Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Innledning Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid - Penger - Ansatte BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Matematisk programmering MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon. m.a.o. Optimering BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Anvendelser av Matematisk Optimering Bestemme produksjonsmiks Produksjonsplanlegging Ruteplanlegging og logistikk Finansiell planlegging BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Karakteristika for optimeringsproblemer Beslutninger - Handlingsvariabler Restriksjoner - Begrensninger Målsetting - Målfunksjon BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Generell form på et optimeringsproblem MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Slik at : f1(X1, X2, …, Xn)<=b1 : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk fm(X1, X2, …, Xn)=bm Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP). BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Eksempel på et LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Data Aqua-Spa Hydro-Lux Pumper 1 Arbeid 9 timer 6 timer Rør 12 dm 16 dm DB/pr. stk $350 $300 Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

5 trinn i formulering av LP modeller: Forstå problemet. Identifiser beslutningsvariablene. X1=antall Aqua-Spa produsert X2=antall Hydro-Lux produsert Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. MAX: 350X1 + 300X2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

5 trinn i formulering av LP modeller: Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1X1 + 1X2 <= 200 } pumper 9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid 12X1 + 16X2 <= 2880 } rør Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X1 >= 0 X2 >= 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs Max 350X1 + 300X2 S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 9X1 + 6X2 1566 12X1 16X2 2880 X1 >= X2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel Idé: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det største dekningsbidraget ($350), produser derfor så mange som mulig! Hvor mange kan vi produsere? La X2 = 0 1. restriksjon: 1X1 <= 200 2. restriksjon: 9X1 <=1566 eller X1 <=174 3. restriksjon: 12X1 <= 2880 eller X1 <= 240 Hvis X2=0, så er den største mulige verdien av X1 lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900 Denne løsningen er mulig, men er den optimal? NEI! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel Restriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsområde. Det beste punktet i mulighetsområdet er den optimale løsningen av problemet. For LP problemer med 2 variabler er det lett å plotte mulighetsområdet og finne den optimale løsningen. En akse for hver variabel En linje for hver restriksjon En linje for målfunksjonen BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tegne restriksjonene Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene. For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200  1·X1 + 1·X2 = 200 Om vi bare har X2 på venstre side får vi: 1·X2 = 200 – 1·X1  X2 = 200/1 – 1/1·X1 Vi får dermed: X2 = 200 – 1·X1 Dette kan vi tegne inn i et diagram. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Plotte den første restriksjonen Bruk av pumper: X2 = 200 – 1·X1 X2 X1 ≥ 0 X1 = 0  X2 = 200 (punkt på Y-aksen) X2 = 0  200 – 1·X1 = 0  1·X1 = 200  X1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen) 200 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 X2 ≥ 0 Merk ikke-negativitet: X2 ≥ 0 X1 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Plotte den andre restriksjonen X2 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 261 X1 = 0  6X2 = 1566  X2 = 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen) X2 = 0  9X1 = 1566  X1 = 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen) Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 ≤ 1566 X1 174 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Felles mulighetsområde X2 Område som tilfredsstiller begge restriksjonene 261 200 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 X1 174 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Plotte den tredje restriksjonen X2 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 = 0  16X2 = 2880  X2 = 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen) X2 = 0  12X1 = 2880  X1 = 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) 180 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 ≤ 2880 X1 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Felles mulighetsområde X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 Område som tilfredsstiller alle restriksjonene 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tegne målfunksjonen Vi ønsker å maksimere DB = 350X1 + 300X2. Anta at vi f.eks. produserer X1 = 100 og X2 = 0. Da blir DB = 350·100 + 300·0 = 35 000. Om vi skal ha samme DB men lar X1 = 0, må: DB = 350·0 + 300· X2 = 35 000  300· X2 = 35 000  X2 = 35 000/300 ≈ 116,67. Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = 35 000 . BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Plotte nivåkurver for målfunksjonen X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 180 DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 35 000 116 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 100 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ny nivåkurve for målfunksjonen X2 (0,175) DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 52 500 175 Første nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 100. Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 150. 116 (150, 0) X1 100 150 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Maksimalt dekningsbidrag I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik 52 500. Alle punkt på denne linjen har samme DB. Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB). Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig. Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Parallellforskyve nivåkurver X2 Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet. Optimal løsning 175 DB: 350X1 + 300X2= 52 500 116 DB: 350X1 + 300X2= 35 000 X1 100 150 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Optimal løsning Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 DB =350X1 + 300X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 DB =350X1 + 300X2 200 180 Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Beregne den optimale løsningen Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser. Det skjer når de er like: X1 + X2 = 200 (1) 9X1 + 6X2 = 1566 (2) Fra (1) får vi, X2 = 200 -X1 (3) Setter vi (3) for X2 inn i (2) får vi, 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566 Som forenkles til X1 = 122 Så den optimale løsningen er, X1=122, X2= 200 – X1  X2 =200 – 122 = 78 Totalt DB = $350122 + $30078 = $66,100 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Undersøke alle hjørneløsninger X2 (0,180) Målfunksjon = 54 000 MERK: Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket. (80,120) Målfunksjon = 64 000 (122,78) Målfunksjon = 66 100 (0,0) Målfunksjon = 0 (174,0) Målfunksjon = 60 900 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sammendrag Grafisk løsning av LP Problemer Plott grenselinjen for hver restriksjon. Identifiser mulighetsområdet. Finn optimal løsning enten ved: Plott nivåkurver for målfunksjonen, eller Beregn alle hjørneløsningene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Spesielle tilfeller av LP Modeller Forskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer: Alternative optimale løsninger Overflødige restriksjoner Ubegrenset gode løsninger Ingen mulige løsninger BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Alternative optimale løsninger X2 DB: 450X1 + 300X2= 78 300 Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt. I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode. (122,78) MERK: Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter. (174,0) X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Overflødig restriksjon X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 225 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 225 Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 MERK: «Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse. X1 174 225 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ubegrenset løsning Max: X1 + X2 -1·X1 + 2·X2 ≤ 400 X1 + X2 ≥ 400 800 X1 + X2 ≥ 400 Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige. Problemet har derfor en ubegrenset god løsning. Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger. 400 200 MERK: Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning. X1 400 600 800 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ingen mulig løsning Max: X1 + X2 X1 + X2 ≥ 200 X1 + X2 ≤ 150 Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig. 200 X1 + X2 ≥ 200 150 X1 + X2 ≤ 150 MERK: Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser. Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet) Mulighetsområdet er tomt. X1 150 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Slutt på kapittel 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP på generell form MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP på standard form MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=” BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Omformulering til standard form ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk Multipliser gjennom med -1: -1| ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk  -ak1X1 - ak2X2 - … - aknXn <= -bk Tilsvarende erstattes en ”=” med både ”<=” og ”>=”: am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm  am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og am1X1 + am2X2 + … + amnXn >= bm dvs. am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og -am1X1 - am2X2 - … - amnXn <= -bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP på kompakt form MAX (eller MIN): Slik at: BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP på matriseform MAX (eller MIN): Slik at: Der: BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen