilsvarer generering av ulike porteføljer

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians (forts.) Efficient frontier: Porteføljen med lavest varians: Global minimum variance portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimering av varians ved risikofritt aktiva Min s.t. x f : beholdning av risikofritt aktiva Analytisk løsning:

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimering av varians ved risikofritt aktiva One-fund Theorem: Når det finnes et risikofritt aktiva i mengden av mulige investeringsmuligheter, vil enhver effektiv portefølje bli representert ved en kombinasjon av det risikofrie aktiva og en enste portefølje T med risiko Portefølje T: Tangency portfolio Efficient frontier utvides med et lineært segment, stigningstall (Sharpe ratio)

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Efficient frontier Multi-objective nonlinear program: Målfunksjon er vektet kombinasjon av utbytte og risiko Min s.t. λ: Vekting av risiko. For hver verdi av λ finnes en optimal portefølje X: Mengde av lovlige løsninger

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Generelle formuleringer Eksplisitte forutsetninger for generering av mean- variance efficient frontiers: –Investorer vurderer kun forventet utbytte og varians for porteføljen –Investorer velger porteføljen med lavest mulig varians for et gitt utbytte –Investeringen skjer over en periode, som tilsvarer risikohorisonten til modellen Implisitte forutsetninger i den kanoniske modellen: –Investorer kan selge short –Investorenes beslutninger påvirker ikke markedspris, og likviditetsrisiko fanges ikke opp –Investeringer i deler av aksjer mulig –Ingen transaksjonskostnader/skatter

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Restriksjon på short sale Short salg ekskludert ved å kun tillate positive posisjoner for alle i. Uten short salg: Mange variabler settes til null Maximum grense for investert beløp i én aktiva for alle i : vektor for øvre grenser –Feil i estimering av utfall og kovarianser  porteføljen trekkes mot overestimerte aktiva. Max restriksjon minsker denne feilen –Markedspriser påvirkes i større grad ved trading av store posisjoner

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Generelle restriksjoner Politiske/ regulatoriske krav begrenser investeringen i spesielle sett av aktiva. Eks: –Begrense kreditt- og valutarisiko –Begrense likviditetsrisiko i små markeder Beskrives vha lineære restriksjoner på formen evt. eller = for risikokategorier j = 1,...,K = hvis aktiva i ikke tilhører risikokategori j hvis aktiva i tilhører risikokategori j

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Now what? - Serious experiments with portfolios of interest to institutional investor -8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia -8 J.P. Morgan bond indices for the same markets -time range: January 1, 1999 – May 15, totally 829 daily price data -A nice set to test risk management ideas: 11 September 2001, Argentinian crisis July 2001, … -more than mean-VaR optimization problems solved We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risk-return tradeoff risk performance out of sample image of efficient frontier in-sample efficient frontier Past contains no information about the future

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management In sample mean-variance frontier and its out of sample image

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Out of sample drift of in sample mean-variance frontier

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Straighforward rebalancing

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: low risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: medium risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: high risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of US bonds in high risk portfolio

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of Argentinian bonds in high risk portfolio