Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 7 Goal Programming and Multiple Objective Optimization

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE De fleste optimeringsproblemene vi har sett på så langt har hatt kun én målsetting. Ofte kan det hende at et problem kan ha mer enn én målsetting. Maksimere avkastning eller minimere risiko Maksimere profitt eller minimere forurensing Disse målsettingene er ofte i konflikt med hverandre. I dette kapittelet skal vi vise hvordan vi kan løse slike problemstillinger. Introduksjon 2

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE3 De fleste LP problemer har hard constraints (absolutte restriksjoner) som ikke kan fravikes... Det er bare arbeidstimer tilgjengelig. Det er $ tilgjengelige investeringsmidler. I noen tilfeller er absolutte restriksjoner for restriktive... Ved kjøp av bil har du satt deg en maksimum pris (dette er din ”goal” eller mål -pris). Hvis du ikke kan kjøpe bilen til denne prisen vil du sannsynligvis finne en måte å skaffe mere penger til bilen. Vi bruker soft constraints (dvs. avviksvariabler) til å representere slike mål vi ønsker å oppnå. Målprogrammering - Goal Programming (GP)

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE4 Davis McKeown ønsker å utvide møtesenteret ved sitt hotell i Myrtle Beach, South Carolina. De forskjellige møterommene som vurderes er: Et målprogrammeringseksempel: Størrelse (m 2 )Enhetspris Lite400$ Medium750$ Stort1 050$ Davis ønsker å utvide med 5 små, 10 medium og 15 store konferanserom. Han ønsker også at utvidelsen skal være på totalt m 2 og ikke koste mer enn $

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE5 X 1 X 1 = antall nye små konferanserom X 2 X 2 = antall nye medium konferanserom X 3 X 3 = antall nye store konferanserom Definere beslutningsvariablene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE6 Mål 1: Utvidelsen bør inneholde omtrent 5 små konferanserom. Mål 2: Utvidelsen bør inneholde omtrent 10 medium konferanserom. Mål 3: Utvidelsen bør inneholde omtrent 15 store konferanserom. Mål 4: Utvidelsen bør være på omtrent m 2. Mål 5: Utvidelsen bør koste omtrent $ Definere målsettingene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE7 Små rom Medium rom Store rom Definere mål-restriksjonene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE8 Total utvidelse: Totale kostnader (i 1000): Definere mål-restriksjonene (forts)

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE9 Det er en mengde målfunksjoner vi kan formulere til dette målprogrammerings-problemet. Minimere sum avvik: Problem: Avvikene måler forskjellige ting, så hva er det målfunksjonen representerer ? Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE10 Minimere sum prosentvise avvik der t i representerer målsettingsverdien til mål i Problem: Anta at første målsetting mangler ett lite rom mens femte målsetting har $ til overs. Vi får et negativt avvik for mål 1 med 1/5=20% Vi får et positivt avvik for 5 med / = 2% Dette betyr at å overskride budsjettet med $ er like uønsket som å ha ett lite konferanserom for lite. Er det slik? Bare beslutningstakeren kan svare på det. Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE11 Vekter kan brukes i de tidligere målsettingene slik at beslutningstaker kan vektlegge: Ønskelige kontra uønskede avvik Den relative viktigheten av forskjellige mål Minimere den veide sum av avvik Minimere den veide sum av %-vise avvik Målfunksjonen i målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE12 Anta at: Det er uønsket å oppnå for få av de første tre rom- målsettingene. Det er uønsket både å overgå og få for lite av m 2 utvidelses-målsettingen. Det er uønsket å overskride $ kostnads- målsettingen. I utgangspunktet vil vi anta at alle vektene er lik. Definere målsettingen

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE13 Implementere målprogrammering Kopier til nytt ark, og prøv nye vekter.

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE14 Målprogrammering innebærer avveininger mellom målsettingene inntil den mest tilfredsstillende løsningen er funnet. Målfunksjonens verdi i målprogrammering må ikke sammenlignes med andre løsninger hvis vektene er endret. Sammenlign løsningene (beslutnings-variablene)! En vilkårlig stor vekt vil endre en soft constraint til en absolutt restriksjon. Hard constraints (absolutte restriksjoner) kan plasseres på avviksvariablene. Merknader til Målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE15 Kan brukes til å minimere det største avviket fra alle målsettingene. MiniMax målfunksjon

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE16 1.Identifiser beslutningsvariablene i problemet. 2.Finn eventuelle absolutte restriksjoner i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3.Angi målsettingene sammen med målverdiene. 4.Lag restriksjoner ved bruk av beslutningsvariablene slik at målene nøyaktig oppfylles. 5.Transformer disse restriksjonene til mål-restriksjoner ved å føye til avviksvariabler. 6.Angi hvilke variabler som representerer uønskede avvik fra målsettingene. 7.Formuler en målfunksjon som straffer uønskede avvik. 8.Sett passende vekter for målfunksjonen. 9.Løs problemet. 10.Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, gå tilbake til punkt 8 og revurder vektene som trengs justeres. Sammendrag Målprogrammering

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE17 Et MOLP problem er et LP problem med mer enn én målfunksjon. MOLP problemer kan ses på som spesielle typer av GP problemer der vi også må fastsette målverdier for hver målsetting. Effektiv analyse av slike problemer krever at vi også benytter MiniMax kriteriet. Multiple Objective Linear Programming (MOLP)

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE18 Blackstone Mining driver to kullgruver i Southwest Virginia. Månedlig produksjon ved ett skift av arbeidere i hver gruve : Et MOLP eksempel: KulltypeWythe MineGiles Mine Høy-kvalitet12 tonn4 tonn Medium-kvalitet4 tonn Lav-kvalitet10 tonn20 tonn Kostnad pr måned$40 000$ Liter av forurenset vann Livsfarlige ulykker0,200,45 Blackstone må produsere 48 ekstra tonn høy-kvalitet, 28 ekstra tonn medium-kvalitet, og 100 ekstra tonn av lav-kvalitets kull i løpet av kommende år.

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE19 X 1 X 1 = antall måneder med et ekstra skift ved Wythe gruven kommende år X 2 X 2 = antall måneder med et ekstra skift ved Giles gruven kommende år Definere beslutningsvariablene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE20 Det er tre målsettinger: Definere målsettingen Min40X X 2 Produksjonskostnad Min800X X 2 Giftig vann Min0,20X 1 + 0,45X 2 Ulykker Dette er de totale konsekvensene av å drive gruvene for det valgte tidsrommet (antall måneder med drift). Vi kan ikke følge alle målsettingene samtidig. (Den billigste gruven har også størst forurensing.)

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE21 Behov for høykvalitets kull 12 X X 2 >= 48 Behov for mediumkvalitets kull 4 X X 2 >= 28 Behov for lavkvalitets kull 10 X X 2 >= 100 Ikke-negativitets-betingelsene X 1, X 2 >= 0 Definere restriksjonene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE22 Hvis vi hadde målsettingsverdier for hvert mål, kunne vi behandlet dem som følgende mål: t 1 Mål 1:Totale produksjonskostnader bør omtrent være lik t 1. t 2 Mål 2:Mengden giftig vann bør være omtrent lik t 2. t 3 Mål 3:Antall livstruende ulykker bør være omtrent lik t 3. Vi kan løse 3 separate LP problemer, og uavhengig optimere hver målsetting, for å finne verdier for t 1, t 2 og t 3. Håndtere multiple målsettinger

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE23 Sammendrag LP modell Min40X X 2 Produksjonskostnad Min800X X 2 Giftig vann Min0,20X 1 + 0,45X 2 Ulykker 12X 1 + 4X 2  48Høykvalitet kull 4X 1 + 4X 2  28Mediumkvalitet kull 10X X 2  100Lavkvalitet kull X1X1  0Ikke-negativitet X2X2  0

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE24 Implementere modellen

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE25 Ulike løsninger Hent frem de optimale verdiene på målfunksjonene fra hver av de tre modellene. Disse verdiene kan vi nå bruke som målverdier for t 1, t 2 og t 3. t 1 = 244 = minimum kostnad t 2 = 6950 = minimum forurensing t 3 = 2 = minimum antall ulykker

Rasmus Rasmussen26 Mulighetsområdet X1X1 X2X2 7 Medium: 4·X 1 + 4·X 2  28 Høy: 12·X 1 + 4·X 2  48 BØK350 OPERASJONSANALYSE Lav: 10·X ·X 2 

Rasmus Rasmussen27 Minimere kostnadene X1X1 X2X2 7 Medium: 4·X 1 + 4·X 2  28 Høy: 12·X 1 + 4·X 2  48 BØK350 OPERASJONSANALYSE Lav: 10·X ·X 2  Min kostnad: 40·X ·X 2 LøsningX1X1 X2X2 KostnadGiftig vannUlykker 12,54,5$ ,53

Rasmus Rasmussen28 Minimere forurensing X1X1 X2X2 7 Medium: 4·X 1 + 4·X 2  28 Høy: 12·X 1 + 4·X 2  48 BØK350 OPERASJONSANALYSE Lav: 10·X ·X 2  Min forurensing: 800·X ·X 2 LøsningX1X1 X2X2 KostnadGiftig vannUlykker 12,54,5$ ,53 243$ ,15

Rasmus Rasmussen29 Minimere ulykker X1X1 X2X2 7 Medium: 4·X 1 + 4·X 2  28 Høy: 12·X 1 + 4·X 2  48 BØK350 OPERASJONSANALYSE Lav: 10·X ·X 2  Min ulykker: 0,20·X 1 + 0,45·X 2 LøsningX1X1 X2X2 KostnadGiftig vannUlykker 12,54,5$ ,53 243$ , $ ,00

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE30 Mål 1: Totale produksjonskostnader bør være nær $244. Mål 2: Antall liter forurenset vann bør være rundt Mål 3: Antall livstruende ulykker bør være omkring 2. Definere målene

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE31 Vi kan minimere sum % -vis avvik på følgende måte: Det kan vises at dette er en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. En slik målfunksjon vil bare gi optimale løsninger ved hjørnepunktene av mulighetsområdet (uansett hvilke vekter som brukes). Definere målfunksjonen

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE32 Definere en bedre målfunksjon Ny målfunksjon Nye restriksjoner Veide avvik må være mindre eller lik Q. Når Q minimeres blir max avvik lik Q.

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE33 Implementere modellen Minimerer største %-vise avvik.

Rasmus Rasmussen34 Mulige Mini-Max løsninger X1X1 X2X2 7 BØK350 OPERASJONSANALYSE X 1 =3,08; X 2 =3,92 w 1 = 10; w 2 = 1; w 3 = 1; X 1 =3,08; X 2 =3, X 1 =4,23; X 2 =2,88 w 1 = 1; w 2 = 10; w 3 = 1; X 1 =4,23; X 2 =2,88 X 1 =7,14; X 2 =1,43 w 1 = 1; w 2 = 1; w 3 = 10; X 1 =7,14; X 2 =1,43

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE35 Løsninger funnet ved MiniMax målsettingen er Pareto Optimal. Avviksvariabler og/eller MiniMax målsettingen er nyttige også i en mengde situasjoner som ikke involverer MOLP eller GP. For minimerings målsettinger er prosentvis avvik: (faktisk – målverdi)/målverdi For maximerings målsettinger er prosentvis avvik: (målverdi - faktisk)/målverdi Hvis målverdien er null, bruk veide avvik istedenfor % avvik. Kommentarer til MOLP

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE36 1.Finn beslutningsvariablene i problemet. 2.Identifiser målsettingene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3.Finn restriksjonene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 4.Løs problemet for hver av målsettingene i trinn 2, for å finne optimal verdi for hver målsetting. 5.Reformuler målsettingene til målprogrammering der de optimale verdiene fra trinn 4 benyttes som målverdier. 6.Lag en avviksvariabel som måler avviket mellom oppnådd verdi og målverdien (enten i % eller som absolutt avvik), for hver målsetting. 7.Tildel en vekt for hvert avvik beregnet i trinn 6, og lag en restriksjon som krever at det veide avviket skal være mindre enn MINIMAX variabelen Q. 8.Løs det nye problemet, der målsettingen er å minimere Q. 9.Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, juster vektene i trinn 7 og fortsett på trinn 8. Sammendrag av MOLP

Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE37 Slutt på kapittel 7